含参广义向量拟变分不等式问题解映射的上半连续性_陈小龙.pdf

2023.04 科学技术创新含参广义向量拟变分不等式问题解映射的上半连续性陈小龙*，吴慧凌（重庆交通大学 数学与统计学院，重庆）引言1980 年，Ginnessi1首次在有限维欧氏空间中引入向量变分不等式问题以来，许多学者对向量变分不等式进行了抽象空间的研究，并广泛应用于交通、金融、经济学、数学物理、工程科学等领域。近年来向量变分不等式问题解映射的半连续性的研究也十分热络。Khanh 和 Luu2研究了参数多值拟变分不等式问题，证明了解集和近似解集的半连续性。最近 Chen3等进一步研究了 Hausdorff 拓扑向量空间中含参弱向量拟变分不等式问题解映射的下半连续性。本研究在约束集K 和集值映射 T 分别受参数扰动的情况下，通过 KKM映射和间隙函数建立了含参广义向量拟变分不等式问题解映射的上半连续性结果。X 和 Y 是局部凸 Hausdorff 拓扑向量空间，是 Hausdorff 拓扑向量空间（参数空间），是一个集值映射，对任意，是一个闭凸点锥且，其中是的内部。D 是从 X 到 Y 的连续线性算子空间中的非空紧凸子集。设是一个单值映射，是两个集值映射，其中是 X 的幂集。假设是连续的，含参广义向量拟变分不等式问题是对，寻找，使对任意，将含参广义向量拟变分不等式问题的解集记为，即定义 1令 X 和 Y 是两个 Hausdorff 拓扑空间，K是 X 中的非空子集，是一个集值映射。(1)F 在点处是上半连续的，如果对任意的开集，满足，在 K 中存在 x0的一个开邻域，使得对任意，有；F 在 K 处是上半连续的，如果在 K 中的每一点都是上半连续的。(2)F 在点处是下半连续的，如果对任意的开集，满足，在 K 中存在 x0的一个开邻域，使得对任意，有；F 在 K 处是下半连续的，如果在 K中的每一点都是下半连续的。(3)称 F 在点处是连续的，如果 F 在点处既是上半连续的又是下半连续的；F 在 K处是连续的，如果在 K 中的每一点都是连续的。定义 2是一个单值映射，是一个集值映射。通讯作者：陈小龙（1996-），男，研究生，研究方向：非线性均衡理论。摘要：研究了含参广义向量拟变分不等式问题解映射的上半连续性。在约束集 K 和集值映射 T 分别受参数扰动的情况下，通过 KKM 映射和间隙函数建立了含参广义向量拟变分不等式问题解映射的上半连续性结果，并通过例子进行了验证。关键词：上半连续性；KKM 映射；间隙函数；含参广义向量拟变分不等式中图分类号：O1-0;O221.6文献标识码：A文章编号：2096-4390（2023）04-0023-0412,:2YC X xX()C x()intC x()intC x()C x(),L X Y:F XXX21:2,:2DXTXK 2X,()yK ()*xK()()(),intF y xT xC x*-()12,(),S ()()()()()(),:,int,SxKF y xT xC xyK?=-:2YF K 0 xKGY()0F xG()0O x()0 xO x()F xG0 xKGY()0F xG()?O x()0 xO x()F xG0 xK0 xK()2:,t XL X Y(),2:2L X YTX 23-科学技术创新 2023.04(1)如果对任意，有，则 t 是 T 的一个选择；(2)如果 t 在处是 T 的一个选择，那么映射 t 在处是 T 的一个连续选择。定义 3任意一组参数，则集值映射被称作：(1)关于的弱伪映射，如果对任意，(2)关于的伪映射，如果对任意，(3)关于的强伪映射，如果对任意，定义 4X 是 Hausdorff 拓扑向量空间，是一个集值映射。如果对每一个有限子集，有，则 F 是一个 KKM 映射。定义 5是一个单值映射，是仿射的，如果对任意，引理 14X 是 Hausdorff 拓扑向量空间，是一个 KKM 映射，则对任意，是闭集且存在，是紧集，那么。引理 25集值映射在点处是下半连续的当且仅当对任意满足的网及任意，存在，使得；集值映射具有紧值，在处是上半连续的当且仅当对任意满足的网及任意，存在以及子网，使得。1解映射的上半连续性在本节中，研究了含参广义向量拟变分不等式问题解映射的上半连续性，即在 Hausdorff 拓扑向量空间中对于参数的解映射的上半连续性。定理 1是一个具有非空值的集值映射，是一个集值映射，对任意，是一个闭凸点锥且，是一个单值映射，满足如下条件(a)对，；(b)是连续且仿射的；(c)是关于的弱伪映射，且在处是上半连续的；(d)在处，t 是 T 的一个连续选择；(e)存在映射，使得 W 的图在处是弱闭的；(f)是上半连续的，且是下半连续且具弱紧值的。则有如下成立：(1)解映射在处具有非空闭值；(2)解映射在处是上半连续的。证明：对任意，首先证明。因为 t 是 T 的一个连续选择，且是关于的弱伪映射，因此也是关于的弱伪映射。定义两个集值映射，对，因为对，则，因此对，。由是关于的弱伪映射可得，对，第一步，证明是 KKM 映射。假设存在一个有限子集，使得则存在，存在非负实数，且，()?,xX()(),t xT x2X2X()?,()xK()?:2?TX ()(),F C x()yK(),T x()?,T y()()()()y,inty,intFxC xFxC x-()(),F C x()yK(),T x(),T y()()()()y,inty,FxC xFxC x-()(),F C x()yK(),T x(),T y()()()()?y,inty,intFxC xFxC x-KX:2YF K 12,mx xxK()121,mmiico x xxF x=:F XXX(),F x yyX()()()()()?1,1,F rxr xyrF x yr F xyx xX rR+-=+-KX:2YF KyK()F yyK?()F y?()y KF y:2YF K 0 xX0nxx nxX()00yF x()nnyF x0nyy:2YF K?xX0nxx nxX()nnyF x()?yF x?ny0?nyy(),2:2DT X :2?C X xX()C x()intC x:F XXXxX(),0F x x=(),F x y(),T x()(),F C x2X 2X()()intWYC=-()graph WXY1:2XK (),S (),S 12 12()12,(),S (),T x()(),F C x(),t x()(),F C x()()12,:2KK()yK ()()()()()1:,intyxKF y x t xC x=-()()()()()2:,intyxKF y x t yC x=-xX(),0F x x=()()12,yyy()yK ()()12,yy(),t x()(),F C x()yK ()()12yy1()12,my yyK()1211,mmiico y yyy=12,myy yyir()1miiiyryK=11,1miirim=24-2023.04 科学技术创新使得，即，因此即由（b）可得由（a）和上式可得，矛盾。因此是 KKM 映射，又因为，因此也是KKM 映射。第二步，证明。对中的任意网，使得弱收敛于一个点。对任意，有由（b）、（c）和（d）可得因此即因此，对，是弱闭集。由的紧性可得，是的弱紧子集。由引理 1 可得，则对，使得第三步，证明，对，集合。则，由上式可得对，则则对，因此由 t 的连续性可得因为，因此由的弱闭性可得，即对，由条件（d）和上式可得，使得对，因此对任意，解集是非空的。第四步，证明解映射在处是上半连续且具闭值的。假设，使得在处不是上半连续且具闭值的。则存在一个开集，有。对任意网，得，且对任意，。因为，则。由条件（f），在，使得。假设存在，任意，因为在处是下半连续的，则对任意的网，且，存在，使得。由条件（b），（c）和（e），存在，即对这与矛盾。因此。因为对任意，则且是一个开集。因此解映射在任意处是上半连续且具闭值的。例 1解令，。对任意的，。()?yy?()1iyy()()(),intiF y yt yC y-()()()1,intmiiir F y yt yC y=-()()()()1,intmiiiFry yt yF y yt yC y=|=-|()0intC y-1()()12yy2()()2y Ky()2y x x()xK?()()(),intF y xt yC x-()()()()()()(),xF y xt yxF y xt ygraph W?()()()(),intF y x t yYC x-?()()(),intF y x t yC x-?()2xy?()yK ()2y()K()2y()K()()2y Ky()yK ()xK ()()(),intF y xt yC x-()()1y Kxy()yK ()0,1r()1rxr xry=-+()?xK()yK ()()(),intrrF x xt xC x-()()()(),rrrF x xt xr F y xt x-()()()()()()()(),1,intrrrrF x xt xr F y xt xrF x xt xC x=-()yK ()()(),intrr F y xt xC x-()()(),intrF y xt xC x-()()()()()()(),rrrxF y xt xxF y xt xgraph W0t()graph W()()()(),intF y xt xYC x-()yK ()()(),intF y xt xC x-()xK (),T x()yK ()(),intF y xC x-()12,(),S V()00,SV(),()()00,xV(),xS()xK()00 xK 0 xx()000,xS (),T x()zK()(),intF zxC x-K010()00zK()zK0zz()?,T z0(),S 12()0012,(),S ()00,()00zK()()0000,intF z xC x-()()00,intF y xC x-()000,xSV xV0 xxV()?1,1=-XR=?YR=()?C xR?=xX()()?1,1int?g xR?=-(),S ()0012,25-科学技术创新 2023.04定义集值映射，上式显然满足定理1 中的所有条件，通过计算可得对任意，因此解映射在处是连续的。2结论本研究在约束集 K 和集值映射 T 分别受参数扰动的情况下，在证明解映射的非空性和上半连续性的过程中运用 KKM 映射和间隙函数的相关理论建立了含参广义向量拟变分不等式问题解映射的上半连续性结果。参考文献1Giannessi F.Theorems of the Alternative,Quadratic Programs,and Complementary Problem,VariationalInequalities and Complementarity Problem.Edited byR.W.Cottle,F.Giannessi,and J.L.Lions,John Wiley and Sons,New York,1980.2Khanh P Q,Luu L M.Lower semicontinuity andupper semicontinuity of the solution sets and ap-Proximate solution sets of parametric multivalued quasivariational inequalities J.J Optim Theory Appl.2007,133:329-339.3Chen C R,Li S J,Fang Z M.On the solutionsemicontinuitytoaparametricgeneralizedvectorQuasi-variational inequality J.Comput Maty App