2023年兰州20高三期中数学理试题及答案.docx

兰州一中2023-2023-1学期高三年级期中考试 数学试题〔理科〕 第I卷〔选择题 共60分〕 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.假设集合,,那么 〔 〕 A. B. C. D. 2.复数，假设是实数，那么实数的值为 〔 〕 A． B． C． D． 3.以下判断正确的选项是 ( ) .函数为上可导函数，那么是为函数极值点的充要条件[来源:学§科§网] .命题“〞的否认是“〞 C.“〞是“函数是偶函数〞的充要条件 D. 命题“在中，假设，那么〞的逆命题为假命题 4.一个长方体被一个平面截去一局部后所剩几何体的三视图如以下图(单位：cm)，那么该几何体的体积为 (　 　) A．120 cm3 B．100 cm3 C．80 cm3 D．60 cm3 5.由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为 ( ) A. B. C. D. 6.设等差数列的前项和为，假设,,，那么 〔 〕 A. B. C. D. 学典籍九章算术“盈缺乏〞中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？〞现用程序框图描述，如以下图，那么输出的结果 ( ) A. B. C. D. 8.设，那么 ( ) A. B. C. D. 9.函数，那么的图象大致为 ( ) O y x O y x O y x O y x A B C D 10.函数的图象向右平移个单位后，与函数的 图象重合，那么的值为 ( ) A. B. C. D. 11.椭圆: 的左、右焦点分别为,焦距为. 假设直线y= 与椭圆的一个交点M满足，那么该椭圆的离心率等于 〔 〕 A. B. C. D. R上的函数满足：且，，那么方程在区间上的所有实根之和为 〔 〕 A. B . C. D. 第二卷〔非选择题 共90分〕 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13.向量 . 14.，那么 . 15.满足约束条件假设的最小值为,那么 . 中，内角的对边分别为,,， 那么面积的最大值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．〔本小题总分值12分〕 函数. 〔Ⅰ〕求的最小正周期及对称中心； 〔Ⅱ〕假设，求的最大值和最小值. 18．〔本小题总分值12分〕 如图，在直三棱柱中，，是棱上 的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面． B A C D P 〔Ⅰ〕求证：； 〔Ⅱ〕求二面角的平面角的正弦值． 19．〔本小题总分值12分〕 随着苹果7 的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一局部大学生可望而不可及，因此“国美在线〞推出无抵押分期付款的购置方式，某店对最近100位采用分期付款的购置者进行统计，统计结果如下表所示. 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 35 25 10 分3期付款的频率为，并且销售一部苹果7 ，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2023元，以频率作为概率. (Ⅰ)求，的值，并求事件：“购置苹果7 的3位顾客中，至多有1位分4期付款〞的概率； 〔Ⅱ〕用表示销售一部苹果7 的利润，求的分布列及数学期望. 20．〔本小题总分值12分〕 抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点 〔Ⅰ〕证明：抛物线在点的切线与平行； 〔Ⅱ〕是否存在实数，使以为直径的圆经过点？假设存在，求的值；假设不存在，说明理由. 21．(本小题总分值12分) 函数． 〔Ⅰ〕当时，求的单调区间； 〔Ⅱ〕假设函数在其定义域内有两个不同的极值点. 〔ⅰ〕求的取值范围； 〔ⅱ〕设两个极值点分别为，证明:． 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22. 〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为〔为参数〕，曲线 的极坐标方程为． 〔Ⅰ〕求曲线的普通方程和曲线 的直角坐标方程； 〔Ⅱ〕设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值． 23.〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲 函数，且的解集为． 〔Ⅰ〕求的值； 〔Ⅱ〕假设，且，求证：． 兰州一中2023-2023-1学期期中考试 高三数学试题参考答案〔理科〕 一、选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分。〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B C C A C A B D B 二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕 13． 14． 15． 16． 三、解答题〔本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．〕 17．〔本小题总分值12分〕 函数. 〔Ⅰ〕求的最小正周期及对称中心； 〔Ⅱ〕假设，求的最大值和最小值. 解：〔Ⅰ〕 …4分 ∴的最小正周期为， ……5分 令，那么， ∴的对称中心为 ……6分 〔Ⅱ〕∵ ∴ ......8分 ∴ ∴ .......10分 ∴当时，的最小值为；当时，的最大值为 ……12分 18．〔本小题总分值12分〕 如图，在直三棱柱中，，是棱上 B A C D P 的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面． 〔Ⅰ〕求证：； 〔Ⅱ〕求二面角的平面角的正弦值． y x B A C D P z 解：〔Ⅰ〕连接交于，连接. ∵∥平面，面，面面 ∴∥ ……………2分新x课x标x第x一x网] 又∵为的中点， ∴为中点∴为中点 ……………4分 ∴∴ ……………5分 〔Ⅱ〕∵在直三棱柱中， ∴ ……………6分 以为坐标原点，以, 所在直线建立空间直角坐标系如以下图。 由〔Ⅰ〕知为中点 ∴点坐标分别为 ，，， 设平面的法向量 ∵且 ∴取 ∴ ……………8分 同理：平面的法向量 ……………10分 设二面角平面角为 那么， ∴ ……………12分 19．〔本小题总分值12分〕 随着苹果7 的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一局部大学生可望而不可及，因此“国美在线〞推出无抵押分期付款的购置方式，某店对最近100位采用分期付款的购置者进行统计，统计结果如下表所示. 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 35 25 10 分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7 ，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2023元，以频率作为概率. (Ⅰ)求，的值，并求事件：“购置苹果7 的3位顾客中，至多有1位分4期付款〞的概率； 〔Ⅱ〕用表示销售一部苹果7 的利润，求的分布列及数学期望. 解：(Ⅰ)由，得因为所以 ………3分 ………6分 〔Ⅱ〕设分期付款的分期数为，那么 …8分 的所有可能取值为1000，1500，2023. ………10分 所以的分布列为 1000 1500 2023 P ………12分 20．〔本小题总分值12分〕 抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点 〔Ⅰ〕证明：抛物线在点的切线与平行； 〔Ⅱ〕是否存在实数，使以为直径的圆经过点，假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由. 解：〔Ⅰ〕解法一：设，，把代入得， 得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵，点的坐标为．　　　　　………………………2分 ∵　∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　 即抛物线在点处的切线的斜率为．　　　　　　　　　　　 ………………………4分 ∵直线:的的斜率为，∴．　　　　　　　 ……………………6分 解法二：设，，把代入得， 得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵，点的坐标为．　　　　　……………………2分 设抛物线在点处的切线的方程为， 将代入上式得，　　　　　　　………………………4分 直线与抛物线相切，， ， 即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………6分 〔Ⅱ〕假设存在实数，存在实数使为直径的圆经过点． 是的中点，．　　　　　　　　　　　　 由〔Ⅰ〕知　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 轴，．　 …………………8分 ∵　　　　　　　　　　　 ．　　　　 ……………………10分