2023年全国中考数学压轴题精析（三）初中数学.docx

2023年全国中考数学压轴题精析〔三〕 25.〔08江西南昌〕24．如图，抛物线相交于两点． 〔1〕求值； 〔2〕设与轴分别交于两点〔点在点的左边〕，与轴分别交于两点〔点在点的左边〕，观察四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明； y x P A O B B 〔3〕设两点的横坐标分别记为，假设在轴上有一动点，且，过作一条垂直于轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当为何值时，线段CD有最大值？其最大值为多少？ 〔08江西南昌24题解析〕24．解：〔1〕点在抛物线上， ， 2分 解得． 3分 〔2〕由〔1〕知，抛物线，． 5分 y x P A O B B M E N F 当时，解得，． 点在点的左边，，． 6分 当时，解得，． y x P A O B D Q C 点在点的左边，，． 7分 ，， 点与点对称，点与点对称．〔8分〕 〔3〕． 抛物线开口向下，抛物线开口向上． 9分 根据题意，得 ． 11分 ，当时，有最大值． 12分 说明：第〔2〕问中，结论写成“，四点横坐标的代数和为0〞或“〞均得1分． 26.〔08江西南昌〕25．如图1，正方形和正三角形的边长都为1，点分别在线段上滑动，设点到的距离为，到的距离为，记为〔当点分别与重合时，记〕． 〔1〕当时〔如图2所示〕，求的值〔结果保存根号〕； 〔2〕当为何值时，点落在对角形上？请说出你的理由，并求出此时的值〔结果保存根号〕； 〔3〕请你补充完成下表〔精确到0.01〕： 0.03 0 0.29 0.29 0.13 0.03 〔4〕假设将“点分别在线段上滑动〞改为“点分别在正方形边上滑动〞．当滑动一周时，请使用〔3〕的结果，在图4中描出局部点后，勾画出点运动所形成的大致图形． A H F D G C B E 图1 图2 B(E) A(F) D C G H A D C B 图3 H H D A C B 图4 〔参考数据：．〕 〔08江西南昌25题解析〕25．解：〔1〕过作于交于，于． B(E) A(F) D C G K M N H ，， ，． 2分 ，． 3分 〔2〕当时，点在对角线上，其理由是： 4分 过作交于， 过作交于． 平分，，． ，，． ，． ，． A D C B H E I P Q G F J 即时，点落在对角线上． 6分 〔以下给出两种求的解法〕 方法一：，． 在中，， ． 7分 ． 8分 方法二：当点在对角线上时，有 ， 7分 解得 ． 8分 〔3〕 0.13 0.03 0 0.03 0.13 0.29 0.50 0.50 0.29 0.13 0.03 0 0.03 0.13 10分 〔4〕由点所得到的大致图形如以下图： H A C D B 12分 说明：1．第〔2〕问答复正确的得1分，证明正确的得2分，求出的值各得1分； 2．第〔3〕问表格数据，每填对其中4空得1分； 3．第〔4〕问图形画得大致正确的得2分，只画出图形一局部的得1分． 27.〔08山东滨州〕23、〔1〕探究新知：如图1，△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由. 〔2〕结论应用：①如图2，点M、N在反比例函数y=的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F. 试应用〔1〕中得到的结论证明：MN∥EF. ②假设①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与E是否平行. 〔08山东滨州23题解析〕23．〔1〕证明：分别过点C、D作 垂足为G、H，那么 〔2〕①证明：连结MF，NE 设点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点M，N在反比例函数的图象上， ∴， 由〔1〕中的结论可知：MN∥EF。 ②MN∥EF。 28.〔08山东滨州〕24．〔此题总分值12分〕 如图〔1〕，在中，AB=AC=10，AD为底边BC上的高，且AD=6。将沿箭头所示的方向平移，得到。如图〔2〕，交AB于E，分别交AB、AD于G、F。以为直径作，设的长为x，的面积为y。 〔1〕求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； 〔2〕连结EF，求EF与相切时x的值； 〔3〕设四边形的面积为S，试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的值最大，最大值是多少？ 〔08山东滨州24题解析〕24． 29.〔08山东德州东营菏泽〕24．(此题总分值12分) 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点〔不与A，B重合〕，过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． 〔1〕用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； 〔2〕当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ A B C M N P 图 3 O A B C M N D 图 2 O 〔3〕在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ A B C M N P 图 1 O 〔08山东德州东营菏泽23题解析〕23．(此题总分值12分) 解：〔1〕∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． A B C M N P 图 1 O ∴ △AMN ∽ △ABC． ∴ ，即． ∴ AN＝x． ……………2分 ∴ =．〔0＜＜4〕 ………………3分 A B C M N D 图 2 O Q 〔2〕如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，那么AO =OD =MN． 在Rt△ABC中，BC ＝=5． 由〔1〕知 △AMN ∽ △ABC． ∴ ，即． ∴ ， ∴ ． …………………5分 过M点作MQ⊥BC 于Q，那么． 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ ． ∴ ，． ∴ x＝． ∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………………7分 A B C M N P 图 4 O E F A B C M N P 图 3 O 〔3〕随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，那么O点为AP的中点． ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP． ∴ ． AM＝MB＝2． 故以下分两种情况讨论： ① 当0＜≤2时，． ∴ 当＝2时， …………………………………………8分 ② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F． ∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x． ∴ ． 又△PEF ∽ △ACB． ∴ ． ∴ ． ……………………………………………………… 9分 ＝．……………………10分 当2＜＜4时，． ∴ 当时，满足2＜＜4，． ……………………………11分 综上所述，当时，值最大，最大值是2． ……………………………12分 30.〔08山东临沂〕25．〔本小题总分值11分〕 ∠MAN，AC平分∠MAN。 ⑴在图1中，假设∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC; ⑵在图2中，假设∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，那么⑴中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明;假设不成立，请说明理由; ⑶在图3中： ①假设∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，那么AB＋AD＝____AC; 第25题图 ②假设∠MAN＝α〔0°＜α＜180°〕，∠ABC＋∠ADC＝180°，那么AB＋AD＝____AC〔用含α的三角函数表示〕，并给出证明。 〔08山东临沂25题解析〕25．解:⑴证明:∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°， ∴∠CAB＝∠CAD＝60°， E F G ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD＝30°，…………1分 ∴AB＝AD＝AC，……………………2分 ∴AB＋AD＝AC。……………………3分 ⑵成立。……………………………r…4分 证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。 ∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ADC＋∠CDE＝180°, ∴∠CDE＝∠ABC,………………………………………………………………5分 ∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,……………………6分 ∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE,由⑴知AF＋AE＝AC, ∴AB＋AD＝AC……………………………………………………………………7分 证法二：如图，在AN上截取AG＝AC，连接CG. ∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,…………5分 ∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠CBG＝180°, ∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,……………………………………6分 ∴BG＝AD, ∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC，…………………………………………7分 ⑶①;………………………………………………………………………8分 第26题图 ②.………………………………………………………………………9分 证明：由⑵知，ED＝BF,AE＝AF， 在Rt△AFC中，,即, ∴,………………………………………………………………10分 ∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE＝2，…………11分 31〔08山东临沂〕26．〔本小题总分值13分〕 如图，抛物线与x轴交于A〔－1，0〕、B〔3，0〕两点，与y轴交于点C〔0，3〕。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？假设存在，求出符合条件的点P的坐标;假设不存在，请说明理由; ⑶假设点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。 〔08山东临沂26题解析〕图1 A P Q B C D M 26．⑴∵抛物线与y轴交于点C〔0，3〕， ∴设抛物线解析式为………1分 根据题意，得，解得 ∴抛物线的解析式为………………………………………2分 ⑵存在。…………………………………………………………………………3分 由得，D点坐标为〔1，4〕，对称轴为x＝1。…………4分 ①假设以CD为底边，那么PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理， 得，即y＝4－x。…………………………5分 又P点(x,y)在抛物线上，∴，即…………6分 解得，，应舍去。∴。……………………7分∴，即点P坐标为。……………………8分 ②假设以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为