2023年中考数学试题汇编及解析动态几何型综合题试卷（人教新课标九年级下）初中数学.docx

2023年中考数学试题汇编及解析 动态几何型综合题 纵观近5年全国各地的中考数学试卷，动态几何型综合题常常出现在一张试卷的压轴题位置，估计这一趋势在今后几年的中考中会越来越明显，这类试题往往综合性较强，往往涉及到函数、直线型、圆等初中数学的重点考察对象中的好几个，应加大训练的力度。 1、〔2023山东青岛〕如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起〔点A与点E重合〕，AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点． 如图②，假设整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x〔s〕，FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y〔cm2)〔不考虑点P与G、F重合的情况〕． 〔1〕当x为何值时，OP∥AC 〔2〕求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． 〔3〕是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？假设存在，求出x的值；假设不存在，说明理由． 〔参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456 或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16〕 [解析] 〔1〕∵Rt△EFG∽Rt△ABC ， ∴，． ∴FG＝＝3cm． ∵当P为FG的中点时，OP∥EG ，EG∥AC ， ∴OP∥AC． ∴ x ＝＝×3＝1.5〔s〕． ∴当x为1.5s时，OP∥AC ． 〔2〕在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm． ∵EG∥AH ， ∴△EFG∽△AFH ． ∴． ∴． ∴ AH＝〔 x ＋5〕，FH＝〔x＋5〕． 过点O作OD⊥FP ，垂足为 D ． ∵点O为EF中点， ∴OD＝EG＝2cm． ∵FP＝3－x ， ∴S四边形OAHP ＝S△AFH －S△OFP ＝·AH·FH－·OD·FP ＝·〔x＋5〕·〔x＋5〕－×2×〔3－x 〕 ＝x2＋x＋3 〔0＜x＜3． 〔3〕假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24． 那么S四边形OAHP＝×S△ABC ∴x2＋x＋3＝××6×8 ∴6x2＋85x－250＝0 解得 x1＝， x2＝ －〔舍去〕． ∵0＜x＜3， ∴当x＝〔s〕时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24． 2、〔2023河北〕如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t〔秒〕． 〔1〕设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式； 〔2〕t为何值时，四边形PQBA是梯形？ 〔3〕是否存在时刻t，使得PD∥AB？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由； 〔4〕通过观察、画图或折纸等方法，猜测是否存在时刻t，使得PD⊥AB？假设存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内〔0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4〕；假设不存在，请简要说明理由． A P C Q B D [解析] 〔1〕由题意知 CQ＝4t，PC＝12－3t， ∴S△PCQ =． ∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称， ∴y=2S△PCQ ． 〔2〕当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，   ∵CA=12，CB=16，CQ＝4t， CP＝12－3t，   ∴ ，解得t＝2．   ∴当t＝2秒时，四边形PQBA是梯形． 〔3〕设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如以下列图， 假设PD∥AB，那么∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°， ∴ A P C Q B D M Rt△QMD∽Rt△ABC， 从而， ∵QD=CQ=4t，AC＝12， AB=20， ∴QM=． 假设PD∥AB，那么，得， 解得t＝． ∴当t＝秒时，PD∥AB． 〔4〕存在时刻t，使得PD⊥AB． 时间段为：2＜t≤3． 3、〔2023重庆〕如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形〔如图2所示〕.将纸片沿直线〔AB〕方向平移〔点始终在同一直线上〕，当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P. (1) 当平移到如图3所示的位置时，猜测图中的与的数量关系，并证明你的猜测； (2) 设平移距离为，与重叠局部面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围； 〔3〕对于〔2〕中的结论是否存在这样的的值，使重叠局部的面积等于原面积的. 假设存在，求x的值；假设不存在，请说明理由. 图1 图3 图2 [解析] 〔1〕.因为，所以. 又因为，CD是斜边上的中线， 所以，，即 所以，，所以 所以，.同理：. 又因为，所以.所以 〔2〕因为在中，，所以由勾股定理，得 即 又因为，所以.所以 在中，到的距离就是的边上的高，为. 设的边上的高为，由探究，得，所以. 所以. 又因为，所以. 又因为，. 所以 ， 而 所以 (3) 存在. 当时，即 整理，得解得，. 即当或时，重叠局部的面积等于原面积的. 4、〔2023山东济南〕如图1，以矩形的两边和所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点的坐标为点的坐标为．将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的正半轴上，旋转后的矩形为相交于点． 〔1〕求点的坐标与线段的长； 〔2〕将图1中的矩形沿轴向上平移，如图2，矩形是平移过程中的某一位置，相交于点，点运动到点停止．设点运动的距离为，矩形与原矩形重叠局部的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； Ａ Ｏ Ｃ Ｂ Ｍ Ａ Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｏ Ｂ Ｃ(Ｐ) 图1 图2 图3 〔3〕如图3，当点运动到点时，平移后的矩形为．请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形重合，请简述你的做法． [解析] 〔1〕如图1，因为，所以点的坐标为． ． 〔2〕在矩形沿轴向上平移到点与点重合的过程中，点运动到矩形的边上时，求得点移动的距离． 当自变量的取值范围为时，如图2，由， 得，此时，． 即〔或〕． 当自变量的取值范围为时， 求得〔或〕． 〔3〕局部参考答案：①把矩形沿的角平分线所在直线对折． ②把矩形绕点顺时针旋转，使点与点重合，再沿轴向下平移4个单位长度． ③把矩形绕点顺时针旋转，使点与点重合，再沿所在的直线对折． ④把矩形沿轴向下平移4个单位长度，再绕点顺时针旋转，使点与点重合． 5、〔2023山东济南〕如图1，中，，．过点作，且，连接交于点． 〔1〕求的长； 〔2〕以点为圆心，为半径作⊙A，试判断与⊙A是否相切，并说明理由； 〔3〕如图2，过点作，垂足为．以点为圆心，为半径作⊙A；以点为圆心，为半径作⊙C．假设和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使点在⊙A的内部，点在⊙A的外部，求和的变化范围． A B C P E E A B C P Ｄ 图1 图2 [解析] 〔1〕在中，， 　　　　． 　　　　，． 　　　　． 　　　　，． 〔2〕与⊙A相切． 　　　　在中，，， 　　　　，． 　　　　又，， 　　　　与⊙A相切． 〔3〕因为，所以的变化范围为． 　　　　当⊙A与⊙C外切时，，所以的变化范围为； 　　　　当⊙A与⊙C内切时，，所以的变化范围为． 6、〔2023浙江金华〕如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D. (1)求直线AB的解析式; (2)假设S梯形OBCD＝,求点C的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与△OBA相似.假设存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;假设不存在,请说明理由. [解析] 〔1〕直线AB解析式为：y=x+． 〔2〕方法一：设点Ｃ坐标为〔x，x+〕，那么OD＝x，CD＝x+．　　 ∴＝＝． 由题意： ＝，解得〔舍去〕　 ∴　Ｃ〔２，〕　　 方法二：∵　,＝，∴． 由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD． ∴　＝CD×AD＝＝．可得CD＝．　 ∴　AD=１，OD＝２．∴C〔２，〕．　　 〔３〕当∠OBP＝Rt∠时，如图 ①假设△BOP∽△OBA，那么∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3， ∴〔3，〕． ②假设△BPO∽△OBA，那么∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1． ∴〔1，〕．　　　 当∠OPB＝Rt∠时 ③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30° 过点P作PM⊥OA于点M． 方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝． ∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°， ∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴〔，〕．　　 方法二：设Ｐ〔x ，x+〕，得OM＝x ，PM＝x+ 由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO． ∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==． ∴x+＝x，解得x＝．此时，〔，〕． ④假设△POB∽△OBA(如图)，那么∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．　　　 　 ∴　PM＝OM＝． ∴　〔，〕〔由对称性也可得到点的坐标〕． 7、〔2023河北课改〕图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格〔每个小方格的边长均为1个单位长〕，其对称中心为点O． 如图14－1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大〔即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……〕，直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小． 另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图14－1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A→B→C→D→A移动〔即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动〕． 正方形EFGH和正方形MNPQ从如图14－1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠局部面积为y个平方单位． 〔1〕请你在图14－2和图14－3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠局部〔重叠局部用阴影表示〕，并分别写出重叠局部的面积； 〔2〕①如图14－4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；  ②如图14－5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式