混范空间到加权Bloch型空间积分型算子_欧阳东凌.pdf

摘要：基于n维复空间上全纯函数和单位球全纯自映射，本文引进和研究了一类新的广义积分型算子，完整刻画了该算子从混合范数空间到一般正规加权Bloch型空间之间的有界性和紧性条件。关键词：有界性；紧性；混合范数空间；加权Bloch型空间中图分类号：O177文献标志码：A文章编号：2096-854X（2022）060102-04Integral-type Operators Acting from Mixed Norm Spaces toWeighted Bloch-type SpacesOuyang Dongling，Xiong Liangpeng*（School of Mathematics and Computer Science,Jiangxi Science and Technology Normal University,Nanchang 330038,Jiangxi,P.R.China）Abstract:An extended integral-type operator is introduced and studied by using the holomorphic functions andholomorphic self-map of unit ball in n-dimensional complex variables space,and the boundedness and compactness ofthis operator from mixed norm spaces to general normal weighted Bloch-type spaces are characterized.Key words:Boundedness;compactness;mixed norm space;weighted Bloch-type space混范空间到加权 Bloch 型空间积分型算子欧阳东凌，熊良鹏*（江西科技师范大学数学与计算机科学学院，江西 南昌330038）【数学计算】收稿日期：2022-06-12最终修回日期：2022-08-19接受日期：2022-08-20基金项目：国家自然科学基金（12061035）、江西省自然科学基金（20212BAB201012）、江西省教育厅科技研究重点项目（GJJ201104）作者简介：欧阳东凌,男，在读硕士研究生，研究方向：多复变函数论；*熊良鹏（通讯作者），男，副教授，博士，研究方向：多复变函数论，Email:。江西科技师范大学学报Journal of Jiangxi Science&Technology Normal University第6期Issue 62022年12月Dec.20221前言各类积分算子在Bloch型空间、Zygmund空间、Hardy空间和加权Bergman空间上的性质引起了大量的关注1-3，特别是涉及混合范数空间算子的有界性和紧性刻画问题，如Li-Stevic4研究了从混合范数空间到a-Bloch空间的积分型算子和扩展cesro算子的有界性和紧性；Stevic5研究了从对数Bloch型空间到混合范数空间积分型算子的有界性和紧性；Stevic6研究了单位球上的从混合范数空间到Bloch型空间积分型算子的有界性和紧性；Zhang-Zhou7研究了单位球上Bloch型空间到混合范数空间扩展cesro算子的有界性和紧性。近期的一些其它主要成果可参考文献7，8等。直到目前为止，几乎所有的研究都是从积分型算子或者复合型算子各自本身的角度考虑空间算子问题，将两者结合同时处理的难度会很大，本研究将就此有所突破。通过单位球的自同构群和复合算子，定义了一类新的积分型算子，并着重研究了从单位球上混合范数空间到加权Bloch型空间之间2022年该积分算子的有界性和紧性的条件刻画。主要结果统一了积分算子和复合算子的部分性质，是对Li-Stevic4早期相应工作的延拓和补充。2预备知识和引理设Cn为n维复变量空间，其单位球可以表示为Bn=z=（z1，z2，zn）Cn：z=z12+z22+zn21，且B1D表示C中的单位圆盘，Bn=S表示Cn中的单位球面。用H（Bn）表示从Bn到C的全纯函数族。如果存在0，1）和0ab，使得1（r）（1-r）a在（0，1）递减且limr1（r）（1-r）a=；（r）（1-r）b在，1）递增且limr1（r）（1-r）a=。则称正连续函数为正规。显然，正规函数在，1）严格递减且（r）0当r1。若正规函数满足（z）=（z），zBn，则称是径向的。进一步，设向量z=（z1，z2，zn）和（1，2，n）是Cn中的点且定义z，=z11+z22+znn。如果fHBn且具有泰勒齐次展开式f=0az，zBn，这里多指标向量为=（1，2，n），=1+2+n和z=z11z22znn。此外，关于f的径向导数R f为R f（z）=nj=1zjfzj（z）=f（z），zj，zBn。假设0p，q1和正规，混合范数空间H（p，q，）包含了所有fH（Bn）且满足条件2fH（p，q，）=10Mpq（f，r）p（r）1-rd()r1p+的全部函数，其中Mq（f，r）=s|f（r）|qd（()）1p和d是单位球面S上的赋范化面测度。事实上，10Mpq（f，r）p（r）1-rdr f（0）q+10Mpq（R f，r）p（r）（1-r）1-pdr。特别地，对于p=q，（r）=（1-r2）+1p和-1，混合范数空间等价于加权Bergman空间Ap，此时Bn|f（z）|p1 z2()dV（z）+。设（z）是一个正规函数，加权Bloch型空间BB（Bn）包含fH（Bn）且满足fB=supzBn（z）R f（z）的所有函数。可以验证B是一个Banach空间9，此时配备的范数为fB f（0）+fB。当（z）1 z2()，（0，+）时，该空间成为Bloch空间B4。一些其它的Bloch型空间，可查阅参考文献10等。用Aut（Bn）表示Bn的全纯自同构群。当fH（Bn），Aut（Bn）时定义复合算子Cf=f。设Aut（Bn）和gH（Bn），定义以下新的积分型算子Ig（f）（z）=10R f（t）R g（tz）1tdt，fH（Bn），zBn（1）在（1）中，如果R ff，则算子Ig退化为扩展cesro算子。给出了几个重要引理，作为定理证明的关键工具。引理1：设Aut（Bn）和gH（Bn），则RIg（f）（z）=R f（z）R g（z），fH（Bn）。证明：方法与Krantz-Stevic11中引理4类似，因此在此省略详细过程。引理212：假设mN，0p，q和是正规的。若f，H（p，q，）则存在一个与f无关的正常数C使得Rnf（z）Cz（z）1-z2()nq+mfH（p，q，），zBn。引理3：假设gH（Bn），是正规的，Aut（Bn），则算子Ig：H（p，q，）B是紧的当且仅当H（p，q，）B是有界的且对于H（p，q，）中的任何在Bn的紧子集上一致收敛到零有界序列fkkN（k），有limkIg（fk）B=0。证明：此引理的证明过程是标准的，可参考文献13中命题3.11。欧阳东凌，熊良鹏：混范空间到加权Bloch型空间积分型算子103江西科技师范大学学报第6期IgIgIg全文约定常数C是正数，在不同的情况下不一定相同。3主要结果和证明在本节，研究算子Ig从混合范数空间到加权Bloch型空间的有界性和紧性。定理1：假设Aut（Bn）和gH（Bn）。限定0p+，0q+且在0，1）是正规的，则Ig：H（p，q，）B是有界的当且仅当supzBn（z）R g（z）（z）（z）1（z）2()nq+1+（2）证明：假设（2）成立。如果fH（p，q，），通过引理1和2可以得到supzBn（z）RIg()f（z）=supzBn（z）R f（z）R g（z）C fH（p，q，）supzBn（z）R g（z）（z）（z）1（z）2()nq+1（3）由于Ig（f）（0）0，可以从（2）和（3）中得到Ig的有界性。反之，假设Ig：在H（p，q，）B是有界的。设z=（z1，z2，zn）和（z）（1（z），2（z），n（z）。取fl（z）zl，l=1，2，n。很显然，flH（p，q，），l=1，2，n。因此Ig（f）（z）BsupzBn（z）RIgfl()（z）=supzBn（z）R g（z）R（fl）（z）supzBn（z）R g（z）l（z）+（4）对于l=1，2，n。从（4），可以得到M1=supzBn（z）R g（z）（z）nl=1supzBn（z）R g（z）l（z）+（5）在这里可以使用关系（z）2 1（z）2 2（z）2 n（z）2（1（z）2（z）n（z）2。对于Bn，给出了测试函数f（z）（1-（）2）t+2（）（1z，（）nq+t+2-（1-（）2）t+1（）（1z，（）nq+t+1则fH（p，q，）（参考14）。此外，由于Igf（0）=0，可以看到+fH（p，q，）IgB IgfH（p，q，）BsupzBn（z）RIgf()（z）supzBn（z）R f（z）R g（z）（）R（z）R f（）（）R g（）（）2（）1（）2()nq+1，Bn（6）通过一些简单的估计和使用（6），有supBn：（）12（）R g（）（）2（）1（）2()nq+12supBn：（）12（）R g（）（）2（）1（）2()nq+1+（7）从的正规性和（5）式，得到supBn：（）12（）R g（）（）（）1（）2()nq+1C supBn（）R g（）（）CM1+（8）结合（7）和（8），得到了（2）。定理2：假设Aut（Bn），gH（Bn），0p，q+和在0，1）是正规的，则Ig：在H（p，q，）B是紧的当且仅当（11）成立且lim（z）1（z）R g（z）（z）（z）1（z）2()nq+10（9）证明：如果Ig：在H（p，q，）B是紧的，则Ig：在H（p，q，）B是有界。因此，（11）成立。设ziiN是Bn中一个序列，使得当i+，（zi）1。取测试IgIgIg1042022年函数hi（z）=（1-（zi）2）t+2（zi）（1z，（zi）nq+t+2-（1-（zi）2）t+1（zi）（1z，（zi）nq+t+1，iN，则hi（p，q，）且hi在Bn的紧子集上一致收敛于零（i）（参考14）。由于Ig（hi）（0）=0，通过引理1，有（zi）R g（zi）（zi）2（zi）1（zi）2()nq+1（zi）RIghi()（zi）supBn（z）RIghi()（z）=Ig（hi）B0（10）因此，（10）暗示了（9）。反之，假设（2）和（9）成立。通过定理1，可以知道算子Ig：在H（p，q，）B是有界的。因此通过（5）可以得到M1=supBn（z）R g（z）（z）+（11）设fiiN为H（p，q，）上的有界序列且当i，fi在Bn紧子集上一致收敛于0。由（9），0，（0，1），当（z）1时（z）R g（z）（z）（z）1（z）2()nq+1（12）设Bn：，那么是Bn的一个紧子集。根据（11）和（12），有Ig（fi）B=supzBn（z）RIgfi()（z）=supBn（z）R fi（z）R g（z）supzBn：（z）（z）R fi（z）R g（z）+supzBn：（z）1（z）R fi（z）R g（z）CfiH（p，q，）supzBn：（z）1（z）R g（z）（z）（z）1（z）2()nq+1+M1supR fi（）C+M1supR fi（）（13）通过柯西估计和假设条件，当i时，序列R fi在Bn紧子集上收敛于零。因此limisupR fi（）0（14）使用（13）和（14），得到limiIg（fi）B0（15）根据（15）和引理3，完成了该定理的证明。注：定理2和定理3中，如果取Rg或（Rff），=1z2()，（0，），则此结果被Li-Stevic4证明。4结论本研究利用单位球自同构群的性质，将复合算子融入一个新的积分型算子，给出了此算子从混合范数空间到加权Bloch型空间的有界性和紧性