2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案112函数极限与连续microsoftword文档doc高中数学.docx

11．2 函数极限与连续性 一、明确复习目标 1．了解函数极限的概念; 2．掌握极限的四那么运算法那么；会求某些数列与函数的极限; 3．了解函数连续的意义;会判断简单函数的连续性; 4．理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 二．建构知识网络 1．当x→∞时函数f(x)的极限: (1)当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→+∞时,f(x)→a) (2)同理表示—— (3)当,且时, 即 2．当x→x0时函数f(x)的极限: 当自变量x无限趋近于常数x0（从x0两侧,但x≠x0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于x0时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→x0时,f(x)→a) (1)与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。 (2)“连续〞函数在x0处的极限就等于 f(x0) 3．函数f(x)的左、右极限: (1)如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)的左极限，记作。 (2)同理表示—— (3) ——判断函数在一点处极限存在的方法． 4．极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限； ②时，，③时，的值不确定。 5．函数极限的运算法那么——(与数列类似) 6．对 型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子〞等变形，转化极限存在的式子再求。 7．函数连续的定义: (1)如果①函数f(x)在点x=x0处有定义，②f(x)存在，③f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续． (2)如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数． (3)如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数． 8．连续函数的性质——最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值． 三、双基题目练练手 1．(2023四川) 下面结论正确的选项是 ( ) A．f(x)在x=1处连续 B．f(1)＝5 C． D． 2．设以下说法不正确的选项是 ( ) A．=1 B． =1 C． =1 D．时f(x)极限不存在 3．函数f（x）=函数f（x）在哪点连续 A．处处连续 B．x=1 C．x=0 D．x= 4．(2023广东) 5． =______ 6．要使f (x)=在点x=0处连续，那么需补充定义f (0)=______ 简答:1-3．DCD; 3．f（x）= f（x）=f（）． 4． ; 5． ; 6． f (0)=f （x）= = = 四、经典例题做一做 【例1】求以下各极限： （1） （2）（－x）； (3) ．（a＞0） 解:（1） （2）原式==a+b (3) 原式= = == = 提炼方法：1．对于题(1)“〞要先除以x的最高次方;题(2)“∞-∞〞要先有理化,然后再求极限; 2．在题(3)中,当b<0时,f(x)=在x=0处连续,极限值就等于f(0)．当b>0时, f （x）在x0处不连续，x→0时,分母为零,要先有理化,去掉掉分母为零的式子,再求极限． 【例2】（1）设f（x）=试确定b的值,使存在． （2）f （x）为多项式,且=1,=5,求f（x）的表达式 解:（1） f （x）= （2x+b）=b, f（x）= （1+2x）=2, 当且仅当b=2时, f （x）= f （x）, 故b=2时,原极限存在 （2）由于f（x）是多项式,且=1, ∴可设f （x）=4x3+x2+ax+b（a、b为待定系数） 又∵=5, 即（4x2+x+a+）=5, ∴a=5,b=0, 即f （x）=4x3+x2+5x 点评:（1）理解极限的定义和极限存在的条件; （2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值． 【例3】函数f （x）=，试求: （1）f （x）的定义域，并画出图象； （2）求f （x）、f （x）,并指出f （x）是否存在． 解:（1）当|x|＞2时， ==－1; 当|x|＜2时，==1; 当x=2时，=0; 当x=－2时，不存在． ∴f （x）= ∴f （x）的定义域为{x|x＜－2或x=2或x＞2}． 如以下列图: （2）∵f （x）=－1,f （x）=1．∴f （x）不存在． 【例4】讨论函数的连续性,并作出函数的图象． 分析:应先求出f （x）的解析式，再判断连续性． 解:当0≤x＜1时，f （x）= x=x; 当x＞1时，f （x）= ·x=·x=－x; 当x=1时，f （x）=0． ∴f （x）= ∵f（x）=（－x）=－1,f（x）= x=1, ∴f（x）不存在． ∴f （x）在x=1处不连续，f （x）在定义域内的其余点都连续． 图象如以下列图所示． 提炼方法: 分段函数讨论连续性，要讨论在“分界点〞的左、右极限，进而判断连续性． 【研讨．欣赏】设f(x)在(a,b)内连续,如果为(a,b)内的任意n个点．求证:在[x1,xn]上至少存在一点x0,使得 证明:由连续函数的性质,f(x)在闭区间[x1,xn]上必有最大值M,和最小值m,从而 m≤f(xi)≤M,(i=1,2,……n)． ∴,从而必有x0,使 ． 五．提炼总结以为师 1．有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数极限的和（或积）,在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限； 2．两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在．． 3．求函数的极限的几种根本的方法: ①代入法；②约去分母为零的因式；③分子、分母同除x的最高次幂；④有理化法 4．函数f（x）在点x0处连续必须具备以下三个条件: 函数f（x）在点x=x0处有定义; 函数f（x）在点x=x0处有极限; 函数f（x）在点x=x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值,即f（x）=f（x0）． 同步练习 11．2 函数极限与连续性 【选择题】 1．函数f（x）在x0处连续是f（x）在点x0处有极限的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2．以下命题中正确的选项是 （ ） 3． f（x）=的不连续点为 ( ) A．x=0 B．x=（k=0,±1,±2,…） C．x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…） D．x=0和x=（k=0,±1,±2,…） 【填空题】 4．（2023北京）的值等于________ 5．设　,那么= 6． =________ 6．原式=＝（cos+sin）＝ 简答提示：1-3．ACD; 4． ; 5． ． 6． 【解答题】 7．求以下函数的极限： （1） （2） (3) 设f（x）=求f（x） 解：（1） （2） (3) f（x）=1, f（x）=1, ∴f（x）=1． 8． 设函数f(x)=ax2+bx+c是一个偶函数,且f(x)=0,f(x)=－3,求出这一函数最大值 解:∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函数, ∴f （－x）=f （x）, 即ax2+bx+c=ax2－bx+c ∴b=0 ∴f （x）=ax2+c 又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=－3, ∴a=－1,c=1 ∴f （x）=－x2+1 ∴f （x）max=f（0）=1 ∴f （x）的最大值为1 9． 设f（x）=当a为何值时,函数f（x）是连续的 解:f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, f（x）=f（0）, 即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（－∞,+∞）内是连续的 10． 设f(x)是x的三次函数, ．试求的值,(a为非零常数)． 解:由可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-c),且有 【探索题】在一个以AB为弦的弓形中,C为的中点,自A、B分别作弧AB的切线,交于D点,设x为弦AB所对的圆心角,求． 解：设所在圆圆心为O,那么C、D、O都在AB的中垂线上, ∴∠AOD=∠BOD=．设OA=r． S△ABC=S四边形AOBC－S△AOB=r2sin－r2sinx=r2sin（1－cos）, S△ABD=S四边形AOBD－S△AOB=r2tan－r2sinx=r2． ∴===． 备题 1．求 解法一：为方程的一根，得，代人可得 解法二： = = ，代人可得