2023年届大纲版数学高考名师一轮复习教案107相互独立事件同时发生的概率microsoftword文档doc高中数学.docx

10.7相互独立事件同时发生的概率 一、明确复习目标 1.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 2.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率. 二．建构知识网络 1．相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件. 假设与是相互独立事件，那么与，与，与也相互独立. 3．相互独立事件同时发生的概率： 事件相互独立， 2.互斥事件与相互独立事件是有区别的： 互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但而互斥的两个事件是一次实验中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别。 如果A、B相互独立，那么P（A+B）=P（A）+P（B）―P（AB） 如:某人射击一次命中的概率是0.9,射击两次,互不影响,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.9×0.9=0.99,(也即1-0.1×0.1=0.99) 4.独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验. 6．独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率:. k=n时,即在n次独立重复试验中事件A全部发生,概率为Pn(n)=Cnnpn(1－p)0 =pn k=0时,即在n次独立重复试验中事件A没有发生,概率为Pn(０)=Cn0p0(1－p)n =(1－p)n 三、双基题目练练手 1.从应届高中生中选出飞行员，这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一学生，那么该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） ( ) A. B. C. D. 2 (2023天津)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 （ ） A． B． C． D． 3.（2022辽宁）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( ) A. p1p2 B.p1（1－p2）+p2（1－p1） C.1－p1p2 D.1－（1－p1）（1－p2） 4. (2023湖北)接种某疫苗后，出现发热反响的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反响的概率为___________.（精确到0.01） 5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________. 6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________. 简答:1-3.CAB; 4. 0.94; 5.P=××+ ××+ ××=. 6.P=（1－）（1－）×=. 四、经典例题做一做 【例1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为求： （Ⅰ）甲恰好击中目标2次的概率； （Ⅱ）乙至少击中目标2次的概率； （Ⅲ）乙恰好比甲多击中目标2次的概率. 解：（I）甲恰好击中目标2次的概率为 （II）乙至少击中目标2次的概率为 （III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，那么A=B1+B2，B1，B2为互斥事件. P（A）=P（B1）+P（B2） 所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为 【例2】（2023浙江）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球. (Ⅰ)假设n=3，求取到的4个球全是红球的概率； (Ⅱ)假设取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n. 解：（I）记“取到的4个球全是红球〞为事件. （II）记“取到的4个球至多有1个红球〞为事件，“取到的4个球只有1个红球〞为事件，“取到的4个球全是白球〞为事件. 由题意，得 所以 ， 化简，得 解得，或（舍去），故 . 【例3】(2023四川)某课程考核分理论与实验两局部进行，每局部考核成绩只记“合格〞与“不合格〞，两局部考核都“合格〞那么该课程考核“合格〞 甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9 所有考核是否合格相互之间没有影响 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保存三位小数） 解：记“甲理论考核合格〞为事件；“乙理论考核合格〞为事件；“丙理论考核合格〞为事件；记为的对立事件，；记“甲实验考核合格〞为事件；“乙实验考核合格〞为事件；“丙实验考核合格〞为事件； （Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格〞为事件，记为的对立事件 解法1： 解法2： 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 （Ⅱ）记“三人该课程考核都合格〞 为事件 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 【例4】一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性，设构成系统的每个元件的可A1 A2 A3 B1 B2 B3 A1 B1 A2 A3 B3 B2 （Ⅰ） （Ⅱ） 靠性为P（0＜P＜1，且每个元件能否正常工作是相互独立的。今有6个元件按图所示的两种联接方式构成两个系统（Ⅰ）、（Ⅱ），试分别求出它们的可靠性，并比较它们可靠性的大小。 解：系统（Ⅰ）有两个道路，它们能正常工作当且仅当两条道路至少有一条能正常工作，而每条 道路能正常工作当且仅当它的每个元件能正常工作。系统（Ⅰ）每条道路正常工作的概率是P3，不能工作的概率是1－P3，系统（Ⅰ）不能工作的概率为(1－P3)2。 故系统（Ⅰ）正常工作的概率是P1=1－(1－P3)2=P3(2－P3)； 系统（Ⅱ）有3对并联元件串联而成，它能正常工作，当且仅当每对并联元件都能正常工作，由于每对并联元件不能工作的概率为(1－P)2,因而每对并联元件正常工作的概率是1－(1－P)2, 故系统（Ⅱ）正常工作的概率是：P2=[1－(1－P)2]3=P3(2－P)3。 又P1－P2= P3(2－P3)－P3(2－P)3=－6P3(P－1)2＜0,∴P1＜P2，故系统(Ⅱ)的可靠性大。 思维点拨：此题的根本思路是从正反两个方面加以分析,先求出每个系统的可靠性再进行比较. 【研讨.欣赏】甲、乙两个乒乓球运发动进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性较大？ 解：（1）如果采用三局二胜制，那么甲在以下两种情况获胜 A1－2：0（甲净胜两局）；A2－2：1（前两局各胜一局，第三局甲胜） 因A1与A2互斥，故甲获胜的概率为 （2）如果采用五局三胜制，那么甲在以下三种情况下获胜： B1－3：0（甲净胜三局）；B2－3：1（前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜）；B3－3：2（前四局中甲、乙各胜两局，第五局甲胜） 因此甲胜的概率为 由（1）、（2）的结果知，甲在五局三胜制中获胜的可能性更大 五．提炼总结以为师 1.正确理解概念,能准确判断是否相互独立事件,只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（A·B）=P（A）·P（B）. 2.对于复杂的事件要能将其分解为互斥事件的和或独立事件的积，或先计算对立事件. 3.善于发现或将问题化为n次独立重复试验问题,进而计算发生k次的概率. 同步练习 10.7相互独立事件同时发生的概率 【选择题】 1．（2022年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 A.p1p2 B.p1（1－p2）+p2（1－p1） C.1－p1p2 D.1－（1－p1）（1－p2） 2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，那么这段时间内两地都下雨的概率是 ( ) A.0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.42 3.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【填空题】 4.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.他解题的正确率为，假设40分为最低分数线，那么该生被选中的概率是________. 5.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为,甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次中至少一次命中的概率是________. 6. 把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m个盒子内，那么1号盒恰有r个球的概率等于__________. 简答.提示：1-3.BDC; 3.由C（）k（）5－k=C（）k+1·（）5－k－1， 即C=C，k+（k+1）=5，k=2; 4.他须解对5题或4题.P=（）5+C×（）4×（1－）=; 5.; 6.法一：放1个球,被放入1号盒的概率为P=.n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验. Pn（r）=C·（）r·（1－）n－r=. 法二：把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有mn个等可能的结果.其中1号盒内恰有r个球的结果数为C（m－1）n－r，故所求概率P（A）=. 【解答题】 7．（2023北京）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由） 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C. 那么P（A）= a，P（B）= b，P（C）= c （Ⅰ） 应聘者用方案一考试通过的概率 应聘者用方案二考试通过的概率 （Ⅱ）因为a，b，c∈[0， 1]，所以 故p1≥p2, 即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大. 8. 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为平安？ 分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k次（k≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k次（k≥1）的概率，由此建立不等式求解. 解：4引擎飞机成功飞行的概率为 CP2（1－P）2+CP3（1－P）+CP4=6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4. 2引擎飞机成功飞行的概率为CP（1－P）+CP2=2P（1－P）+P2. 要使4引擎飞机比2引擎飞机平安，只要 6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4≥2P（1－P）+P2. 化简，分解因式得（P－1）2（3P－2）≥0. 所以3P－2≥0，即得P≥. 答：当引擎不出故障的概率不小于时，4引擎飞机比2引擎飞机平安. 9．9粒种子分种在甲、