2023年四川省成都市树德协进高二数学上学期期中考试试题旧人教版.docx

树德协进中学2023—2023学年度（上）期半期考试高 2023 级 数 学 试 题 （本卷总分值：150分，考试时间：120分钟） 第卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。 1．假设直线的倾斜角为，那么等于 （ C ） A．0 B． C． D．不存在 2． 抛物线y=4x2的准线方程是 （ D ） A．x=1 B． C．y=－1 D． 3．.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），那么两条渐近线的夹角为　 （D ） 　　A．30º　　 B．45º　　 C．60º　　 D．90º 4. 点到直线：的距离为最大时，的值为 （ B ） A．7 B．5 C．3 D．1 5．“点M在曲线上〞是“点M到两坐标轴距离相等〞的 ( A ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 6．方程表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，那么的值 依次为 （ B ） Ａ．2、4、4； Ｂ．-2、4、4； Ｃ．2、-4、4； Ｄ．2、-4、-4 7．椭圆的焦点， ，是椭圆上一点，且是，的等差中项，那么椭圆的方程是 （ C  ） 　　A．      B．　　C．      D． 8．设a,b,c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，那么直线 sinA·x+ay+c＝0与bx－sinB·y+sinC＝0的位置关系是 ( C ) 9．F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，假设边MF1的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率是 （D ） A． B． C． D． 10．实数x, y满足，那么的最小值是 （ B ） A． B． C． D．2 11．假设双曲线与直线无交点，那么离心率的取值范围是 （ A ） A． B． C． D． 12．（理科）E、F是椭圆的左、右焦点，是椭圆的一条准线，点P在上， 那么∠EPF的最大值是 （ B ） A．60° B．30° C．90° D．45° P F1 O F2 x y M 30° ） （文科）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点 F1作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，假设线段PF1的中点M落在y轴上，那么双曲线的渐近线方程为 （ C ） A． B． C． D． 树德协进中学2023—2023学年度（上）期半期考试 高 2023 级 数 学 试 题 第卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．点（1，0）关于直线x+y+1=0的对称点是 （ —1，—2） 。 14．假设为圆的弦AB的中点, 那么直线AB的方程为_ x－y－3=0_. 15．(理科)过抛物线的焦点作直线交抛物线于A(x1, y1), B(x2, y2)，那么=_ －4 。 （文科）设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于、两点，又知点恰好为的中点，那么的值是 6 . 16．以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，那么动点P的轨迹为双曲线； ②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，假设那么动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线有相同的焦点. 其中真命题的序号为 ③④ （写出所有真命题的序号） 三、解答题（本大题6小题，共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(12分) 一动点到两定点、的距离之差的绝对值等于，求点的轨迹方程。 解：设点，依题意： ∴ ……………… 4分 将方程移项后，两边平方，得： 整理，得：………………………… 8分 两边平方，得： 整理，得： 为所求曲线的方程 …………………………………… 12分 18. (12分) 将直线绕着它与轴的交点按逆时针方向旋转角后，恰好与圆相切，求旋转角的最小值． 解： 因为直线与轴的交点为P（3，0）， 又圆的圆心C，半径为， ………………………… 4分 显然切线存在斜率，所以设切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径可知， 解得，和 由题设可知应取 …………………………… 8分 由到角公式知，故旋转角的最小值为．……………… 12分 19. (12分) 直线 （1）证明直线过定点； （2）假设直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）假设直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记△AOB的面积为S， 求S的最小值，并求此时直线的方程。 解：（1）证明:直线的方程化为 由 得 ∴直线过定点 ……………………………………… 3分 （2）由（1）知直线过定点，结合图像可得≥0………… 5分 （3）依题意，有，且＞0……………… 7分 ∴ ≥……………………………10分 当且仅当，即时， 此时，的方程为： …………………………………………12分 O A D C B 6m 2m F y x F 20．(12分) 一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段COD和矩形 ABCD的三边组成，拱的顶部O距离水面5m，水面上的矩形的高 度为2m，水面宽6m，如下列图，一艘船运载一个长方体形的集装 箱，此箱平放在船上，船宽5m，船面距离水面1．5m，集装箱 的尺寸为长×宽×高=4×3×3(m). 试问此船能否通过此桥？并说 明理由. 解：建立如下列图的坐标系，使抛物线顶点O在坐标原点，对称轴与y轴重合， 设抛物线方程为x2=ay (a<0) …………………………………………………… 2分 由题设条件知C（3，－3）在抛物线上， ∴9=－3a， a=－3， 即抛物线方程为x2=－3y. ………………………………………………… 5分 要使船能顺利通过，应使集装箱最高处E、F关于y轴对称. 于是设F（1.5, y02=－3y0. ……………… 8分 ∴y0=－0.75 此时点F距离水面的高度为5－0.75=4.25. 而集装箱高加船高为3+1.5=4.5>4.25，故此船不能通过此桥 …………… 12分 21．(12分)双曲线的右焦点为F，渐近线上一点满足：直线PF与渐近线垂直。 （1）求该双曲线方程； （2）设A、B为双曲线上两点，假设点N（1，2）是线段AB的中点，求直线AB的方程. 解：(1)设半焦距为，那么，直线l1的方程为，直线PF的方程为 解方程组 可得，又点坐标为 ∴ ∴双曲线方程为………………………… 6分 ① ② （2）设A(x1, y1), B(x2, y2)，那么有 ②－①, 得. ∴ 即直线AB的方程为, 即 ………………………… 12分 22. (14分) (理科)如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点， P D C B M N A x y O M为CD的中点. （1）求点M的轨迹方程； （2）过M作AB的垂线，垂足为N，假设存在正常数， 使，且P点到A、B 的距离和为定值， 求点P的轨迹E的方程； （3）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，且，求此直线方程. 解：（1）设点M的坐标为M(x, y)(x≠0)，那么 又 由AC⊥BD有， 即，∴x2+y2=1（x≠0）. ……………………… 4分 （2）设P（x, y），那么，代入M的轨迹方程有 即，∴P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点）. 要P到A、B的距离之和为定值，那么以A、B为焦点，故 ∴ 从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0). ………………… 8分 （3）易知l的斜率存在，设方程为 联立9x2+y2=1，有 设P(x1, y1), Q(x2, y2)，那么. ∵，而 ∴. 整理，得 ∴ 即所求l的方程为……………………… 14分 （文科）双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，假设直线l： x＝与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形． 　（1）求双曲线C的离心率e的值； 　（2）假设双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为，求双曲线c的方程． 　　（2）由（1）得双曲线C的方程为把． 　　把代入得． 　　依题意　　∴　，且． 　　∴　双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为 　　 　　 　　∵　．　∴　． 整理得　．∴　或． ∴　双曲线C的方程为：或．……………14分