2023年圆与方程圆的方程典型例题.docx

圆与方程--圆的方程模模范题 模范一：圆的方程 例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并揣摸点 P(2,4)与圆的关 系． 剖析：欲求圆的标准方程，需要出圆心坐标的圆的半径的巨细， 而要揣摸点P与圆的位置关联， 只须看点P与圆心的间隔跟圆的半径的巨细关联， 那么点在圆上；假设间隔小于半径，那么点在圆内． 解法一：（待定系数法） 假设间隔大年夜于半径，那么点在圆外；假设间隔等于半径， 设圆的标准方程为(xa)(yb)r2 2 2 ． ∵圆心在y0上，故b0． ∴圆的方程为(xa)yr2 2 2 ． 又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点． (1a)16r2 2 ∴ (3a)24r2 解之得：a 1，r220． 2 2 因而所求圆的方程为(x1)y20． 解法二：（单刀直入求出圆心坐标跟半径） 因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，因而圆心 C必在线段AB的垂直中分线l上，又因为 42 kAB 1，故l的歪率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直中分线l的方程为： 13 y3x2即xy10． 又知圆心在直线y0上，故圆心坐标为C(1,0) 2 (11)42 ∴半径rAC 20． 2 2 (x1)y20． 故所求圆的方程为 又点P(2,4)到圆心C(1,0)的间隔为 2 (21)42 dPC 25r． ∴点P在圆外． 说明：此题运用两种方法求解了圆的方程，都缭绕着求圆的圆心跟半径这两个要害的量，而后 依照圆心与定点之间的间隔跟半径的巨细关联来断定点与圆的位置关联，假设将点换成直线又该如何样 来断定直线与圆的位置关联呢？ 2 xy2 4x2y40相切，且跟直线 y0相切的圆的方程． 例2求半径为4，与圆 剖析：依照咨询题的特点，宜用圆的标准方程求解． C：(xa)(yb)r2 2 2 解：那么题意，设所求圆的方程为圆 ． 圆C与直线y0相切，且半径为4，那么圆心C的坐标为 C(a,4)或C(a,4)． 12 2 2 又已经清晰圆xy4x2y40的圆心A的坐标为(2,1)，半径为． 3 CA437CA431． 或 假设两圆相切，那么 2 2 2 2 2 2 (1)当C(a,4)时，(a2)(41)7，或(a2)(41)1(无解)，故可得 1 a2210． ∴所求圆方程为(x2210)(y4)42 2 2 (x2210)(y4)42 2 2 ，或 ． C(a,4)时，(a2)(41)72 2 2 (a2)(41)12 22 (无解)，故 (2)当 ，或 2 a226． ∴所求圆的方程为(x226)(y4)42 2 2 (x226)(y4)42 2 2 ，或 ． 说明：对此题，易发作以下曲解： 由题意，所求圆与直线y0相切且半径为4，那么圆心坐标为C(a,4)，且方程形如 2 2 2 2 2 2 2 2 (xa)(y4)4．又圆xy4x2y40，即(x2)(y1)3，其圆心为 2 2 2 A(2,1)，半径为3．假设两圆相切，那么CA43．故(a2)(41)7，解之得a2210．所 以欲求圆的方程为(x2210)(y4)42 2 2 (x2210)(y4)42 22 ． ，或 上述曲解只思索了圆心在直线 y0上方的情况，而疏漏了圆心在直线 y0下方的情况．不的，误 解中不思索两圆内切的情况．也是不双方面的． 例3求经过点A(0,5)，且与直线x2y0跟2xy0都相切的圆的方程． 剖析：欲断定圆的方程．需断定圆心坐标与半径，因为所求圆过定点A，故只要断定圆心坐标．又 圆与两已经清晰直线相切，故圆心必在它们的交角的中分线上． 解：∵圆跟直线x2y0与2xy0相切， ∴圆心C在这两条直线的交角中分线上， 又圆心到两直线x2y0跟2xy0的间隔相称． x2yx2y ∴ ． 5 5 ∴两直线交角的中分线方程是 x3y0或3xy0． 又∵圆过点A(0,5)， ∴圆心C只能在直线3xy0上． 设圆心C(t,3t) ∵C到直线2xy0的间隔等于 AC， 2t3t 2 t2(3t5)． ∴ 5 化简收拾得t26t50． t1t5 解得： 或 ∴圆心是(1,3)，半径为 5或圆心是(5,15)，半径为55． 2 2 22 ∴所求圆的方程为(1)(3)5或 x y (x5)(y15)125． 说明：此题处理的要害是剖析失落丧失落圆心在已经清晰两直线的交角中分线上，从而断定圆心坐标失落丧失落 圆的方程，这是过定点且与两已经清晰直线相切的圆的方程的惯例求法． y x 3:1，在满意前提 例4、设美满意：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分红两段弧，其弧长的比为 (1)(2)的一切圆中，求圆心到直线l：x2y0的间隔最小的圆的方程． 剖析：央求圆的方程，只须运用前提求出圆心坐标跟半径，便可求得圆的标准方程．满意两个 前提的圆有有数个，其圆心的靠拢可看作动点的轨迹，假设能求出这轨迹的方程，便可运用点到直线 的间隔公式，经过求最小值的方法寻到契合题意的圆的圆心坐标，进而断定圆的半径，求出圆的方 程． 解法一：设圆心为P(a,b)，半径为r． x 那么P到轴、y轴的间隔分不为 ba． 跟 由题设知：圆截 x轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ，故圆截 x轴所得弦长为 2r． ∴r22b2 又圆截 y轴所得弦长为2． 2 ∴r2a1． 又∵P(a,b)到直线x2y0的间隔为 a2b 5 d 2 ∴5d2 a2b a24b24ab a4b2(ab2) 2 2 2 2 2 2ba1 5 ab时取“=〞号，如今dmin 当且仅当 这时有 ． 5 ab 2 2 2ba1 a1 a1 ∴ 或 b1 b1 又r22b2 2 2 2 2 2 (x1)(y1)2(x1)(y1)2 或 故所求圆的方程为 解法二：同解法一，得 a2b d ． 5 ∴a2b 5d． ∴a4b45bd5d2 2 2 ． 2 将a22b1代入上式得： 2 2 2b45bd5d10． 上述方程有实根，故 2 8(5d1)0， 5 ∴d 将d ． 5 5 b a 1． 代入方程得 5 2 a2 2 又b 1 1． ∴ 由 知、同号． a2b1ab 2 2 2 2 (x1)(y1)2(x1)(y1)2． 或 故所求圆的方程为 说明：此题是求点到直线间隔最小时的圆的方程，假设变更为求面积最小呢？ 模范二：切线方程、切点弦方程、大年夜众弦方程 2 2 O：xy4，求过点P2，4与圆O相切的切线． 例5已经清晰圆 解：∵点P2，4不在圆O上， ∴切线PT的直线方程可设为 ykx24 依照dr 2k4 2 1k2 ∴ 3 4 3 解得 因而 即 k x24 y 4 3x4y100 因为过圆外一点作圆得切线应当有两条，可见另一条直线的歪率不存在．易求另一条切线为 x2． 说明：上述解题进程随便漏解歪率不存在的情况，要留意补回遗漏的解． 此题另有其余解法，比方把所设的切线方程代入圆方程，用判不式等于 0处理（也要留意漏 解）．还能够运用xxyyr2 ，求出切点坐标 、 xy的值来处理，如今不漏解． 00 0 0 2 2 2 2 C：xyDxEyF0与C：xyDxEyF0订交于A、B两 例6两圆 1 1 1 1 2 2 2 2 点，求它们的大年夜众弦AB地点直线的方程． 剖析：起首求A、B两点的坐标，再用两点式求直线 AB的方程，然而求两圆交点坐标的进程 太繁．为了防止求交点，能够采纳“设而不求〞的技艺． 解：设两圆CC的任一交点坐标为(x,y)，那么有： 、 1 2 0 0 2 2 x0 x0 y0DxEyF0 ① 1 0 1 0 1 2 2 y0DxEyF0 ② 2 0 2 0 2 (DD)x(EE)yFF0． ①－②得： 1 2 0 1 2 0 1 2 ∵A、B的坐标满意方程 (DD)x(EE)yFF0． 1 2 1 2 1 2 (DD)x(EE)yFF0是过AB ∴方程 、两点的直线方程． 1 2 1 2 1 2 又过A、B两点的直线是独一的． ∴两圆CC AB地点直线的方程为(DD)x(EE)yFF0． 121212 、 的大年夜众弦 1 2 说明：上述解法中，奇特地避开了求 A、B两点的坐标，尽管设出了它们的坐标，但并不去 求它，而是运用曲线与方程的不美不雅念到达了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求〞的技艺， 从常识内容的角度上说，还表达了对曲线与方程的关联的深入了解以及对直线方程是一次方程的本 质见地．它的运用特不普遍． 例7、过圆x2y1外一点M(2,3)，作那个圆的两条切线MAMB，切点分不是AB，求 2 、 、 直线AB的方程。 练习： 2 2 1．求过点M(3,1)，且与圆(x1)y4相切的直线的方程． l 解：设切线方程为 y1k(x3)，即kxy3k10， ∵圆心(1,0)到切线l的间隔等于半径2， |k3k1| 3 4 ∴ 2，解得k ， 2 1 k2 3 ∴切线方程为y1 (x3)，即3x4y130， 4 当过点 故直线 M的直线的歪率不存在时，其方程为 x3，圆心(1,0)到此直线的间隔等于半径 2， x3也适合题意。 因而，所求的直线l的方程是3x4y130或x3． 5 2、过坐标原点且与圆x2y24x2y 0相切的直线的方程为 2 5 2 2 解：设直线方程为ykx，即kxy0.∵圆方程可化为(x2)(y1)2 ，∴圆心为（ 2， 2k1 10 2 10，解得 2 1 3 k 3k 或 -1），半径为 .依题意有 ，∴直线方程为y 3x或 2 k1 1 y x. 3 2 2 3、已经清晰直线5x12ya0与圆x2xy0相切，那么a的值为 . 5a 解：∵圆(x1)2y2 1，解得或 a8a 18. 1 的圆心为（1，0），半径为 1，∴ 2 5122 模范三：弦长、弧咨询题 22 C:xy2x4y0截得的弦AB的长. 例8、求直线l:3xy60被圆 2 例9、直线3xy230截圆xy24得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距d 3，故弦长AB2r2d22，从而△OAB是等边三角形，故截 得的劣弧所对的圆心角为 AOB . 3 例10、求两圆x2y2xy20x2y5的大年夜众弦长 2 跟 模范四：直线与圆的位置关联 2 2 例11、已经清晰直线3xy230跟圆xy4，揣摸此直线与已经清晰圆的位置关联 . 4x2 有且只要一个大年夜众点，务实数 m的取值范畴 . 例12、假设直线yxm与曲线y 4x2 xy4(y0)，∴运用数形结公正，可得实数 2 2 m的取值范 解：∵曲线y 表现半圆 围是2m2或m22. 2 2 (x3)(y3)9 例13圆 3x4y110的间隔为1的点有多少多个？ 上到直线 剖析：借助图形直不美不雅求解．或先求出直线