关于非齐次树上马氏双链的一个强偏差定理_金少华.pdf

高校应用数学学报2023,38(1):18-26关于非齐次树上马氏双链的一个强偏差定理金少华,王丽君(河北工业大学 理学院,天津 300401)摘要:该文研究了非齐次树上马氏双链的一个强偏差定理.首先给出了非齐次树上马氏双链的定义和样本散度的概念,然后利用构造非负鞅的方法,给出了关于非齐次树上马氏双链的一个强偏差定理.关键词:非齐次树;马氏双链;强偏差定理;鞅;样本散度中图分类号:O211.6文献标识码:A文章编号:1000-4424(2023)01-0018-091引言树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一.强偏差定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一.王梓坤1介绍了概率论中马尔科夫过程及其在统计物理中的应用,同时介绍了极限定理的一些研究成果.Spitzer2首先对树上马尔科夫链场进行了研究,并给出了树指标马尔科夫链的定义.杨卫国3利用研究概率论强极限定理的新方法,在树指标马氏链的强极限定理方面得出了一系列研究成果,其中包括树指标马氏链的若干强大数定律和Shannon-McMillan定理.Tang和Yang4给出了齐次树指标渐近奇偶马氏链的强大数定律的推广.Shi和Yang5研究给出了离散状态下随机环境中树指标马氏链的定义及其存在性.赵梦迪,杨卫国6等引入渐进对数似然比作为连续型随机变量序列与连续状态非齐次马氏链之间偏差的一种度量,并且利用上鞅极限定理,得出了连续型随机变量序列关于连续状态非齐次马氏链的一类强偏差定理.Liu和Ma7研究了双无限随机环境中马氏链三元函数平均值的强极限定理.Ding和Shi8等通过给出随机环境中具有一致有界度的无穷树指标马氏链的定义,给出了随机环境中具有一致有界度的无穷树指标马氏链的强大数定律和Shannon-McMillan定理.Huang和Yang9研究给出了齐次树指标马氏环境中马氏链的Shannon-McMillan定理.简旭10等研究了离散信源广义熵定理以及随机条件概率的广义调和平均a.s.收敛性.Wang11给出了非空稳态过程的马尔科夫逼近和广义熵遍历定理.Zhong12等给出了二叉树指标分叉马氏链的若干强偏差定理.Shi13等通过引入样本散度和样本散度率的概念,得到了可列状态齐次马氏链的若干小偏差定理.韩大钊14等研究了树上路径过程随机转移概率和状态序偶出现频率的强极限定理,对树上马氏链及非齐次马氏链中的结果进行了进一步推广.本文通过引入样本散收稿日期:2022-04-08修回日期:2022-08-11基金项目:国家自然科学基金(11701139)DOI:10.13299/ki.amjcu.002254金少华等:关于非齐次树上马氏双链的一个强偏差定理19度的概念和构造非负鞅,将Doob鞅收敛定理15-17应用于几乎处处收敛的研究,给出了关于非齐次树上马氏双链的一个强偏差定理.2 基本概念设Nn,n 1是一列正整数集,T是一个具有根顶点o 的无限树,如果T的第n(n 0)层上的每个顶点均与第n+1层上的Nn+1个顶点相邻,则称T为广义Bethe树或广义Cayley树.特别地,若对非负整数集N,用模m的同余关系对其分类得到模m的剩余类(0)=0,m,2m,3m,nm,(1)=1,m+1,2m+1,nm+1,(m 1)=m 1,2m 1,(n+1)m 1,.当n (i)时,令Nn+1=i(i均为正整数且不同时为1),i=0,1,2,m 1,就得到了一类特殊的非齐次树T0,1,m1.以下恒以T表示树T0,1,m1,以S(t)表示顶点t的所有子代的子图,Ln表示第n(n 0)层上所有顶点的子图,Tn表示含有从顶点o到第n层上所有顶点的子图.定定定义义义2.1设S1=1,2,M 和S2=1,2,N为两个有限集,若(X,Y),T为定义在概率空间,F,P上并于S1,S2上取值的任意随机变量族,其联合分布为P(XTn=xTn,YTn=yTn)=P(xTn,yTn).(1)令fn()=1|Tn|lnP(XTn,YTn),(2)则称fn()为任意随机变量族(X,Y),T的熵密度.定定定义义义2.2若X,T 为定义在概率空间,F,Q上取值于S1的随机变量族,q(x),x S1是X,T的概率分布.Y,T是定义在概率空间,F,Q上并取值于S2的马氏链,其转移概率分布列为ln(y1,y2),y1,y2 S2.若X,T和Y,T满足q(Xn=xn|X0=x0,Xn1=xn1;Y0=y0,Yn1=yn1)=q(Xn=xn|Xn1=xn1;Yn1=yn1),(3)则Y,T为马氏环境,X,T 是马氏环境Y,T中的马氏链,称(X,Y),T为马氏双链,其转移矩阵列为Qn=(Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn),Xn1,Xn S1,Yn1,Yn S2,(4)其中Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)=ln(Yn1,Yn)q(Yn1;Xn1,Xn),(5)q(Yn1;Xn1,Xn)=q(Xn|Xn1,Yn1),(6)则其联合分布为Q(XTn,YTn)=q(X0,1,Y0,1)nk=1k1Lk1ks(k1)lk(Yk1,Yk)q(Yk1;Xk1,Xk)=q(X0,1,Y0,1)nk=1k1Lk1ks(k1)Qk(Xk1,Yk1;Xk,Yk).(7)20高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期定定定义义义2.3设P和Q为定义在可测空间(,F)上分别具有(1)式和(7)式的两个概率测度,令h(P|Q)=limsupn1|Tn|lnP(XTn,YTn)Q(XTn,YTn),(8)称h(P|Q)为概率测度P相对于Q的样本散度.3 关于非齐次树上马氏双链的一个强偏差定理引引引理理理3.1设P(XTn,YTn)和Q(XTn,YTn)分别由(1)式和(7)式给出,则有limsupn1|Tn|lnQ(XTn,YTn)P(XTn,YTn)0,a.s.(9)由(9)式易见h(P|Q)0,a.s.(10)引引引理理理3.2设(X,Y),T是具有转移矩阵列(4)式的树T上的非齐次马氏双链,为任一常数,令tn(,)=q(X0,1,Y0,1)nk=1k1Lk1ks(k1)e(ln Qk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)Qk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)EQe(ln Qk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)|Xk1,Yk1P(XTn,YTn),(11)则tn(,),(XTn,YTn),n 1在概率测度P下为一非负鞅.证证证因为P(XLn,YLn|XTn1,YTn1)=P(XTn,YTn)P(XTn1,YTn1).(12)由(11)式和(12)式,有tn(,)=tn1(,)n1Ln1ns(n1)e(ln Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)EQe(ln Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)|Xn1,Yn1P(XTn,YTn)/P(XTn1,YTn1).(13)而EPn1Ln1ns(n1)e(ln Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)EQe(ln Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)|Xn1,Yn1P(XTn,YTn)/P(XTn1,YTn1)|(XTn1,YTn1)金少华等:关于非齐次树上马氏双链的一个强偏差定理21=XLnS1YLnS2n1Ln1ns(n1)e(ln Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)EQe(ln Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)|Xn1,Yn1P(XTn,YTn)/P(XTn1,YTn1)P(XLn,YLn|XTn1,YTn1)=XLnS1YLnS2n1Ln1ns(n1)e(ln Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)EQe(ln Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)|Xn1,Yn1=n1Ln1ns(n1)XLnS1YLnS2e(ln Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)EQe(ln Qn(Xn1,Yn1;Xn,Yn)|Xn1,Yn1=1.(14)由(13)式和(14)式,得Etn(,)(XTn1,YTn1)=tn1(,),所以tn(,),(XTn1,YTn1),n 1在概率测度P下是一非负鞅.定定定理理理3.1设(X,Y),T为如前定义的非齐次树T上的马氏双链,h(P|Q)如前定义,fn()如前定义,设c 0为一常数,且D(c)=:h(P|Q)c,(15)limsupn1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)EQe(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)|Xk1,Yk1=,(16)其中为一常数.Ht=2e2(t 1)2,0 t 1.(17)令HkQ()=XLkS1YLkS2Qk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk),(18)则当0 c t2Ht时,有limsupnfn()1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)HQk()2cHt,P-a.e.D(c).(19)liminfnfn()1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)HQk()2cHtc,P-a.e.D(c).(20)证证证取(,F,P)为所考虑的概率空间,由引理3.2知对任意的常数,tn(,),(XTn1,YTn1),n 1是一非负鞅,故由Doob鞅收敛定理,A()F,使得P(A()=1,有limntn(,)=t(,)0),ex 1 x x22e|x|(x R),并注意到maxx2ehx,x 0=4e2h2(h 0).由(16)式,(17)式和(24)式,当0|t 1时,有limsupn1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)lnEQe(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)Xk1,Yk1EQ(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)Xk1,Yk1 limsupn1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)EQe(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)Xk1,Yk1 1EQ(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)Xk1,Yk1 limsupn1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)EQe(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)1(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)Xk1,Yk1 limsupn1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)EQ122(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)2 e|(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)|Xk1,Yk1=limsupn1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)122EQe|lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)|金少华等:关于非齐次树上马氏双链的一个强偏差定理23(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)2e(|1)|lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)|Xk1,Yk1 limsupn1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)122EQe|lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)|4e2(|1)2Xk1,Yk122e2(t 1)2=2Ht.(25)由(24)式和(25)式,有limsupn|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)EQlnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)Xk1,Yk1 2Ht+c,D(c)A().(26)当0 t 1时,将(26)式两端同除以,有limsupn1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)EQlnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)Xk1,Yk1 Ht+c,D(c)A().(27)当0 c t2Ht时,由函数g()=Ht+c在=c/Ht处取得最小值g(c/Ht)=2cHt.在(27)式中令=c/Ht,有limsupn1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)EQlnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)Xk1,Yk1 2cHt,D(c)A(c/Ht).(28)因为P(A(c/Ht)=1,故由(28)式有limsupn1|Tn|nk=1k1Lk1ks(k1)(lnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)EQlnQk(Xk1,Yk1;Xk,Yk)Xk1,Yk1 2cHt,P-a.e.D(c).(29)当c=0时,取i(0