2023年兰州高三9月月考数学试卷及答案.docx

2023-2023-1学期高三九月月考数学试题 一、选择题：〔本大题共有12道小题，每题5分，共60分〕 1．集合,,那么( B ) A． B． C． D． 2. 以下函数中既是奇函数，又在上单调递增的是 〔 C 〕 A． B． C． D． 3. 给出两个命题:命题命题“存在〞的否认是“任意〞；命题：函数是奇函数. 那么以下命题是真命题的是( C ) A. B. C. D. 4.假设函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a等于( D ) A．－1 B．1 C．－2 D． 2 5 函数是函数的导函数，那么的图象大致是( A ) A． B． C． D． 6．命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且的一个充分不必要条件是，那么a的取值范围是 (　B　) A．(－∞，1]　　　B．[1，＋∞) C．[－1，＋∞)　　D．(－∞，－3] 7．7. 函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，那么实数m的取值范围是 (　 B　) A．(0，2) B．(－∞，1] C．(－∞，1) D．(0，2] 8．假设f(x)＝是R上的单调递增函数，那么实数a的取值范围为(　C ) A．(1，＋∞) B．(4，8) C．[4，8) D．(1，8) 9. 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当时，不等式成立，假设a＝30.2f(30.2)，b＝ (logπ2)f(logπ2)， c＝f ，那么，，间的大小关系 (　 A ) A． B． C．　 　D． 10. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．假设实数a满足f()＋f()≤2f(2)，那么a的取值范围是(　D) A．(－∞，4] B. (0，4] C. D． 11．(文)是奇函数，那么〔 A 〕 A..14 B． 12 C． 10 D．-8 11. (理)假设函数的大小关系是 (C ) A． B． C． D．不确定 12．函数y＝f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x)．当x∈(2，3)时，f(x)＝log2(x－1)．给出以下4个结论：其中所有正确结论的为 〔 A 〕 ①函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称； ②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数； ③函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增； ④当x∈(－1，0)时，f(x)＝－log2(1－x)． A．①②④ B．②③ C．①④ D．①②③④ 二、填空题〔本大题共有4道小题，每题5分,共20分〕 13.实数满足那么的最大值__-4_______ 14. ，那么函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 15. 假设函数()满足且时，,函数,那么函数在区间内零点的个数有__12_个. 16. 存在区间〔〕，使得， 那么称区间为函数的一个“稳定区间〞.给出以下4 个函数： ①；②；③ ； ④ 其中存在“稳定区间〞的函数有②__③_ .〔把所有正确的序号都填上〕 三、解答题(本大题共有5道小题，每题12分,共60分) 17.〔本小题总分值12分〕 设向量，，其中，，函数 的图象在轴右侧的第一个最高点〔即函数取得最大值的点〕为，在原点右侧与轴的第一个交点为. 〔Ⅰ〕求函数的表达式； 〔Ⅱ〕在中，角A，B，C的对边分别是，假设， 且，求边长． 解：解：〔I〕因为， -----------------------------1分 由题意， -----------------------------3分 将点代入，得， 所以，又因为 -------------------5分 即函数的表达式为． ---------------------6分 〔II〕由，即 又 ------------------------8分 由 ，知， 所以 -----------------10分 由余弦定理知 所以 ----------------------------------------------------12分 18.〔文〕〔本小题总分值12分〕为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表： 评估的平均得分 全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀 〔Ⅰ〕求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级； 〔Ⅱ〕用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率. 【解析】： 〔Ⅰ〕6条道路的平均得分为.-----------------3分 ∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分[来源:Zxxk.Com] 〔Ⅱ〕设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过〞. -----7分 从条道路中抽取条的得分组成的所有根本领件为：，，，，，，，，，，，，，，，共个根本领件． -----------------9分 事件包括，，，，，，共个根本领件， ∴． 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为.------12分 18.〔理〕〔本小题总分值l 2分〕 在2023年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立答复全部问题．规定：至少正确答复其中2题的便可通过．6道备选题中考生甲有4题能正确答复，2题不能答复；考生乙每题正确答复的概率都为，且每题正确答复与否互不影响． (I)分别写出甲、乙两考生正确答复题数的分布列，并计算其数学期望； (II)试用统计知识分析比拟两考生的通过能力． 解析：(I)设考生甲、乙正确答复的题目个数分别为ξ、η，那么ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， ∴考生甲正确完成题数的分布列为[来源:Zxxk.Com] ξ 1 2 3 P Eξ＝1×＋2×＋3×＝2. ………………………………………..4分 又η～B(3，)，其分布列为P(η＝k)＝C·()k·()3－k，k＝0，1，2，3； ∴Eη＝np＝3×＝2. ………………………………………6分 (II)∵Dξ＝(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2×＝， Dη＝npq＝3××＝， ∴Dξ<Dη. ………………………………..8分 ∵P(ξ≥2)＝＋＝，P(η≥2)＝＋，∴P(ξ≥2)>P(η≥2)． ………………10分 从答复对题数的数学期望考查，两人水平相当；从答复对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．………………12分 19〔理〕在四棱锥中，平面，是的中点， ,, . 〔Ⅰ〕求证：； 〔Ⅱ〕求二面角的余弦值． A B C D P E 解：〔Ⅰ〕取的中点,连接,, 那么∥. 因为 所以.………………………………1分 因为 平面，平面 所以 又 所以 ⊥平面 ……………………………………………………………3分 因为平面,所以 ⊥； 又 ∥，所以 ； 又因为 , ； 所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分 因为平面，所以 …………………………6分 〔注：也可建系用向量证明〕 A B C D P E F y z x 〔Ⅱ〕以为原点，建立如以下图的空间直角坐标系. 那么,,，,, ，. ………………………………………………8分 设平面的法向量为，那么 所以 令.所以. ……………………9分 由〔Ⅰ〕知⊥平面,平面,所以⊥. 同理⊥.所以平面 所以平面的一个法向量 . …………………10分 所以， ……………………11分 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． ……………………12分 A B C D P E 19.(文)在四棱锥中，平面， 是的中点， , ，. 〔Ⅰ〕求证：∥平面； 〔Ⅱ〕求证：． 证明：〔Ⅰ〕取的中点,连接,. 那么有 ∥. A B C D P E F M 因为 平面，平面 所以∥平面．……………………2分 由题意知, 所以 ∥. 同理 ∥平面．…………………4分 又因为 平面,平面, 所以 平面∥平面． 因为 平面 所以 ∥平面． ……………………………………………………………6分 〔Ⅱ〕取的中点,连接,,那么∥. 因为,所以 .………………………………………7分 因为 平面，平面，所以 又 所以 ⊥平面 ……………………………………………………………9分 因为平面所以 ⊥ 又 ∥，所以 又因为, 所以 ⊥平面 ……………………………………………………………11分 因为平面 所以 ………………………………………………………………12分 20. (本小题总分值12分) 椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．. 〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程； 〔Ⅱ〕假设直线与椭圆C相交于A、B两点，且，判断△AOB的面积是否为定值？假设为定值，求出定值；假设不为定值，说明理由． 【解析】： (1)由题意知，∴，即， 又，∴， 故椭圆的方程为 4分 (II)设，由得 ， ，. 7分 8分 , , , , 12分 21．〔文〕函数，其中a∈R. (1)当时，求曲线在点处的切线的斜率； (2)当时，求函数的单调区间与极值． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e. 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. …4分 (2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a] ex 令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2， …6分 由a≠