2023
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十三
全等
三角形
教材过关十三 全等三角形
一、填空题
1.如图8-6,AD⊥AC,BC⊥BD,要想使△ADC≌△BCD,小王添加了一个条件AC=BD,其依据为______________,你还可以加一个条件______________,依据为______________.
图8-6
答案:HL ∠ADC=∠BCD AAS
提示:由AC=BD以及公共边CD=DC,依据“HL〞可判定两个直角三角形全等.∠ADC=∠BCD,∠A=∠B=90°,CD=DC,由“AAS〞判定三角形全等.
2.如图8-7,△ABC中,D是BC上一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.如果DE=DF,∠BAC=60°,AD=20 cm,那么DE的长是___________________ cm.
图8-7
答案:10
提示:DE⊥AB,DF⊥AC,可得∠AED=∠AFD=90°,又DE=DF,AD=AD,所以Rt△ADE≌Rt△ADF,∠EAD=30°,根据含有30°直角三角形的性质,DE=AD=10 cm.
3.如图8-8,在△ABC中,∠A=50°,BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线,那么∠BOC=_______________.
图8-8
答案:115°
提示:∠A=50°,依据三角形内角和定理,∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°,BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线,所以∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=65°,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-65°=115°.
二、选择题
4.△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△DEF,那么补充的这个条件为
A.BC=EF B.∠A=∠D
C.AC=DF D.∠C=∠F
答案:C
提示:补充AC=DF后,条件为两角对边对应相等,两个三角形不一定全等.
5.如图8-9,△ABC的六个元素,那么图8-10中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形个数是
图8-9
图8-10
答案:B
提示:乙和△ABC满足两角夹边,丙和△ABC满足两角和其中一角的对边,以上两个都可判定三角形全等.
答案:A
提示:两条边对应相等,有两种情况,其一两边假设是两直角边,再加上夹角为直角,依据“SAS〞判定全等;其二两边假设是一直角边和斜边,可依据“HL〞判定两直角三角形全等.
7.图8-11是将矩形纸片沿对角线折叠得到的,图中(包括实线、虚线在内)共有全等三角形_____________对.
图8-11
答案:D
提示:△ABD≌△EDB,△ABD≌△DCB,△EDB≌△DCB,△OBD和它下面重叠局部的三角形全等△AOB≌△DOE.
三、解答题
8.如图8-12,AE=CF,∠DAF=∠BCE,AD=CB.
图8-12
(1)问:△ADF与△CBE全等吗请说明理由.
(2)如果将△BEC沿CA边方向平行移动,可有图8-13中3幅图,如上面的条件不变,结论仍成立吗请选择一幅图说明理由.
图8-13
答案:(1)全等.
提示:证明:∵AE=CF,∴AF=CE.
又∵∠DAF=∠BCE,AD=CB,∴△ADF≌△CBE.
答案:(2)成立.
提示:如第一幅图证明:
∵AE=CF,∴AF=CE.
又∵∠DAF=∠BCE,AD=CB,∴△ADF≌△CBE.
9.(2023辽宁大连中考)如图8-14,E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点,DE=BF,请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需研究一组线段相等即可).
图8-14
(1)连结_______________;
(2)猜想:_______________;
(3)证明:
(说明:写出证明过程的重要依据)
如图.
答案:(1)CF (2)CF=AE (3)∵四边形ABCD是平行四边形,∴ADBC,∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等).∵∠2+∠4=180°,∠1+∠3=180°,∴∠3=∠∵DE=BF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).∴CF=AE.
提示:由平行四边形ABCD,可得对边相等,且∠FBC=∠ADE,又DE=BF,所以连结CF,即可创设全等三角形.
10.如图8-15,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点.
图8-15
(1)写出O点到△ABC三个顶点A、B、C的距离关系(不要求证明);
(2)如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.
(1)答案:OA=OB=OC.
提示:连结OA,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点,易证得△OAC≌△OAB,
又∠C=45°,所以∠OAC=45°,OC=OA,同理,OA=OB.
(2)答案:△OMN为等腰直角三角形.
证明:AN=BM,OA=OB,∠OAC=∠B=45°,△OAN≌△OBM,
得ON=OM,∠AON=∠BOM,又∠AOM+∠BOM=90°,
所以∠AON+∠AOM=90°,即∠MON=90°.
11.如图8-16,线段BE上有一点C,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC、DCE,连结AE、BD,分别交CD、CA于Q、P.
图8-16
(1)找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外),并说明你的理由.
(2)取AE的中点M、BD的中点N,连结MN,试判断△CMN的形状.
(1)答案:BD=AE.
证明:等边三角形ABC、DCE中,∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°,∠BCD=∠ACE,BC=AC,DC=EC,所以△BCD≌△ACE(SAS).
(2)答案:等边三角形.
证明:由△BCD≌△ACE,可得∠1=∠2,BD=AE,M是AE的中点、N是BD的中点,所以DN=EM,又DC=CE,因此△DCN≌△ECM,∴CN=CM,∠NCD=∠MCE,∠MCE+∠DCM=60°,所以∠NCD+∠DCM=60°,即∠NCM=60°,△CMN为等边三角形.