2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案对称问题高中数学.docx

7.6对称问题 一、明确复习目标 1．掌握求曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法. 2．掌握判断曲线(或曲线间)对称的方法. 二．建构知识网络 1.点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y) 事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。 2.点关于直线的对称点 即对称轴为两对称点连线的“垂直平分线“，利用〞垂直“和〞平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，方法： 设点(x0,y0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x’,y’)，那么 3.曲线关于点〔中心〕，直线〔轴〕的对称问题的一般思想是用代入转移法。 〔1〕曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0 〔2〕曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法： 设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P0(x0,y0)，在曲线f(x,y)=0上，由两点关于直线对称的解法，求得x0,y0，代入f(x0,y0)=0，即得对称曲线方程。 4、常用的对称关系 点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，关于y轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b) 关于直线y=x的对称点为(b,a)，关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m的对称点(m-b,m-a). 三、双基题目练练手 1. (2023全国II)圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，那么圆C的方程为 ( ) A.(x＋1)2＋y2＝1　　　 B.x2＋y2＝1　　　 C.x2＋(y＋1)2＝1　　　 D.x2＋(y－1)2＝1 2.方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线 ( ) A.关于x轴对称但不关于y轴对称 B.关于y轴对称但不关于x轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对 3.(2023全国II)函数y＝－ex的图象 ( ) A.与y＝ex的图象关于y轴对称　　　　B.与y＝ex的图象关于坐标原点对称 C.与y＝e－x的图象关于y轴对称　　　 D.与y＝e－x的图象关于坐标原点对称 4．曲线x2＋4y2＝4关于点M〔3，5〕对称的曲线方程为____________. 5. 光线从点A〔-3，4〕发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B〔-2，6〕，求射入y轴后的反射线的方程。 6. 直线交x、y轴于A、B两点，试在直线上求一点P，使最小，那么P点的坐标是_________ 简答:1-3.CCD；4.〔x－6〕2+4〔y－10〕2=4； 5.解：A〔-3，4〕关于x轴的对称点〔-3，-4〕在经x轴反射的光线上；A1〔-3，-4〕关于y轴的对称点〔3，-4〕在经过射入y轴的反射的光线上，∴= ∴所求直线方程为 ，即 6.(0,0) 四、经典例题做一做 【例1】求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程. 分析：由平面几何知识可知假设直线a、b关于直线l对称，它们具有以下几何性质：〔1〕假设a、b相交，那么l是a、b交角的平分线；〔2〕假设点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；〔3〕a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 解得a与l的交点E〔3，－2〕，E点也在b上. 解：由 2x+y－4=0， 3x+4y－1=0， 方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－. 那么=. 解得k=－.代入点斜式得直线b的方程为 y－〔－2〕=－〔x－3〕， 即2x+11y+16=0. 方法二：在直线a：2x+y－4=0上找一点A〔2，0〕，设点A关于直线l的对称点B的坐标为〔x0，y0〕， 由 3×+4×－1=0， =， 解得B〔，－〕. 由两点式得直线b的方程为 =，即2x+11y+16=0. 方法三：设直线b上的动点P〔x，y〕关于l：3x+4y－1=0的对称点Q〔x0，y0〕，那么有 3×+4×－1=0， =. 解得x0=，y0=. Q〔x0，y0〕在直线a：2x+y－4=0上， 那么2×+－4=0， 化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程. 方法四：设直线b上的动点P〔x，y〕，直线a上的点Q〔x0，4－2x0〕，且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，那么有 =， =. 消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0〔舍〕. ◆提炼方法：1.方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程; 2.方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数. 【例2】.ΔABC中点A(3,-1),AB边上的中线为:6x+10y-59=0,∠B的平分线为:x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程. 解:设B(a,b),在∠B的平分线上,那么a-4b+10=0 ① C A x y O T A/′′′′′ B 又AB的中点在CM上,有: 　　　② 解①,②得B(0,5).设∠B平分线交AC于点T. ∵, 由 ∴BC的方程为2x+9y-65=0. 法2:(1)求B的坐标; (2)求A关于∠B的平分线对称的点A′,写出A′的方程即为所求(BC). 【例3】点M〔3，5〕，在直线：和y轴上各找一点P和Q，使的周长最小。 解：可求得点M关于的对称点为〔5，1〕， 点M关于y轴的对称点为〔-3，5〕，那么 的周长就是，连， 那么直线与y轴及直线的交点P、Q即为所求。 直线的方程为，直线 与y轴的交点坐标为，由方程组 得交点，∴点、即为所求。 ◆特别提示：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用。 【例4】长方形的四个顶点A〔0，0〕、B〔2，0〕、C〔2，1〕和D〔0，1〕，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4〔入射角等于反射角〕.设P4的坐标为〔x4，0〕.假设1<x4<2，求tanθ的取值范围. 解：设P1B=x，∠P1P0B=θ，那么CP1=1－x， ∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ， ∴tanθ==x. 又tanθ===x， ∴CP2==－1. 而tanθ====x， ∴DP3=x〔3－〕=3x－1. 又tanθ====x， ∴AP4==－3. 依题设1<AP4<2，即1<－3<2， ∴4<<5，>>. ∴>tanθ>. 【研讨.欣赏】抛物线y=ax2－1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围. 解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P〔x1，y1〕、Q〔x2，y2〕，线段PQ的中点为M〔x0，y0〕，设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程 ax2－x－〔1+b〕=0. ① 判别式Δ=1+4a〔1+b〕＞0. ② 由①得x0==，y0=x0+b=+b. ∵M∈l，∴0=x0+y0=++b， 即b=－，代入②解得a＞. 解法二：设同解法一，由题意得 将①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得 由二元均值不等式易得 2〔x12+x22〕＞〔x1+x2〕2〔x1≠x2〕. 将⑤⑥代入上式得 2〔－+〕＞〔〕2，解得a＞. 解法三：同解法二，由①－②，得 y1－y2=a〔x1+x2〕〔x1－x2〕. ∵x1－x2≠0，∴a〔x1+x2〕==1. ∴x0==.∵M〔x0，y0〕∈l， ∴y0+x0=0，即y0=－x0=－，从而PQ的中点M的坐标为〔，－〕. ∵M在抛物线内部， ∴a〔〕2－〔－〕－1＜0. 解得a＞.〔舍去a＜0，为什么〕 五．提炼总结以为师 1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理. 2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。 3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法 4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等 同步练习 7.6对称问题 【选择题】 1.直线l1: x+my+5=0和直线l2:x+ny+P=0，那么l1、l2关于y轴对称的充要条件是( ) A、 B、p=-5 C、m=-n且p= -5 D、且p=-5 2.点M〔a，b〕与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，那么点Q的坐标为 〔 〕 A〔a，b〕 B〔b，a〕C〔－a，－b〕 D〔－b，－a〕 3.方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆 〔 〕 A、关于x轴对称 B、关于y轴对称 C、关于直线x-y=0对称 D、关于直线x+y=0对称 【填空题】 4.直线关于定点 对称的直线方程是______ 5.直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A〔4，－1〕、B〔3，4〕的距离之差最大，那么P点的坐标是____________. 6．如果直线ax─y+3=0与直线3x─y─b=0关于直线x─y+1=0对称，那么a= , b= 答案提示：1－3.CBD；4.； 5.解：易知A〔4，－1〕、B〔3，4〕在直线l：2x－y－4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1〔0，1〕，当A1、B、P共线时距离之差最大.答案：〔5，6〕 6.答案：1/3, 5说明：掌握k=±1时，求对称点的方法 【解答题】 7.一条光线经过P(2,3)点，射在直线：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1) （1） 求入射光线所在的直线方程 （2） 求这条光线从P到Q的长度。 解：(1)设Q(1,1)关于：x+y+1=0的对称点，易证 入射光线所在直线方程，即5x-4y+2=0 〔2〕是的垂直平分线，因而即为所求 8. △ABC的一个顶点A〔－1，－4〕，∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程. 解：设点A〔－1，－4〕关于直线y+1=0的对称点为A′〔x1，y1〕，那么x1=－1，y1=2×〔－1〕－〔－4〕=2，即A′〔－1，2〕. 在直线BC上，再设点A〔－1，－4〕关于l2：x+y+1=0的对称点为A″〔x2，y2〕，那么有 ×〔－1〕=－1， ++1=0. 解得 x2=3， y2=0， 即A″〔3，0〕也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y－3=0为边BC所在直线的方程. 9. 两点A〔2，3〕、B〔4，1〕，直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P. 〔1〕使|PA|+|PB|最小； 〔2〕使|PA|－|PB|最大. 解：〔1〕可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为〔x1，y1〕. 那么有 +2·－2=0， ·〔－〕=－1. 解得