2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案45三角函数的图象和性质microsoftword文档doc高中数学.docx

4.5 三角函数的图象和性质 一、明确复习目标 1.掌握正、余弦函数，正余切函数的性质; 2.能把一般的三角函数变形为y=Asin(ωx+φ)的形式,并能求解它的周期、最值、单调区间以及奇偶性、图象的对称性等问题。 二．建构知识网络 1．三角函数的性质：(结合图象理解, 表中）) y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R {x∈R|x≠kπ} 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 增区间 无 减区间 无 (kπ,kπ+π) 对称轴 x=kπ 无 对称 中心 (,0) 2. 函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的性质： 周期：; 单调递增区间:由2 kπ-≤ωx+φ≤2 kπ+ （k∈Z）可解得. 单调递减区间.由2 kπ+≤ωx+φ≤2 kπ+](k∈Z）可解得. 类似可求,对称轴和对称中心. 特别提醒：假设A或ω是负数，单调区间应在相反的单调区间内求。 y=Acos(ωx+φ)也类似。 3.三角函数求最值的方法: 化Asin(ωx+φ), 换元法,配方法,数形结合,不等式法,单调性法等. 三、双基题目练练手 1.(2023浙江)k＜－4，那么函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 ( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k＋1 (D) －2k＋1 2．(2023全国)函数的单调增区间为 ( ) A B C D 3．（2023江西）设函数为 （ ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，数小正周期为 D．非周期函数 4．sinα+cosβ=1，那么y=sin2α+cosβ的取值范围是__________. 5. 为了使y=sinωx（ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，那么ω的最小值是 6. ，的最小正周期是________． 7.给出以下命题： ①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、； ③假设x1＞x2，那么sinx1＞sinx2； ④假设f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，那么f（－）=0. 其中正确命题的序号是____________. ◆答案:1-3.ACA; 4. y=sin2α－sinα+1=（sinα－）2+. ∵ cosβ=1－sinα.∴ sinα∈［0，1］∴y∈［，1］. (此题易错解为y=sin2α+1－sinα，sinα∈［－1，1］，求y的取值范围.) 5.49×T≤1，即×≤1，∴ω≥.答案 思考：假设条件改为在［x0，x0+1］上至少出现50次最大值呢？ 6.化为一个角的三角数 周期是π； 7. 答案：④ 四、经典例题做一做 【例1】（2022春北京）函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. 解：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠+（k∈Z）. 所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠+，k∈Z}. 因为f（x）的定义域关于原点对称，且 f（－x）= ==f（x）， 所以f（x）是偶函数. 又当x≠+（k∈Z）时， f（x）= ==3cos2x－1=， 所以f（x）的值域为{y|－1≤y＜或＜y≤2}. ◆提炼方法：对复杂的函数式,要先化简为Asin(ωx+φ)+m,或Acos(ωx+φ)+m的形式,再讨论性质. 【例2】 锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠，求tany的最大值.和取最大值时角x的集合. 解：∵sinycscx=cos（x+y）， ∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny， siny（sinx+cscx）=cosxcosy. ∴tany====≤=， 当且仅当tanx=时取等号. ∴tany的最大值为.对应角x的集合为 ◆ 提炼方法：先由变换出tany与x的函数关系，再用不等式求最值;是三角、函数、不等式知识的综合应用。 【例3】（2023辽宁）函数，.求: （I）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合； （II）函数的单调增区间. （I）解法一： ∴当，即时，取得最大值 因此，取得最大值的自变量的集合是 解法二： ∴当，即时，取得最大值 因此，取得最大值的自变量的集合是 （II）解： 由题意得， 即 因此，的单调增区间是 【例4】是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？假设存在，求出对应的a值？假设不存在，试说明理由。 解： 当时，，令那么， 综上知，存在符合题意。 ◆思维点拨：化，闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。 【研讨.欣赏】（2022江苏）函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数.求的值。 解：由是偶函数，得，即， 所以, 对任意x都成立，且，所以得， 依题设，所以解得. 由的图象关于点M对称，得， 取得所以 ， …， …. 当k=0时，上是减函数； 当k=1时，上是减函数； 当时，上不是单调函数. 所以，综合得. 五．提炼总结以为师 1.熟记三角函数的图象与各性质很重要. 2.设参可以帮助理解,熟练了以后可以省却这个过程. 3.要善于运用图象解题，数形结合，数形转化。 同步练习 4.5 三角函数的图象和性质 【选择题】 1.(2023福建9)函数在区间上的最小值是，那么的最小值等于 ( ) （A）　　　　 （B）　　　　 （C）2　　　　 （D）3 2.（2023全国卷Ⅱ）函数内是减函数，那么 （ ） A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1 3.（2023辽宁）函数,的值域是 （ ） （A） （B） （C） （D） 4.（2023 全国卷Ⅱ）函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是 （ ） A． B． C．π D．2π 【填空题】 5.函数的最小值等于________。 6. 半径为R的圆的内接矩形周长的最大值等于__________. ◆练习简答：1-4：BBCC；5. 令t=sinx+cosx，那么y=最小值 6.4R. 【解答题】 7.设，假设方程有两解，求的取值范围。 解：设， 要使两函数图象有交点,由图可知。 8.(2023 浙江)函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx． (Ⅰ) 求f()的值； (Ⅱ) 设∈(0，)，f()＝－，求sin的值． 解：(Ⅰ) (Ⅱ) 解得 9. (2023陕西)函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合 解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－) = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1 =2sin[2(x－)－]+1 = 2sin(2x－) +1 ∴ T==π (Ⅱ)当f(x)取最大值时， sin(2x－)=1，有 2x－ =2kπ+ 即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ， (k∈Z)} 10.函数（a∈(0，1)），求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。 解:三角函数式降幂 ∴ f(x)= 令 那么 y=au ∴ 0<a<1 y=au是减函数 ∴ 由得，此为f(x)的减区间 由得，此为f(x)增区间 ∵ u(-x)=u(x) ∴ f(x)=f(-x), f(x)为偶函数 ∵ u(x+π)=f(x), ∴ f(x+π)=f(x) ∴ f(x)为周期函数，最小正周期为π 当x=kπ（k∈Z）时，ymin=1 当x=kπ+（k∈Z）时，ynax= 【探索题】函数f（x）=1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g（a），a∈R， （1）求g（a）； （2）假设g（a）=，求a及此时f（x）的最大值. 解：（1）f（x）=1－2a－2acosx－2（1－cos2x） =2cos2x－2acosx－1－2a =2（cosx－）2－－2a－1. 假设＜－1，即a＜－2，那么当cosx=－1时， f（x）有最小值g（a）=2（－1－）2－－2a－1=1； 假设－1≤≤1，即－2≤a≤2，那么当cosx=时，f（x）有最小值g（a）=－－2a－1； 假设＞1，即a＞2，那么当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=2（1－）2－－2a－1=1－4a. ∴g（a）= （2）假设g（a）=，由所求g（a）的解析式知只能是－－2a－1=或1－4a=. 由a=－1或a=－3（舍）. 由a=（舍）. 此时f（x）=2（cosx+）2+，得f（x）max=5. ∴假设g（a）=，应a=－1，此时f（x）的最大值是5. 备选题 5．函数的值域是_____________［］ (2023安徽)设，对于函数，以下结论正确的选项是( ） A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 【例1】 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，假设x∈［0，］呢？ 剖析：注意sinx+cosx与sinx·cosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解. 解：令t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，］，那么y=t2+t+1∈［，3+］，即最大值为3+，最小值为.当x∈［0，］时，那么t∈［1，］，此时y的最大值是3+，而最小值是3. 评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围. (2023广东)函数 （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求的最大值和最小值； （Ⅲ）假设，求的值 解： （Ⅰ）的最小正周期为; （Ⅱ）的最大值为和最小值； （Ⅲ）因为，即,即 (2023春上海19) 函数. （1）假设，求函数的值； （2）求函数的值域. 19. [解]（1）， . （2）， ， ， ， 函数的值域为. 6.化简 并求函数的值域和最小正周期和递增区间. 解： 所以函数f(x)的值域为，最小正周期 由.(k∈Z) (2023上海) 求函数的值域和最小正周期. [解] ∴ 函数的值域是,最小正周期是； （2023重庆卷）假设函数的最大值为，试确定常数a的值. 解： 因为的最大值为的最大值为1，那么 所以 8. （１） 假设x∈R，求f(x)的单调递增区间； （２） 假设时，f(x)的最大值为4，求的值 〖解〗(1)由 使 ,解得,