2023年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题详细答案高中数学.docx

2023年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题详细答案 一、选择题〔每题6分，共36分〕 1．二次函数，那么方程不同实数根的数目为〔 〕。 答 选。 因为，所以有，因此原方程有个不同实根。 注 也可以讨论根的分布情况。因为当时，函数单调下降，当时，函数单调上升，且的两个根为，所以当时，函数，因此有两个不同实根；当时，函数，因此也有两个不同实根。综上所述，原方程有个不同实根。 2．抛物线的参数满足，那么当变动时，抛物线的顶点一定在〔 〕上。 抛物线 双曲线 圆或椭圆 直线 答 选。 抛物线的顶点的坐标为，设，那么有。因为，所以满足的条件等价于，于是有，即。 3．的三边的中点分别为，分别是上的点，并满足均平分的周长，分别是关于的对称点，与交于点，假设，那么一定过〔 〕。 内心 外心 重心 垂心 答 选。 设的三边长及半周长分别为，那么 ，所以。 因为平行于，所以 ， 于是有， ，所以是的角平分线。 4．假设方程的所有根为，其中为正整数，方程的所有根为，其中为正整数，那么的值为〔 〕。 答 选。 方程等价于，其根即为与的交点的横坐标。等价于，其根即为与的交点的横坐标。因为与互为反函数，所以此它们的图像关于对称，因此所有根的算术平均就是与交点的横坐标。 5．考虑集合的所有非空子集，假设一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集〞，那么“好子集〞的数目有〔 〕个。 答 选。 设一个“好子集〞中有个偶数，那么奇数的数目可以有个，因此“好子集〞的数目为 。 6．设不定方程的正整数解中满足均大于的不同解的数目为，那么满足〔 〕。 ，但是有限的数 是无穷大 答 选。 是原不定方程的一个特解。对于原不定方程的任意一个正整数解，假设，且。设关于的二次方程的两个根为，由韦达定理，，因此是正整数，且大于，于是也是原不定方程的一个解，并由小到大重新排列为。如此反复利用上面的结论，可以由一个特解得到无穷多个解，因此满足均大于的解有无穷多个。 二、填空题〔每题9分，共54分〕 7．函数，那么的最大值与最小值的乘积为 。答 。 因为，所以严格递增，于是最大值为，最小值为，其积为。 注 单调性也可以直接由定义证明。 8．假设方程有模为的根，那么所有模为的根的和为 。答 。 设是满足条件的根，那么原方程等价于。两边同时取模，可得。因为，所以所有模为的根只可能为复平面上以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆的交点所对应的复数，因此有，经检验，这两个根都是原方程的根，于是可得所有模为的根的和为。 9．考虑的正方形方格表中的个格点，那么通过至少个格点的不同直线的数目为 。答 。 水平和竖直的直线共有条，与两条对角线平行的直线共有条，其它满足条件的直线还有条，因此共有条。 10.设表示不超过的最大整数，那么的值是 。 答 。 对于，因为不是整数，所以 ，于是有 。 11．长方体满足，平面分别与交于点，那么四面体的体积为 。答 。 因为，所以分别是的中点，于是有，从而可得四面体的体积为。 12．半径为的圆外一条直线，在上的投影为，，与圆交于点。设为上的点，在的同侧，且，圆中有条平行于的弦，且这条弦与的交点均分，那么的值为〔用表述〕 。 答 。 设的中点为，的中点为，由中线公式可得 。 因为在上，设， 其中假设当在上时取正数，当在上时取负数， 那么 。 因为，所以。 注 为欧拉定理。 三、解答题〔每题20分，共60分〕 13．锐角的三边的中点分别为，在的延长线上分别取点，假设，证明的外心为的垂心。 证明 设的三条高线分别为，垂心为，与交于点，那么 ……………………………………………………………………5分 …………………………………………………………………10分 。……………………………………………………………………15分 同理可得，。因为， 且有，所以，因此为的外心。……………………………………………………………………………………………20分 注 无论在上还是在上，均有。 14．数列满足：，求的通项公式。 解 由，两式相减得，…………………………5分 即。 设，那么有， 即。………………………………………………………………10分 设，由，可得， 于是有。………………………………………………15分 因为，特征方程为，特征根为，从而可设。由及，定义， 于是有， 从而可得，因此有 ， 。………………………20分 15．有个选手，他们的积分分别为，名次分别为第。现进行单循环比赛，即任意两个选手之间都恰进行一场比赛，且每场比赛都要分出胜负。假设名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，那么胜者得分，负者得分；假设名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，那么胜者得分，负者得分，全部比赛结束后计算每个选手的累计积分〔即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和〕，并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值〔名次并列是允许的〕。 解 。…………………………………………………………………………………5分 假设新的冠军的得分不超过分，那么最多胜场；最多胜场；最多胜场；最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此假设增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜 ，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此假设增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此假设增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此假设增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场；最多增加分，但是开始时积分比他少的选手只有人，因此假设增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜场，从而他最多胜场；最多增加分，他与名次比他靠前的选手的比赛最多胜场，从而他最多胜场。综上所述，所有选手胜的场数最多为，但是每两名选手进行的一场比赛都会胜一场，共胜场，矛盾。………………………………………15分 下面的例子说明新的冠军累计积分可以是分。 胜，负，累计得分为； 胜，负，累计得分为； 胜，负，累计得分为； 胜，负，累计得分为； 胜，负，累计得分为； 胜，累计得分为； 胜，累计得分为； 胜，累计得分为； 胜，累计得分为； 累计得分为。…………………………………………………20分