混合偏导数相等的若干充分条件的注记_江樵芬.pdf

收稿日期2 0 2 1-1 2-1 5;修改日期2 0 2 2-0 6-2 5 基金项目国家自然科学基金(1 1 9 7 1 1 0 8);福建师范大学2 0 2 0年校本科教改项目(I 2 0 2 0 0 2 0 3 2)作者简介江樵芬(1 9 8 1-),女,博士,副教授,从事泛函分析研究.E-m a i l:b j 0 0 1_r e n 1 6 3.c o m第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2混合偏导数相等的若干充分条件的注记江樵芬1,阮颖彬1,徐 起2(1.福建师范大学 数学与统计学院,福州3 5 0 1 1 7;2.厦门大学 数学科学学院,福建 厦门3 6 1 0 0 5)摘 要对混合偏导数相等的若干充分条件及其证明提出质疑,深入分析其证明的错误之处,并给出反例说明一些充分条件不成立.关键词混合偏导数;C l a i r a u t定理;中值定理 中图分类号O 1 7 2 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 0 6 8-0 71 引 言二元函数的二阶混合偏导数fx y与fy x在一定条件下会相等,其中fx y=yfx ,fy x=xfy .一般教科书中常见的混合偏导数相等的充分条件有如下三个:定理1(C l a i r a u t定理、S c h w a r z定理)设fx,fy,fx y和fy x在点(x0,y0)的某邻域内存在,fx y和fy x在点(x0,y0)连续,则fx y(x0,y0)=fy x(x0,y0).定理2(P e a n o的结果)设fx,fy和fy x在点(x0,y0)的某邻域内存在,fy x在点(x0,y0)连续,则fx y(x0,y0)也存在,且fx y(x0,y0)=fy x(x0,y0).定理3(Y o u n g的结果)设fx,fy在点(x0,y0)的某个邻域内存在且在点(x0,y0)可微,则有fx y(x0,y0)=fy x(x0,y0).文献1-4 尝试减弱以上定理的条件,以期给出适用范围更广的混合偏导数相等的充分条件.本文对文献1-4 给出的若干充分条件及其证明的正确性提出质疑,深入分析其证明的错误之处,并给出反例说明有些充分条件不成立.本文将从分析C l a i r a u t定理、P e a n o的结果、Y o u n g的结果的证明思路出发,深入思考文献1-5中一些证明的错误原因,尝试去理清其证明的逻辑,发现问题所在,并给出教学上的建议.2 二阶混合偏导数相等的本质及证明思路分析注意到fx y(x0,y0)=l i m y0l i m x0f x0+x,y0+y -f x0,y0+y -f x0+x,y0 +f(x0,y0)x y,fy x(x0,y0)=l i m x0l i m y0f x0+x,y0+y -f x0+x,y0 -f x0,y0+y +f(x0,y0)x y.若记F(x,y)=f x0+x,y0+y -f x0,y0+y -f x0+x,y0 +f(x0,y0),则二阶混合偏导数相等本质上是函数F(x,y)x y的两个不同顺序的累次极限相等.在证明中一般对函数F(x,y)作如下处理.若fx y在(x0,y0)的某邻域内存在,令(x)=f x,y0+y -f x,y0 ,则 F(x,y)=x0+x -x0 =x0+1 x x=fxx0+1 x,y0+y -fxx0+1 x,y0 x=fx yx0+1 x,y0+2 y x y 01,21 .若fy x在(x0,y0)的某邻域内存在,令(x)=f x0+x,y -f x0,y ,则 F(x,y)=y0+y -y0 =y0+3 y y=fyx0+x,y0+3 y -fyx0,y0+3 y y=fy xx0+4 x,y0+3 y x y,(03,40时,有F h,h h2=fx y(x0,y0)+o1+21 h h+o21 h h,令h0可得l i mh0F h,h h2=fx y(x0,y0).同理,若fy在(x0,y0)可微,也有l i mh0F h,h h2=fy x(x0,y0)这便证明了Y o u n g的结果.以上三个充分条件的证明容易在多本流行的教科书或习题集中查到,故没有给出出处.详细分析其证明思路是为了下文与错误证明做比较.3 对一些充分条件及其证明的质疑在上述证明思路的分析中,可以看到在处理F(x,y)时都固定了某个分量,对另一分量应用拉格朗日中值定理.应该注意到拉格朗日中值定理中存在的中值点既依赖于所讨论的函数,也依赖于所讨论的区间.忽略中值点对函数与区间的依赖性将导致错误,一元情况下与此类中值点有关的隐蔽性错误的讨论可以见文献6.而在二元情况下,固定二元函数的某个分量得到的一元函数,一般与所固定的那个分量的值有关,所固定分量的不同取值对应不同的一元函数,由此得到的中值点一般与被固定的分量相96第6期 江樵芬,等:混合偏导数相等的若干充分条件的注记关.如在得到F(x,y)=fx yx0+1 x,y0+2 y x y的过程中,不同的 y确定了不同的函数(x),不同的(x)存在的1一般不同,因此1一般与 y有关,同理2与 x有关.这种依赖性比一元的情况更隐蔽,更容易被忽略,因此也更容易导致错误.以下关于混合偏导数相等的错误证明,其错误原因莫不如是(除了例5),并且这些错误几乎没有被意识到(至少就笔者检索到的文献而言).下面笔者逐一分析其错误原因,并对错误结论给出反例加以说明.例15(P e a n o的结果的错误证明)设fx,fy在点(x0,y0)的某邻域内存在,fx y在点(x0,y0)连续,则fy x(x0,y0)也存在,且fy x(x0,y0)=fx y(x0,y0).错误证明 如前所述,由于fx y在(x0,y0)的邻域内存在,则F(x,y)=fx yx0+1 x,y0+2 y x y 01,20,0,2 ,2,32,则l i m(x,y)(0,0)1(x,y)-2(x,y)1(y 2 x y=l i m01(x,y)-2(x,y)1s i nc o s=0,从而l i m(x,y)(0,0)F(x,y)x y=fy xx0,y0 .再由二重极限与二次极限的关系可知fx y(x0,y0)=fy x(x0,y0).错因分析 该结论证明的困难在于处理 y x,希望它有界(原因见文献8).而由于二重极限路径的多样性,这个目标达不到.如果回顾Y o u n g的结果的证明便可发现,其要求fx,fy在x0,y0 都可微,就是为了避开处理 y x的困难,利用特殊曲线 x=y来解决问题.文献4 在考虑二重极限l i m(x,y)(0,0)1(x,y)-2(x,y)1(y 2 x y时,作了极坐标变换之后直接得到二重极限为零.这个结论是错误的.要注意当0时,1(x,y)-2(x,y)1s i nc o s必须关于一致收敛于零才能保证二重极限存在且为零,而这里只能做到对任意固定的趋于零,这只能说明沿着任意射线趋于原点,函数值趋于零而已,并不能说明二重极限是否存在.而注意到当2时,s i nc o s,二重极限是否存在并不确定.因此证明过不去.4 结 论本文质疑了C l a i r a u t定理的一个推广、P e a n o的结果的一种证明及两个推广、Y o u n g的结果的一个推广,同时给出反例说明P e a n o的结果的两个推广是错误的.这些证明错误的原因(除了例5)都是类似的:固定二元函数的某个分量,把它视为另一分量的一元函数,对它使用拉格朗日中值定理时忽略了中值点对另一分量的依赖.对于此类错误,建议在教学中将二元函数看作一元函数时,应强调此一元函数对所固定分量的依赖.在对这类一元函数运用微分中值定理时所存在的中值点不妨记为 x或 y,用其中的下标来体现依赖性.遗憾的是对于C l a i r a u t定理的推广及Y o u n g的结果的推广,笔者既给不出正面的证明,也无法给出反例说明其是错误的,这需要进一步的思考.致谢 感谢审稿专家对本文的有益建议以及相关参考文献对本文的启发.参 考 文 献1 潘涤世.二元函数二阶混合偏导数相等的两个充分条件J.河北轻化工学院学报,1 9 9 6,1 7(2):1 3-1 5.27大 学 数 学 第3 8卷2 毕义明.关于求导次序的可交换问题J.数学通报,1 9 8 5(8):4 2-4 3.3 张德春.也谈求导次序的可交换问题J.数学通报,1 9 8 8(7):2 4.4 张庆政.二阶混合偏导数相等定理的改进证明及推广J.黄淮学刊,1 9 8 9(1):6 7-7 0.5 谢惠民,恽自求,易法槐,等.数学分析习题课讲义M.北京:高等教育出版社,2 0 1 8:1 6 9-1 7 0.6 江樵芬,徐起.数学分析中一类与存在性有关的错误解法原因剖析J.大学数学,2 0 2 2,3 8(1):9 3-1 0 0.7 楼红卫.数学分析:要点难点拓展M.北京:高等教育出版社,2 0 2 0:1 1 0.8 周燕,林丽琼,任立英.关于求解极限的若干思考J.大学数学,2 0 2 1,3 7(2):1 0 8-1 1 3.AN o t eo nS o m eS u f f i c i e n tC o n d i t i o n s f o r t h eE q u a l i t yo fM i x e dP a r t i a lD e r i v a t i v e sJ I ANGQ i a o f e n1,RUANY i n g b i n1,XU Q i2(1.S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,F u j i a nN o r m a lU n i v e r s i t y,F u z h o u3 5 0 1 1 7,C h i n a;2.S c h o o l o fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,X i a m e nU n i v e r s i t y,X i a m e nF u j i a n3 6 1 0 0 5,C h i n a)A b s t r a c t:T h i sp a p e rq u e s t i o n ss o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee q u a l i t yo fm i x e dp a r t i a ld e r i v a t i v e sa n dt h e i rp r o o f s.I td e e p l ya n a l y z e st h ec a u s e so ft h e s ei n c o r r e c tp r o o f s,a n dg i v e ss o m ec o u n t e r e x a m p l e st oi l l u s t r a t et h a ts o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r e i n c o r r e c t.K e yw o r d s:m i x e dp a r t i a l d e r i v a t i v e s;C l a i r a u t t h e o r e m;m e a nv a l u e t h e o r e m37第6期 江樵芬,等:混合偏导数相等的若干充分条件的注记