2023年四川省届高三数学专题训练4立体几何（理）（年3月成都研讨会资料）旧人教版.docx

专题四 立体几何专项训练 一、选择题 1．如图，点E是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1的中点，那么过点E且与直线AB、B1C1都相交的直线的条数是 A．0 B．1 C．2 D．无数条 2．P是正三棱锥P—ABC的侧棱PC上一点〔侧棱端点除外〕，那么∠APB的大小满足〔 〕 A． B． C． D． 的平行光线照射，其在水平面上的投影是一个长半轴为5m的椭圆，那么制造这个广告气球至少需要的面料是〔 〕 A． 100m2 B． 100 m2 C． 100 m2 D．100 m2. 4．正四棱锥的底面边长为x，侧棱长为y，那么的取值范围是〔 〕 A． B． C． D． 5.长方体的各顶点都在半径为R的球面上，那么该长方体的最大体积是 A． B． C． D． 6.在水平横梁上A、B两点各挂长为50cm的细线AM，BN，|AB|=60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行于横梁，木条中点为O，假设木条绕其中点O水平方向旋转，那么木条比原来升高了 A．10cm B．5cm C． D． 7．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1DA的间隔与点P到点M的间隔的平方差等于1，那么点P的轨迹是〔 〕 A．抛物线 B．双曲线 C．直线 D． 以上都不对 8．如图，已经知道正方体上、下底面中心分别为，将正方体绕直线旋转一周，其中由线段旋转所得图形是〔 〕 二、填空题 9．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，PA=a，AB＝2PA，ÐABC＝60°，那么D到平面PBC的间隔为________________． 10．设是异面直线，点A、B在上运动，，点C、D在上运动，，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点. 给出以下命题：①四面体ABCD的体积是常数；②四边形EFGH的面积是常数；③可能与平面AEC都成900；④四边形EFGH是菱形.其中正确命题的序号是__________. 11．如图，正四棱锥V—ABCD的侧棱长与底边长相等，点E是棱VA的中点，点O是底面中心，那么异面直线EO与BC所成的角是________________ 12．有一个正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为，如今要用一张正方形的包装纸将它完全包住．〔不能裁剪纸，但能够折叠〕那么包装纸的最小边长应为__________________． 三、解答题 12cm的正方形铁片，按图将阴影局部裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个四棱锥容器P－ABCD． C D P A B C D P 〔1〕证明：四棱锥P－ABCD为正四棱锥； 〔2〕求容器四棱锥P－ABCD容积的最大值； 〔3〕在四棱锥P－ABCD的容积最大值时，如它的顶点都在一个球面上，求这个球的外表积． 14.直三棱柱中，，，为棱的中点． 〔1〕求异面直线与所成的角； 〔2〕求平面与平面所成的角的大小． 15.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC= ⑴求证：PD⊥平面ABCD ⑵求异面直线PB与AC所成的角 ⑶求二面角A－PB－D的大小 ⑷在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径 ⑸求四棱锥外接球的半径 16.如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，，，是棱的中点． 〔1〕求证：； 〔2〕求点到平面的间隔； 〔3〕求二面角的大小． 专题四 立体几何专项训练参考答案 一、选择题 DABB DABD 8．显然在旋转过程中，线段上任意一点到轴的中点为M，线段的中点为O，那么OM是异面直线和N是线段上任意一点，N在轴上的射影为P，我们只需研究在静止状态下线段MN与PN的函数关系即可.如图，以正方体的中心O为原点建立空间直角坐标系，不失一般性，设点N在线段MC1上.设正方体边长为2，，，那么由异面直线和所成角为450知，故在Rt△OPN中，由得：， 即与满足双曲线关系，应选D. 二、填空题 9．a; 10．①②④; 11．;12． 三、解答题 13．证明：〔1〕由于余下的四个全等的等腰三角形，因而它们的底边相等，即AB＝BC＝CD＝DA，且它们的腰也相等，即PA＝PB＝PC＝PD． 由AB＝BC＝CD＝DA得，底面ABCD为菱形，因而ÐABC＝ÐCDA．由PA＝PB＝PC＝PD得，顶点P在平面ABCD上的射影为四边形ABCD的外心，因而ÐABC＋ÐCDA＝180°， A B C D P O Q 因而ÐABC＝90°，因而底面ABCD为正方形．且顶点P在平面ABCD上的射影为正方形ABCD的外心，即为正方形ABCD的中心，故四棱锥P－ABCD为正四棱锥． 〔2〕设正四棱锥的高为h，又斜高为h¢＝6，那么h∈(0，6)．且底面边长为2，体积V＝(36－h2)×h＝－h3＋48h，V¢＝－4h2＋48＝－4(h＋2)(h－2)，令h¢＝0得h＝2， 当h＞2 时V¢＞0，V为增函数，当h＜2时，V¢＜0，V为减函数，因而 当h＝2时，V有极大值，又在(0，6)上V只有一个极大值，因而，这个极大值即为最大值．当h＝2 时，Vmax＝64． 〔3〕如图，设此球的球心为Q，那么Q必在棱锥的高PO上，设球半径为R，那么 (R－2)2＋(4)2＝R2ÞR＝5，S＝300p． 14.解法一：〔1〕连结交于点，取中点，连结，那么∥． ∴直线与所成的角确实是异面直线与所成的角． 设，那么 ，． ．中，，， 直三棱柱中，，那么． ．， 异面直线与所成的角为． 〔2〕直三棱柱中，，平面． 那么． 又，，，那么， 因而． 平面． 又平面，平面平面．故平面与平面所成的角为900. 解法二：〔1〕建立如以下列图的空间直角坐标系. 设，那么， 因而． ， 异面直线与所成的角为． 〔2〕，. 那么．平面． 平面平面， 故平面与平面所成的角为900. 15.解析：〔1〕要证PD⊥平面ABCD，只需证PD垂直于平面ABCD内的两条相交线，而所给已经知道量都是数，故可考虑勾股定理的逆定理 ∵PD=a，AD=a，PA= ∴PD2+DA2=PA2 同理∴∠PDA=90°即PD⊥DA，PD⊥DC ∵AO∩DC=D ∴PD⊥平面ABCD ⑵从图形的特别性，应先考虑PB与AC是否垂直，假设不垂直然后再转化 连结BD，∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ∵PD⊥平面ABCD ∴PD⊥AC ∵PD∩BD=D ∴AC⊥平面PDB ∵PBÌ平面PDB ∴AC⊥PB ∴PB与AC所成的角为90° ⑶由于AC⊥平面PBD，因而用垂线法作出二面角的平面角 设AC∩BD=O，过A作AE⊥PB于E，连OE ∵AO⊥平面PBD ∴OE⊥PB ∴∠AEO为二面角 A－PB－D的平面角 ∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB ∴PA⊥AB 在Rt△PDB中， 在Rt△PAB中，∵，∴ 在Rt△AOE中， ∴∠AEO=60°， ∴二面角A－PB－D的大小为60° R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SD、SP，那么把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ∵ ∴球的最大半径为〔〕 ⑸四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五的间隔均为半径，只要找出球心的位置即可，在Rt△PDB中，斜边PB的中点为F，那么PF=FB=FD不要证明FA=FC=FP即可 设PB的中点为F,∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD,在Rt△PAB中：FA=FP=FB,在Rt△PBC中：FP=FB=FC,∴FP=FB=FA=FC=FD,故F为四棱锥外接球的球心,FP为外接球的半径 ∵FP=,∴ ∴四棱锥外接球的半径为 【说明】⑴此题主要考察棱锥的性质以及内切外接的相关知识点; ⑵“内切〞和“外接〞等有关咨询题，首先要弄清几何体之间的互相关系，主要是指特别的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中处理咨询题，例如本例中球内切于四棱锥中时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到五个面的间隔相等; ⑶求体积或运用体和处理咨询题时，经常使用等积变形，即把一个几何体割补成其它几个几何体的和或差. 〔4〕立体几何的推理必须做到言必有据，论证紧密. 16.解析：此题考察多面体中的线面关系，求二面角，求点到平面的间隔：考察多面体中的线面关系，求点到平面的间隔、二面角. 证明：连接，是正方形，∴，又， ∴平面，∴，又，∴平面，∴ 〔2〕解：在平面中，过点作，垂足为，连接，又过点作，垂足为，那么为点到平面的间隔，在中，有，∴， 在中，，点到平面的间隔为． 解法2：用等体积法，设点到平面的间隔为， 在中，为直角三角形，由得，∴ ，∴点到平面的间隔为． 〔3〕解：取线段的中点，连接，那么，，∴，再取线段的中点，连接，∴，∴，∴是二面角的平面角，在中， ，，取线段的中点，连接，那么，在中，，∴，由余弦定理知，∴二面角的大小为． 空间向量解法： 〔1〕证明：用基向量法． 设，，，，，，，， ∴，∴，∴，，∴，∴，即， ∴ 〔2〕解：构建空间直角坐标系，运用向量的坐标运算． 以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如以下列图的空间直角系．那么，，，，，，，，设平面的一个法向量为，∵， ∴，， ∴，令，那么，，得． ，求点到平面的间隔 〔3〕解：设平面的一个法向量为． ∵， ∴，，令，那么，，得．又设平面的一个法向量为∵， ∴∴，令，那么，，得． ，∴二面角的大小为． 或者，的中点的坐标为，，， ，∴， ∴二面角的大小为．