2023年全国中考数学压轴题集锦试卷初中数学.docx

2023年全国中考数学压轴题集锦 1、〔2023浙江金华〕如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D. (1)求直线AB的解析式; (2)假设S梯形OBCD＝,求点C的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与△OBA相似.假设存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;假设不存在,请说明理由. [解] 〔1〕直线AB解析式为：y=x+． 〔2〕方法一：设点Ｃ坐标为〔x，x+〕，那么OD＝x，CD＝x+．　　 ∴＝＝． 由题意： ＝，解得〔舍去〕 ∴　Ｃ〔２，〕 方法二：∵　,＝，∴． 由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD． ∴　＝CD×AD＝＝．可得CD＝． ∴　AD=１，OD＝２．∴C〔２，〕． 〔３〕当∠OBP＝Rt∠时，如图 ①假设△BOP∽△OBA，那么∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3， ∴〔3，〕． ②假设△BPO∽△OBA，那么∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1． ∴〔1，〕． 当∠OPB＝Rt∠时 ③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30° 过点P作PM⊥OA于点M． 方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝． ∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°， ∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴〔，〕． 方法二：设Ｐ〔x ，x+〕，得OM＝x ，PM＝x+ 由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO． ∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==． ∴x+＝x，解得x＝．此时，〔，〕． ④假设△POB∽△OBA(如图)，那么∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．　　　 　 ∴　PM＝OM＝． ∴　〔，〕〔由对称性也可得到点的坐标〕． 当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求. 综合得，符合条件的点有四个，分别是： 〔3，〕，〔1，〕，〔，〕，〔，〕． 2、〔2023重庆〕如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形〔如图2所示〕.将纸片沿直线〔AB〕方向平移〔点始终在同一直线上〕，当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P. (1) 当平移到如图3所示的位置时，猜测图中的与的数量关系，并证明你的猜测； (2) 设平移距离为，与重叠局部面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围； 〔3〕对于〔2〕中的结论是否存在这样的的值，使重叠局部的面积等于原面积的. 假设存在，求x的值；假设不存在，请说明理由. 图1 图3 图2 A P C Q B D [解] 〔1〕.因为，所以. 又因为，CD是斜边上的中线， 所以，，即 所以，，所以 所以，.同理：. 又因为，所以.所以 〔2〕因为在中，，所以由勾股定理，得 即 又因为，所以.所以 在中，到的距离就是的边上的高，为. 设的边上的高为，由探究，得，所以. 所以. 又因为，所以. 又因为，. 所以 ， 而 所以 (3) 存在. 当时，即 整理，得解得，. 即当或时，重叠局部的面积等于原面积的. 3、〔2023山东济南〕如图1，中，，．过点作，且，连接交于点． 〔1〕求的长； 〔2〕以点为圆心，为半径作⊙A，试判断与⊙A是否相切，并说明理由； 〔3〕如图2，过点作，垂足为．以点为圆心，为半径作⊙A；以点为圆心，为半径作⊙C．假设和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使点在⊙A的内部，点在⊙A的外部，求和的变化范围． A B C P E E A B C P Ｄ 图1 图2 [解] 〔1〕在中，， 　　　　． 　　　　，． 　　　　． 　　　　，． 〔2〕与⊙A相切． 　　　　在中，，， 　　　　，． 　　　　又，， 　　　　与⊙A相切． 〔3〕因为，所以的变化范围为． 　　　　当⊙A与⊙C外切时，，所以的变化范围为； 　　　　当⊙A与⊙C内切时，，所以的变化范围为． 4、〔2023浙江嘉兴〕某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚〔点C〕的水平线为x轴、过山顶〔点A〕的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图〔单位：百米〕．AB所在抛物线的解析式为，BC所在抛物线的解析式为，且． 〔1〕设是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标； 〔2〕从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上〔见图〕． ①分别求出前三级台阶的长度〔精确到厘米〕； ②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？ 〔3〕在山坡上的700米高度〔点D〕处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，〔米〕．假设索道DE可近似地看成一 段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为．试求索道的最大悬空高度． 上山方向 长度 高度 [解] 〔1〕∵是山坡线AB上任意一点， ∴，， ∴， ∵，∴＝4，∴ 〔2〕在山坡线AB上，， ①令，得 ；令，得 ∴第一级台阶的长度为〔百米〕〔厘米〕 同理，令、，可得、 ∴第二级台阶的长度为〔百米〕〔厘米〕 第三级台阶的长度为〔百米〕〔厘米〕 ②取点，又取，那么 ∵ ∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚 〔注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性〕 ②另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图 ∵这种台阶的长度不小于它的高度 ∴ 当其中有一级台阶的长大于它的高时， 在题设图中，作于H 那么，又第一级台阶的长大于它的高 ∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚 上山方向 〔3〕 、、、 由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值 索道在BC上方时，悬空高度 当时， ∴索道的最大悬空高度为米． 5、〔2023山东烟台〕如图，抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点， 〔1〕假设抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式； 〔2〕假设点B是抛物线l1上的一动点〔B不与A、C重合〕，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上； 〔3〕探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两局部的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？假设存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；假设不存在，请说明理由。 [解] 〔1〕设l2的解析式为y=a(x-h)2+k ∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称， ∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是〔0，4〕 ∴y=ax2+4 ∴0=4a+4 得 a=-1 ∴l2的解析式为y=-x2+4 (2)设B(x1 ,y1) ∵点B在l1上 ∴B(x1 ,x12-4) ∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称 ∴B、D关于O对称 ∴D(-x1 ,-x12+4). 将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4 ∴左边=右边 ∴点D在l2上. (3)设平行四边形ABCD的面积为S,那么 S=2xS△ABC =ACx|y1|=4|y1| a.当点B在x轴上方时，y1＞0 ∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大， ∴S既无最大值也无最小值 b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0 ∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小， ∴当y1 =-4时，S由最大值16，但他没有最小值 此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上. ∴AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形 此时S最大=16. 6、〔2023山东潍坊〕二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点〔在的左侧〕，且点坐标为．平行于轴的直线过点． 〔1〕求一次函数与二次函数的解析式； 〔2〕判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明； 〔3〕把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？ [解]〔1〕把代入得， 一次函数的解析式为； 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴， 设二次函数解析式为， 把代入得， 二次函数解析式为． 〔2〕由 解得或， ， 过点分别作直线的垂线，垂足为， 那么， 直角梯形的中位线长为， 过作垂直于直线于点，那么，， ， 的长等于中点到直线的距离的2倍， 以为直径的圆与直线相切． 〔3〕平移后二次函数解析式为， 令，得，，， 过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点， 要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离， 此时，半径为2，面积为， 设圆心为中点为，连，那么， 在三角形中，， ，而，， 当时，过三点的圆面积最小，最小面积为． 7、〔2023江西〕问题背景　　某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： ①如图1，在正三角形△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON＝60º，那么BM＝CN； ②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON＝90º，那么BM＝CN； 然后运用类比的思想提出了如下命题： ③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON＝108º，那么BM＝CN。 任务要求： 〔1〕请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；〔说明：选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分〕 (2)请你继续完成以下探索： ①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108º，这样的线段有几条？〔不必写出画法，不要求证明〕 ②如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，假设∠BON＝108º，请问结论BM＝CN是否还成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由。 B O C M N A 图1 A B C M N O D 图2　 图4　 N M O E D C B A [解] 〔1〕以下答案供参考： 〔1〕 如选命题① 证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60° ∵∠3+∠2=60°，∴∠