2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案47三角函数的综合应用microsoftword文档doc高中数学.docx

4.7 三角函数的综合应用 一、明确复习目标 1. 掌握三角函数的图象、性质和恒等变形，会用反三角函数表示角； 2．掌握正、余弦定理解斜三角形的方法； 3．能解决三角函数与几何、向量综合的题目,能用三角知识解决简单的实际问题。 二．建构知识网络 1. 三角函数的性质和图象变换; 2. 三角函数的化简,求值,证明——恒等变形的策略与技巧. 3. 正、余弦定理,斜三角形的可解类型;在应用题中要能抽象或构造出三角形; 4．在应用与综合性题目中,当角不是特殊角,要“用反三角函数表示角〞: (1) (2)arccosa表示[0，π]上余弦值等于a的角,a∈[－1,1]; (3) (4) 对于不是上述范围内的角,可借助诱导公式和三角函数线,找出与上述反三角的关系进而求出. 例如:sinα=0.3, α是钝角,那么α=π－arcsin0.3. 三、双基题目练练手 1. ，那么x等于 （ ） 2.假设A、B是锐角△ABC的两个内角，那么点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，那么( ） A C D B 阳光 地面 A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形 C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形 4. 如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为 A.75° B.60° C.50° D.45° 5．（2023上海）假设x=是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），那么α=_________. 6．（2023北京西城二模）函数y=sinx(sinx+cosx）（x∈R）的最大值是_______. ◆答案:1-4.CBDC; 2.A+B＞.∴A＞－B，B＞－A. ∴sinA＞cosB，sinB＞cosA.,P在第二象限. 3.sinA2=cosA1,……A1、B1、C1是锐角。如果A2、B2、C2也是锐角，那么，矛盾，应选D。 4.作CE⊥平面ABD于E，那么∠CDE=40°,延长DE交直线AB于F，那么∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，在△CFD中，=.∴DF=.当α=50°时，DF最大.答案：C; 5.; 6. 最大值为1+=. 四、经典例题做一做 【例1】求角(用反三角函数表示): (1)tanx=3,x∈[0.2π]求x的值; (2)cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π, ) 求α+β. 解：(1)在上,时,tanx=3; 在上,, ∴x=arctan3或π+arctan3. (2)由;得 sinα=,从而cosα=,且cosβ=- 又α+β∈(π,2π) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-. ∴α+βπ= 即α+β=2π-arccos ◆提炼方法：求角先求三角函数值,求什么三角函数值要先看角的范围,如此题(2)应求余弦而不能求正弦.角不在主值区间时,要借助图象、三角函数线或诱导公式写出符合条件的角。 【例2】（2023启东质检）A、B、C是三内角，向量，且， （1）求角A； （2）假设，求 解:（1）∵ ∴，即 , ∵，∴，∴ （2）由题知，整理得 ∴，∴，∴或 而使，舍去，∴ ∴ 【例3】在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台 风中心位于城市O(如图)的东偏南方向 300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ， 并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到 台风的侵袭。 解法一:设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 假设在时刻t城市O受到台风的侵袭,那么 由余弦定理知 由于PO=300,PQ=20t 故 因此 解得 解法二:如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：t（h）台风中心的坐标为 此时台风侵袭的区域是，其中t+60， 假设在t时，该城市O受到台风的侵袭，那么有 即 即， 解得. 答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭 ◆提炼方法：实际应用问题，要从中找出题中的三角形和的边角等条件，再设计出合理的解题方案。 【例4】函数的图象向右平移个单位得到函数的图象. ⑴求函数的表达式; ⑵证明当时，经过函数图象上任意两点的直线的斜率恒大于零. 解：（I） （II）证明一：依题意，只需证明函数g(x)当时是增函数 在即的每一个区间上是增函数 当时，在是增函数,那么当时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零 【研讨.欣赏】某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB局部为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短并求其最短距离.（不要求作近似计算） 解：在△AOB中，设OA=a，OB=b. 因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°. 又O到AB的距离为10. ∴ 设∠OAB=α，那么∠OBA=45°－α. 所以a=，b=， ab=· = = =≥， 当且仅当α=22°30′ 时，“=〞成立. 所以|AB|2≥=400（+1）2， 当且仅当a=b，α=22°30′时，“=〞成立. 所以当a=b==10时，即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处，能使|AB|最短，最短距离为20（－1）. 法二; … 法三:|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，… ◆温馨提示:1.假设直接建立|AB|2与角α的函数关系,求最值值困难; 2.先视|AB|2为a,b的函数放缩,再把ab看成α的函数求出最小值; 3.要使|AB|2取到最小值,必须保证两处等号同时成立. 五．提炼总结以为师 1. 三角函数的图象、性质和恒等变形，反三角函数表示角； 2．正、余弦定理解斜三角形的方法； 3．三角函数综合性题目中常用到换元思想、整体代换及数形结合等； 实际应用问题主要是找出三角形及其边角关系。 同步练习 4.7 三角函数的综合应用 【选择题】 1.（2022北京西城一模）设0＜|α|＜，那么以下不等式中一定成立的是 A.sin2α＞sinα B.cos2α＜cosα C.tan2α＞tanα D.cot2α＜cotα 2.己知0＜a＜1，＜α＜，那么实数,, 的大小关系是 ( ) (A)M＞N＞P (B)M＞P＞N (C)M＜N＜P (D)M＜P＜N 3.对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是( C ) A.它的定义域是［-1，1］ B.它是奇函数 C.y∈［cos1,1］ D.不是周期函数 4.（2023启东市调研）在斜△ABC中，sinA=－cosBcosC且tanBtanC=1－，那么∠A的值为 ( ) A. B. C. D. 【填空题】 5.函数y=sinx－cosx的图象可由y=sinx+cosx的图象向右平移_______个单位得到. 6. x∈（0，）,那么函数y=的值域是_________. ◆练习简答：1-4. BBCA；4.由.sinA=sin（B+C）=－cosBcosC，得tanB+tanC=－1. 又tan（B+C）==－，tanA=.… A=. 5.; 6. y=.令=m，m∈（，1）， 那么y=－2m2+3m－1.∈（0，］. 【解答题】 7．(1)，求角的集合; (2)cosx=-0.4,x∈[0,2π],求角x的集合. 解：先找出一个周期上的角,再加上周期. (1) 在上,; 在上,, 所求角x的集合为： （常写成） (2) 当; 当 综上得 8．为进行科学实验，观测小球A、B在两条相交成角的直线型轨道上运动的情况，如下列图，运动开始前，A和B分别距O点3m和1m，后来它们同时以每分钟4m的速度各沿轨道按箭头的方向运动。问： （I）运动开始前，A、B的距离是多少米？（结果保存三位有效数字）。 （Ⅱ）几分钟后，两个小球的距离最小？ A A/ O l1 l2 B/ B 解：小球开始运动前的距离为： （2）设t分钟后，小球A、B分别运动到A’、B’处，那么 当时， 当时， 故 当， 故分钟后两个小球的距离最小。 9． P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求证：椭圆的离心率为e=2cosα－1. 剖析：依据椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|， ∴e=. 在△PF1F2中解此三角即可得证. 证明：在△PF1F2中，由正弦定理知 ==. 由比例的性质得= e=== = ==2cosα－1. 评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效. 10．中，内角..的对边分别为..，..成等比数列，且 （1）求的值； （2）假设，求的值 解:（1）由得： 由及正弦定理得： 于是： （2）由得：，因，所以：，即： 由余弦定理得： 于是： 故：a+c 【探索题】(2023上海)对定义域是.的函数.， 规定：函数 （1）假设函数，，写出函数的解析式； （2）求问题（1）中函数的值域； （3）假设，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明 [解] (1) (2) 当x≠1时, h(x)= =x－1++2, 假设x>1时, 那么h(x)≥4,其中等号当x=2时成立 假设x<1时, 那么h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(－∞,0]∪{1}∪[4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α= 那么g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x－sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x－sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+sin2x, α=, g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1－sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1－sin2x)=cos4x.