2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案111数列极限microsoftword文档doc高中数学.docx

第十章 极限 导数 知识结构网络 11．1 数列极限 一、明确复习目标 1．理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法那么; 2．会通过恒等变形，依据数列极限的运算法那么，依据极限为0的几种形式，求数列的极根; 3．会求公比绝对值小于1的无穷等比数列各项的和． 二．建构知识网络 1．数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限． 注：a不一定是｛an｝中的项． 2．几个常用的极限： ①C=C（C为常数）; ②=0; ③qn=0（|q|＜1）． ④无穷等比数列{an},当公比的绝对值|q|<1时,前n项和的极限．称之为“各项和〞或“所有项的和〞． 3．数列极限的四那么运算法那么：设数列｛an｝、｛bn｝， 当an=a, bn=b时， （an±bn）=a±b; （an·bn）=a·b; =（b≠0）． 说明: 极限的四那么运算法那么,只适合于有限次的四那么运算． 对于数列前n项和的极限,必须先求和(式),再取极限． 三、双基题目练练手 1．以下极限正确的个数是 ①=0（α＞0） ②qn=0 ③=－1 ④C=C（C为常数） A．2 B． 3 C．4 D．都不正确 2．(2023陕西) 等于( ) A． 1 B． C． D． 0 3． a、b、c是实常数，且=2, =3,那么的值是 A．2 B．3 C． D．6 4．（2023重庆） 。 5． 将无限循环小数化为分数是_________ 6． =_____ 简答:1-3．BBD； 3．由=2,得a=2b． 由=3,得b=3c,∴c=b． ∴=6．∴== =6． 4． ．分子先求和,再求极限． 5． =0．12+0．0012+…=0．12/(1─0．01) =4/33． 6． －1 四、经典例题做一做 【例1】 求以下极限： （1）; （2） （－n）; （3）（++…+）． 分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法那么，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法那么只适用于有限个数列，需先求和再求极限． 解:（1）==． （2） （－n）= ==． （3）原式===（1+）=1． ◆特别提示::对于（1）要防止下面两种错误：①原式===1,②∵（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，∴原式无极限．对于（2）要防止出现下面两种错误： ①（－n）= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在．对于（3）要防止出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误． 【例2】 数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数． （1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn； （2）求的值． 解:（1）由得an＝ｃ·an－1, ∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，那么an＝3·ｃn－1． ∴Sn＝ （2） ＝． ①当c=2时，原式＝－; ②当ｃ＞2时，原式＝＝－; ③当0＜ｃ＜2时，原式=＝． 评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用． 【例3】 直线l:x－ny=0（n∈N x）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x－1）2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求． 分析:要求的值，必须先求它与n的关系． 解:设圆心M（－1,－1）到直线l的距离为d,那么d2=． 又r=1,∴|AB|2=4（1－d2）=． 设点C（x1,y1）, D（x2,y2）， 由nx2－（2n+1）x+n=0, ∴x1+x2=, x1·x2=1． ∵（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=,（y1－y2）2=（－）2=, ∴|CD|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2 =（4n+1）（n2+1）． ∴===2． 评述:此题属于解析几何与数列极限的综合题．要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法． 【例4】假设数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈Nx,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当（b1+b2+…+bn）≤3时,求c的取值范围． 解:首先,由题意对任意n∈Nx,an·an+1=cn恒成立． ∴===c．又a1·a2=a2=c． ∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列．其次,由于对任意n∈Nx,an+an+1=bn恒成立． ∴==c．又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, ∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列, ∴ （b1+b2+b3+…+bn） = （b1+b3+b5+…）+ （b2+b4+…） =+≤3． 解得c≤或c＞1．∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0． 故c的取值范围是（－1,0）∪（0,］． 提炼方法: 此题的解题目标是将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式;关键是对数列特点的分析和运用;显然“起点〞应是一元二次方程根与系数的关系． 【研讨．欣赏】在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a（a＞0）个单位后,向左转90°,前进a r （0＜r＜1＝个单位,再向左转90°,又前进a r2个单位,…,如此连续下去． （1）假设有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,那么大本营在何处寻找小分队 （2）假设其中的r为变量,且0＜r＜1,那么行动的最终目的地在怎样的一条曲线上 剖析：（1）小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置． （2）可先求最终目的地关于r的参数形式的方程． 解:（1）由可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q（x,y）,那么 x=a－ar2+ar4－…==, y=ar－ar3+ar5－…=, ∴大本营应在点（,）附近去寻找小分队． （2）由消去r得（x－）2+y2=（其中x＞,y＞0）, 即行动的最终目的地在以（,0）为圆心,为半径的圆上． 五．提炼总结以为师 1． 极限的四那么运算法那么只用于有限次的运算,对于n项和的极限,要先求和再求极限; 2． 对 型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子〞等变形，化归转化后再求极限值。 3． 对含参数的题目要看是否需要分类讨论; 4．在日常学习过程中,注意化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用． 同步练习 【选择题】 1． ［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］等于 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2022北京）假设数列{an}的通项公式是 an=,n=1,2,…,那么 （a1+a2+…+an）等于 A． B． C． D． 3．（2022湖南）数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈Nx,那么（a1+a2+…+an）等于 A． B． C． D． 【填空题】 4． (2023山东)假设，那么常数 。 5．（2022 上海）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,那么a1=_________________． 6．（2022春上海）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x－y－=0上，那么=__________． 简答．提示：1-3．CCC; 1． 原式=［n××××…×］ ==2． 2． an= ∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…） ∴（a1+a2+…+an） == 3．2（a1+a2+…+an） =a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+…+（an－1+an）］+an =+[++…+]+an． ∴原式=［++an］ =（++an）． ∵an+an+1=,∴an+an+1=0． ∴an=0．答案:C 4． 2; 5．2; 6．3． 【解答题】 7．　求以下极限： ； 解：（1） （2） 8．数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且 =,求极限 （++…+）的值． 解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2． ∵2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）, ∴2d2－3d1=2． 又===,即d2=2d1, ∴d1=2,d2=4． ∴an=a1+（n－1）d1=2n+1,bn=b1+（n－1）d2=4n－2． ∴==（－）． ∴原式=（1－）=． 9． （2022年北京）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切,…,圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆On的面积为an（n∈Nx）． （1）证明{an}是等比数列； （2）求（a1+a2+…+an）的值． A B C . . O O 1 2 （1）证明:记rn为圆On的半径， 那么r1=tan30°=l． =sin30°=,∴rn=rn－1（n≥2）． 于是a1=πr12=,=（）2=, ∴{an}成等比数列． （2）解：因为an=（）n－1·a1（n∈Nx）, 所以（a1+a2+…+an）==． 10．数列｛an｝、{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p＞q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求． 解:Sn=+, 当p＞1时，p＞q＞0,得0＜＜1,上式分子、分母同除以pn－1，得 ∴=p． 当p＜1时，0＜q＜p＜1, ==1． 【探索题】公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为 (Ⅰ)求数列的首项和公比； (Ⅱ)对给定的,设是首项为，公差为的等差数列．求数列的前10项之和； (Ⅲ)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零 (注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限) 解: (Ⅰ)依题意可知, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差, ,即数列的前10项之和为155 (Ⅲ) ===， ，= 当m=2时，=－，当m>2时，=0，所以m=2