2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案114函数的单调性与极值microsoftword文档doc高中数学.docx

11.4函数的单调性与极值 最值 一、明确复习目标 1.了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2.了解可导函数在某点处取极值的必要条件和充分条件，会求一些实际问题（单峰函数）的最大值与最小值。 二．建构知识网络 1.函数的单调性 （1）函数y=f(x)在某个区间内可导，假设f '(x)0，那么f(x)为增函数；假设f '(x)0，那么f(x)为减函数。 （2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法。 ①确定函数f(x)的定义区间； ②求f '(x)，令f '(x)=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③把函数f(x)的间断点[即包括f(x)的无定义点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成假设干个小区间； ④确定f '(x)在各小区间内的符号，根据f '(x)的符号判定f(x)在每个相应小开区间内的增减性。 例如：求函数y=(x2－1)(x2－4)单调区间。 2.可导函数的极值 （1）极值的概念 设函数f(x)在点x0附近有定义，且假设对x0附近所有的点都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），那么称f(x0)为函数的一个极大（小）值，称x0为极大（小）值点。 （2）求可导函数f(x)极值的步骤 ①求导数f '(x)； ②求方程f '(x)=0的根； ③检验f '(x)在方程f '(x)=0的根的左右的符号，如果根的左侧为正，右侧为负，那么函数在此处取得极大值；如果在根的左侧为负，右侧为正，那么函数在此处取得极小值。 3.函数的最大值与最小值 （1）设y= f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，并在（a,b）内可导，求函数在[a,b]上的最值可分两步进行： ①求y= f(x) 在（a,b）内的极值； ②将y= f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 （2）假设函数f(x)在[a,b]上单调递增（或递减），那么f(a)为函数的最小值（或最大值），f(b)为函数的最大值（或最小值）。 三、双基题目练练手 1．(2023广东)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为 （ ） A． B． C． D．（0，2） 2．函数y=1+3x－x3有 A.极小值－2,极大值2, B.极小值－2,极大值3 C.极小值－1,极大值1, D.极小值－1,极大值3 3．(2023全国Ⅰ)函数f(x)=x3+ax2+3x－9f(x)在x=－3时取得极值，那么a=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4. 函数y=－2x（x≥0）的最大值为_____________. 5.（2023北京）是上的减函数，那么的取值范围是 6.如果函数y=f（x）的导函数的图象如以下列图所示,给出以下判断: ①函数y=f（x）在区间（－3,－）内单调递增; ②函数y=f（x）在区间（－,3）内单调递减; ③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增; ④当x=2时,函数y=f（x）有极小值; ⑤当x=－时,函数y=f（x）有极大值. 那么上述判断中正确的选项是_____________ 简答:1－4.DDD； 4.y′=－2, 当0＜x＜时，y′＞0,为增函数. 当x＞时，y′＜0,是减函数.∴x=时，y有最大值. 5. ； 6. 当x∈（4,5）时,恒有f′（x）＞0.答案:③ 四、经典例题做一做 【例1】函数f（x）=2ax－,x∈（0,1］. （1）假设f（x）在x∈（0,1］上是增函数，求a的取值范围； （2）求f（x）在区间（0,1］上的最大值. 分析:（1）要使f（x）在（0,1］上为增函数，需f′（x）＞0,x∈（0,1）. （2）利用函数的单调性求最大值. 解:（1）由可得f′（x）=2a+,∵f（x）在（0,1）上是增函数，∴f′（x）＞0,即a＞－, x∈（0,1］.∴a＞－1. 当a=－1时，f′（x）=－2+对x∈（0,1）也有f′（x）＞0，满足f（x）在（0,1］上为增函数， ∴a≥－1. （2）由（1）知,当a≥－1时,f（x）在（0,1］上为增函数, ∴［f（x）］max=f（1）=2a－1. 当a＜－1时，令f′（x）=0得x=, ∵0＜＜1,∴0＜x＜时,f′（x）＞0; ＜x≤1时，f′（x）＜0. ∴f（x）在（0, ）上是增函数，在（,1]减函数. ∴［f（x）］max=f （）=－3. 解法点评:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单. 【例2】 (2023天津) 函数，其中x∈R,θ为参数，且0≤θ<2π． （1）当时cosθ=0，判断函数f(x)是否有极值； （2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围； （3）假设对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间内都是增函数，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ）当cosθ=0时，f(x)=4x3，那么f(x)在内是增函数，故无极值. （Ⅱ）f′(x)=12x2-6xcosθ，令f′(x)=0，得 由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. ①当cosθ>0时，随x的变化f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表： x 0 f/(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此，函数f(x)在处取得极小值，且 要使，必有，可得 由于，故 ②当时cosθ<0，随x的变化，f′(x)的符号及的变化情况如下表： + 0 － 0 + 极大值 极小值 因此，函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)，且 假设f(0) >0，那么cosx>0。矛盾。所以当cosx<0时，f(x)的极小值不会大于零。 综上，要使函数f(x)在(－∞,+∞)内的极小值大于零，参数θ的取值范围为。 （III）由（II）知，函数f(x)在区间与内都是增函数。 由题设，函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数，那么a须满足不等式组 或 由（II），参数时时，。要使不等式关于参数恒成立，必有，即。 综上，解得或。 所以的取值范围是。 特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。 【例3】(2023福建) 统计说明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：(0<x≤20)甲、乙两地相距100千米。 （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 要耗油（升）。 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。 （II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得 令得 当时，是减函数； 当时，是增函数。 当时，取到极小值 因为在上只有一个极值，所以它是最小值。 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。 考查知识：函数、导数及其应用等根本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。 【例4】(2023广东) 设函数分别在 处取得极小值 极大值 平面上点A B的坐标分别为 ,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点 求(Ⅰ)点A B的坐标 ； (Ⅱ)动点Q的轨迹方程 解: (Ⅰ)令解得 当时,, 当时, ,当时, 所以,函数在处取得极小值,在取得极大值, 故, 所以, 点A B的坐标为 (Ⅱ) 设，，PQ的中点在上，， 所以， ∴ ∵ ∴ ∴ 化简得 【研讨.欣赏】（2023辽宁）函数f（x）=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a＞0,d＞0．设x0为f(x)的极小值点,在［1-］上，f/(x)在x1处取得最大值，在x2处取得最小值，将点(x0,f(x0))、(x1,f/(x1))、(x2,f(x2))依次记为A， B， C （I）求x0的值 （II）假设⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值 解（Ⅰ）： 令，得或 当时，， 所以在处取极小值，即. （Ⅱ）法一： ∴的图象开口向上，对称轴方程是， ，知 ∴在上的最大值为，那么， 又由，知 ∴当时，取得最小值，即 ，， . 由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以 ，即 ① 又由△ABC的面积为，得 ， 利用，得. ② 联立①，②可得. 法二：. 由知在上的最大值为，即 由，知， ∴当时，取得最小值，即 ， . 由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以 －，即. ① 又由△ABC的面积为，得 . 利用，得. ② 联立①，②可得. 五．提炼总结以为师 1. 假设f(x)在区间（a,b）上可导，那么（x）>0f（x）为增函数（（x）<0f（x）为减函数）. （1）假设不是可导函数，上述必要性不成立； （2）（x）≥0（≤0）且只在一些孤立的点处f/(x)=0,那么f(x)仍递增（减）。 2.求可导函数f（x）的极值的步骤如下： （1）求f（x）的定义域，求（x）； （2）由（x）=0，求其稳定点； （3）检查（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f（x）在这个根处不取极值. 注意： f/(x)=0 是函数f（x）在点x0处取极值的必要不充分条件。. 3.求可导函数f（x）的最值的方法： （1）求f（x）在给定区间内的极值； （2）将f（x）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. （3）如果开区间内只有一个极值点，那么必是最值点。 同步练习 11.4函数的单调性与极值 最值 【选择题】 1.a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，那么a的最大值是 A0 B1 C2 D3 2.(2023天津)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图象如下列图，那么函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（　 ） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 3f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，那么f［g（x）］ A.在（－2，0）上递增 B.在（0，2）上递增 C.在（－，0）上递增 D.在（0，）上递增 4.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数 A.（,） B.（π,2π） C.（, ） D.（2π,3π） 【填空题】 5.函数的单调增区间是 6.函数f(x)=sin2x-x,(-≤x≤)的最大值是 ，最小值是 。 简答提示：1－4：DACC ； 1. （x）=3x2－a在［1，+∞)上，（x）≥0恒成立，即a≤3x2在［1，+∞）上恒成立，∴a