2023年中考数学试题分类汇编13二次函数.docx

二次函数 一、选择题 1. 〔 2023•广东，第10题3分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的大致图象如图，关于该二次函数，以下说法错误的选项是〔　　〕 　 A． 函数有最小值 B． 对称轴是直线x= 　 C． 当x＜，y随x的增大而减小 D． 当﹣1＜x＜2时，y＞0 考点： 二次函数的性质． 分析： 根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A； 根据图形直接判断B； 根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C； 根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，那么y＜0，从而判断D． 解答： 解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意； B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意； C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意； D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意． 应选D． 点评： 此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题． 　 　 2. 〔2023•广西贺州，第10题3分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a，b，c是常数，且a≠0〕的图象如以下图，那么一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是〔　　〕 　 A． B． C． D． 考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象． 分析： 先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置． 解答： 解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限． 应选B． 点评： 此题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c〔a、b、c为常数，a≠0〕的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为〔0，c〕．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象． 　 3．(2023年四川资阳，第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，给出以下四个结论： ①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m〔am+b〕+b＜a〔m≠﹣1〕， 其中正确结论的个数是〔　　〕 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 考点： 二次函数图象与系数的关系． 分析： 利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断． 解答： 解：∵抛物线和x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，∴①正确； ∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点〔0，0〕和点〔1，0〕之间， ∴抛物线和x轴的另一个交点在〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间， ∴把〔﹣2，0〕代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0， ∴4a+c＞2b，∴②错误； ∵把〔1，0〕代入抛物线得：y=a+b+c＜0， ∴2a+2b+2c＜0， ∵b=2a， ∴3b，2c＜0，∴③正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1， ∴y=a﹣b+c的值最大， 即把〔m，0〕〔m≠0〕代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c， ∴am2+bm+b＜a， 即m〔am+b〕+b＜a，∴④正确； 即正确的有3个， 应选B． 点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用． 4．(2023年天津市，第12 题3分)二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有以下结论： ①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2． 其中，正确结论的个数是〔　　〕 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考点： 二次函数图象与系数的关系． 分析： 由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①； 先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法那么判断②； 一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，那么可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可． 解答： 解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故①正确； ②∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∵对称轴x=﹣＞0， ∴ab＜0， ∵a＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故②正确； ③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根， ∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点， 由图可得，m＞2，故③正确． 应选D． 点评： 此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 　 5．〔2023•新疆，第6题5分〕对于二次函数y=〔x﹣1〕2+2的图象，以下说法正确的选项是〔　　〕 　 A． 开口向下 B． 对称轴是x=﹣1 C． 顶点坐标是〔1，2〕 D． 与x轴有两个交点 考点： 二次函数的性质． 专题： 常规题型． 分析： 根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为〔1，2〕，对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点． 解答： 解：二次函数y=〔x﹣1〕2+2的图象开口向上，顶点坐标为〔1，2〕，对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点． 应选C． 点评： 此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点式为y=a〔x﹣〕2+，的顶点坐标是〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向下． 　 6．〔2023•舟山，第10题3分〕当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣〔x﹣m〕2+m2+1有最大值4，那么实数m的值为〔　　〕 　 A． ﹣ B． 或 C． 2或 D． 2或﹣或 考点： 二次函数的最值 专题： 分类讨论． 分析： 根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可． 解答： 解：二次函数的对称轴为直线x=m， ①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值， 此时﹣〔﹣2﹣m〕2+m2+1=4， 解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在； ②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值， 此时，m2+1=4， 解得m=﹣，m=〔舍去〕； ③当m＞1时，x=1时，二次函数有最大值， 此时，﹣〔1﹣m〕2+m2+1=4， 解得m=2， 综上所述，m的值为2或﹣． 应选C． 点评： 此题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论． 　 7.〔2023•毕节地区，第11题3分〕抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是〔 〕 　 A． 开口向下 B． 对称轴是y轴 　 C． 都有最低点 D． y随x的增大而减小 考点： 二次函数的性质 分析： 根据二次函数的性质解题． 解答： 解：〔1〕y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点； 〔2〕y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点； 〔3〕y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点． 应选B． 点评： 考查二次函数顶点式y=a〔x﹣h〕2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 8.〔2023•孝感，第12题3分〕抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D〔﹣1，2〕，与x轴的一个交点A在点〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间，其局部图象如图，那么以下结论： ①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为〔　　〕 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点 专题： 数形结合． 分析： 由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，那么根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点〔0，0〕和〔1，0〕之间，所以当x=1时，y＜0，那么a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D〔﹣1，2〕得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根． 解答： 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，所以①错误； ∵顶点为D〔﹣1，2〕， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点〔﹣3，0〕和〔﹣2，0〕之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点〔0，0〕和〔1，0〕之间， ∴当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，所以②正确； ∵抛物线的顶点为D〔﹣1，2〕， ∴a﹣b+c=2， ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1， ∴b=2a， ∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确； ∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2， 即只有x=1时，ax2+bx+c=2， ∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确． 应选C． 点评： 此题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为〔0，c〕；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 9．〔2023·台湾，第26题3分〕a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．假设a＜0，0＜h＜10，那么h之值可能为以下何者？(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 分析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．假设a＜0，0＜h＜10，那么点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断． 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h， 而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上， ∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5． 应选D． 点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同