2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案41三角函数的概念与基本公式microsoftword文档doc高中数学.docx

第四章 三角函数 知识结构网络 4.1 三角函数的概念与根本公式 ——三角函数阐述了自然界中奇妙有趣的数量关系，是非常有用，而且益智的数学知识 一、明确复习目标 1.熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式; 2.掌握任意角的三角函数概念、符号、同角三角函数公式和诱导公式; 二．建构知识网络 1． 角的定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。 2.角在直角坐标系中的表示：角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上. (1) 象限角:角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 (2) 象间角:角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象间角。 (3) 与角终边相同的角的集合：{β|β=k360°+α,k∈Z} 终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (4) 正确理解：“间的角〞 “第一象限的角〞，“锐角〞，“小于的角〞，这四种角的集合分别表示为： ， ， 。 3．弧度制: 规定 (1)等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角,作为弧度制的单位; (2) 任一角的弧度数的绝对值。 (3) 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 这种以“弧度〞作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 比值l/r与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。 4．弧度与角度的换算：1800=π（弧度），1弧度=（180/π）0≈57018＇。 5．弧长公式:; 扇形的面积公式： 。 6. 任意角三角函数的定义:在角α的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=＞0），那么sinα=，cosα=，tanα=. 三角函数两件事:一是符号,二是比值,且比值与P上在终边上的位置无关. 7.同角三角函数关系式: sin2α+cos2α=1（平方关系）；=tanα（商数关系）；tanαcotα=1（倒数关系）. 8.诱导公式 α+2kπ（k∈Z）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.——函数名不变，符号看象限。 另外：sin（－α）=cosα，cos（－α）=sinα.——函数名改变。 三、双基题目练练手 1.sin=，cos =－，那么α的终边在 （　） A.第一象限 B.第三或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 2. (2023全国Ⅲ)设,且,那么 （ ） A. B. C. D. 3. 角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）且cosα=－，那么m的值是（　） A. B.－ C.－ D. 4. cosα=，且－＜α＜0，那么=_________. 5. sinβ=，sin（α+β）=1，那么sin（2α+β）=_________. 6. sinθ=，cosθ=，假设θ是第二象限角，那么实数a=______ 简答:1-3.DCA; 4. ; 5. ; 6. . 1.结合三角函数线知 α在第四象限. 答案：D 法2: sinα=－＜0，cosα= ＞0，∴α终边在第四象限. 3. cosα==－.∴m=或m=－（舍去）答案：A 4.从cosα=中可推知sinα、cotα的值，再用诱导公式即可求之. 5. ∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+. ∴sin（2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=. 6.依题意得解得a=或a=1（舍去）. 四、经典例题做一做 【例1】α是第二象限的角 （1） 指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围； （2） 假设α还满足条件|α+2|≤4，求α的取值区间; （3） 假设,求α－β的范围. 解：依题意，2kπ+π/2＜α＜2kπ+π（k∈Z） （1） 所以kπ+π/4＜α/2＜kπ+π/2（k∈Z），假设k为偶数，那么α/2是第一象限的角；假设k为奇数，那么α/2是第三象限的角；其变化范围如图中的阴影局部所示（不含边界） （2） 因为|α+2|≤4，所以－6≤α≤2， 即α∈（2kπ+π/2，2kπ+π）∩[－6，2]， 结合数轴可知，α∈（－3π/2，－π）∪（π/2，2。 (3) 又 ◆提炼方法: 理解象限角、终边相同的角、区间角的概念，掌握α角的取值范围与2α、α/2角的取值范围间的相互关系。 【例2】化简（1） （） （2）; (3) 假设sinα·cosα＜0，sinα·tanα＜0，化简+. 解：（1）当k为偶数时，原式==－1；当k为奇数时同理可得，原式=－1，故当时，原式=-1。 （2）原式==3 (3)由所给条件知α是第二象限角，那么是第一或第三象限角. 原式== = ◆关键点注:（1）分清k的奇偶，决定函数值符号是关键； （2）平方式降次是化简的重要手段之一。 【例3】（1）确定lg（cos6－sin6）的符号； （2）假设+=0，判断cos（sinα）•sin（cosα）的符号。 解：（1）∵6是第四象限的角，∴cos6＞0，sin6＜0，故cos6－sin6＞0； ∵（cos6－sin6）2=1-2sin6cos6＞1，∴cos6－sin6＞1，∴lg（cos6－sin6）＞0 （2）由题意可得=0，∴sinα•cosα＜0，故α在第二或第四象限。 ① 假设α在第二象限，那么0＜sinα＜1，-1＜cosα＜0，∴cos（sinα）＞0， sin（cosα）＜0；∴原式＜0。 ② 假设α在第四象限，那么-1＜sinα＜0，0＜cosα＜1，∴cos（sinα）＞0， sin（cosα）＞0；∴原式＞0。 ◆思路方法:判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成角度来表示。 【例4】时钟上自7点整到分针与 时针第一次重合,求分针转过的弧度数.如果分针长11cm,求分针转过扇形的面积. 解:设分针转过的弧度数的绝对值为x,那么时针转过的角的弧度数的绝对值为,由分针、时针转过的时间相等得：（分钟）。 分针转过扇形的面积 答：分针转过，转过扇形的面积为77πcm2. 【研讨.欣赏】证明：(1) (2) 假设sinα=msinβ,tanα=ntanβ,且α,β为锐角,那么 证明(1)法一：右边= 左边 法二：要证等式即证 只需证 即证 即显然成立,所以原等式成立。 (2)(注意结论,应消去β) 由 ① 由sinα=msinβ ② 得,代入①得ncosα=mcosβ与②平方相加得(n2-1)cos2α=m2-1. ∵α是锐角, ∴ ◆思维点拨：１．证等式常用方法：从一边推另一边；化繁为简；左右归一；变形论证；综合法；比较法等. ２．常用变形技巧：切割化弦，化异为同，凑分母，“１〞的代换． 五．提炼总结以为师 1.任意角、弧度制、与角度制的互化，弧长、扇形面积公式；任意角的三角函数概念. 2.在一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限正确确定三角函数值的符号,求出相应的值. 3.弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要注意公式的变形使用，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.,并注意“1〞的灵活代换: 如1=sin2α+cos2α=sec2α－tan2α=csc2α－cot2α=tanα·cotα. 4.应用诱导公式，重点是“函数名称〞与“正负号〞的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限〞的口诀. 5.，，三个式子中，其中一个式子的值，求出其余两个式子的值。 同步练习 4.1 三角函数的概念与根本公式 【选择题】 1.（2022. 辽宁卷）假设的终边所在象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（2023山东）函数，假设，那么的所有可能值为 （ ） （A）1 （B） （C） （D） 3.设α、β是第二象限的角，且sinα＜sinβ，那么以下不等式能成立的是 ( ) A.cosα＜cosβ B.tanα＜tanβ C.cotα＞cotβ D.secα＜secβ 【填空题】 4.化简=_________. 5.sinα+cosα=，那么角α是第_______象限的角. 6.扇形的周长为20，当扇形的半径r=_____时，扇形的面积最大，面积的最大值等于________； 练习简答：1-3.DBA; 3.A与D互斥，B与C等价，那么只要判断A与D对错即可.利用单位圆或特殊值法，易知选A. 4.==|sin4－cos4|=sin4－cos4. 5.两边平方得1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=－＜0.∴α是第二或第四象限角. 6.当时面积最大，最大值为25 【解答题】 7.，，求的范围。 解：设2α-β=A（α+β）+B（α-β），（A，B为待定系数），那么2α-β=（A+B）α+（A-B）β。比较两边的系数得A=，B=；∴2α-β=（α+β）+（α-β），从而可求得－π＜2α－β＜π／6。 思维点拨:解决此类问题要用待定系数法，千万不能先由条件得出α、β的范围，再求2α－β的范围比实际范围要大。 8.，求 （1）的值； （2）的值。 解：（1）法一：由sinα=2cosα，∴原式=； 法二：∵，∴cosα≠0，∴原式==。 （2）== = 提炼方法：关于的齐次式的一般处理方法。 ９.(1)，求的值。 （2） 解：(1)由得，所以是方程 的两根， 而 思维点拨：常用关系，那么在解题中的作用。 (2)原式= 当n为奇数时，设， 那么原式= =。 当n为偶数时，设，同理可得原式=0。 1０. 求证： 证明：左边= 右边= 所以原等式成立 １１．（1），求的值。 （2）θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是关于x的方程 5x2-x+m=0的根,求sin3θ+cos3θ和tanθ的值. 解：（1）条件中的表示10条不同终边的角，这10条终边分成5组，每组互为反向延长线，余弦值的和为零. ∴f（1）+f（2）+…+f（2022） = f（1）+f（2）+…+f（4）+f(5)+f(6)+ … f(2022) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4) （2）由韦达定理得: ① 由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ得 ∴, Sin3θ+xos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ) =(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ) = 又0<θ<π,sinθcosθ<0, ∴sinθ>0,cosθ<0 sinθ-cosθ= . 【探索题】是否存在α、β，α∈（－，），β∈（0，π）使等式sin（3π－α）=cos（－β），cos（－α）=－cos（π+β）同时成立假设存在，求出α、β的值；假设不存在，请说明理由. 解：由条件得 ①2+②2得sin2α+3cos2α=2，∴cos2α=. ∵α∈（－，），∴α=或α=－. 将α=代入②得cosβ=.又β∈（0，π）， ∴β=，代入①可知，符合. 将α=－代入②得β=，代入①可知，不符合.