2023年中考数学试题分类汇编32点直线与圆的位置关系.docx

点直线与圆的位置关系 一、选择题 1．(2023年天津市，第7题3分)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．假设∠B=25°，那么∠C的大小等于〔　　〕 　 A． 20° B． 25° C． 40° D． 50° 考点： 切线的性质． 分析： 连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数． 解答： 解：如图，连接OA， ∵AC是⊙O的切线， ∴∠OAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=25°， ∴∠AOC=50°， ∴∠C=40°． 点评： 此题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，切线时常用的辅助线是连接圆心与切点． 2.〔2023•邵阳，第8题3分〕如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．∠A=30°，那么∠C的大小是〔 〕 　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 40° 考点： 切线的性质 专题： 计算题． 分析： 根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，那么∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=AOB=30°． 解答： 解：连结OB，如图， ∵AB与⊙O相切， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=30°， ∴∠AOB=60°， ∵∠AOB=∠C+∠OBC， 而∠C=∠OBC， ∴∠C=AOB=30°． 应选A． 点评： 此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 　 3. 〔2023•益阳，第8题，4分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为〔﹣3，0〕，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，那么平移的距离为〔　　〕 〔第1题图〕 　 A． 1 B． 1或5 C． 3 D． 5 考点： 直线与圆的位置关系；坐标与图形性质． 分析： 平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 解答： 解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 应选B． 点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 4．〔2023年山东泰安，第18题3分〕如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．PC=PD=BC．以下结论： 〔1〕PD与⊙O相切；〔2〕四边形PCBD是菱形；〔3〕PO=AB；〔4〕∠PDB=120°． 其中正确的个数为〔　　〕 　A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 分析： 〔1〕利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO〔SSS〕，即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可； 〔2〕利用〔1〕所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB〔SAS〕，即可得出答案； 〔3〕利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA〔ASA〕，进而得出CO=PO=AB； 〔4〕利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，那么DP=DB，那么∠DPB=∠DBP=30°，求出即可． 解：〔1〕连接CO，DO， ∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°， 在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO〔SSS〕，∴∠PCO=∠PDO=90°， ∴PD与⊙O相切，故此选项正确； 〔2〕由〔1〕得：∠CPB=∠BPD， 在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB〔SAS〕， ∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故此选项正确； 〔3〕连接AC， ∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°， 在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA〔ASA〕， ∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°， ∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故此选项正确； 〔4〕∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°， ∴DP=DB，那么∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此选项正确；应选：A． 点评：此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键． 二.填空题 1. 〔 2023•广西玉林市、防城港市，第16题3分〕如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，那么cos∠E=　　． 考点： 切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题． 分析： 连结OM，OM的反向延长线交EF与C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线的性质得OM⊥MF，而EF∥MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解． 解答： 解：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，如图， ∵直线MN与⊙O相切于点M， ∴OM⊥MF， ∵EF∥MN， ∴MC⊥EF， ∴CE=CF， ∴ME=MF， 而ME=EF， ∴ME=EF=MF， ∴△MEF为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴cos∠E=cos60°=． 故答案为． 点评： 此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值． 2．〔2023•温州，第16题5分〕如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G〔∠GEB为锐角〕，与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AB或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是　 　． 考点： 切线的性质；矩形的性质． 分析：[来源:Z,xx,k.Com] 过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF=：2，得：EG：EN=：1，依据勾股定理即可求得AB的长度． 解答： 解：如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N， ∴EN=NF， 又∵EG：EF=：2， ∴EG：EN=：1， 又∵GN=AD=8， ∴设EN=x，那么，根据勾股定理得： ，解得：x=4，GE=， 设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2 得：r2=16+〔8﹣r〕2， ∴r=5．∴OK=NB=5， ∴EB=9， 又AE=AB， ∴AB=12． 故答案为12． 点评： 此题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答此题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径． 　3．〔2023•四川自贡，第14题4分〕一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，那么CE的长为　3　cm． 考点： 切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理 分析： 连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边高的倍．题目中一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即OC=， 又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长． 解答： 解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F， 且△ABC为等边三角形，边长为4， 故高为2，即OC=， 又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°， 在Rt△OFC中，可得FC=， 即CE=3． 故答案为：3． 点评： 此题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识．题目不是太难，属于根底性题目． 4．〔2023•浙江湖州，第9题3分〕如图，正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点〔不与A、E重合〕，以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，那么以下结论不一定成立的是〔　　〕 A．S1＞S2+S3 B． △AOM∽△DMN C． ∠MBN=45° D． MN=AM+CN 分析：〔1〕如图作MP∥AO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3， 〔2〕利用MN是⊙O的切线，四边形ABCD为正方形，求得△AMO∽△DMN． 〔3〕作BP⊥MN于点P，利用RT△MAB≌RT△MPB和RT△BPN≌RT△BCN来证明C，D成立． 解：〔1〕如图，作MP∥AO交ON于点P， ∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，S梯形ONDA=〔OA+DN〕•AD S△MNO=MP•AD，∵〔OA+DN〕=MP，∴S△MNO=S梯形ONDA，∴S1=S2+S3， ∴不一定有S1＞S2+S3， 〔2〕∵MN是⊙O的切线，∴OM⊥MN， 又∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，∴∠AOM=∠DMN， 在△AMO和△DMN中，，∴△AMO∽△DMN．故B成立， 〔3〕如图，作BP⊥MN于点P， ∵MN，BC是⊙O的切线，∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB， ∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，∴∠AMB=∠PMB， 在Rt△MAB和Rt△MPB中，∴Rt△MAB≌Rt△MPB〔AAS〕 ∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC， 在Rt△BPN和Rt△BCN中，∴Rt△BPN≌Rt△BCN〔HL〕 ∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，∴∠MBN=∠MBP+∠PBN， MN=MN+PN=AM+CN．故C，D成立，综上所述，A不一定成立，应选：A． 点评：此题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明． 5．〔2023·浙江金华，第16题4分〕如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬〞楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折线NG—GH—HE—EF表示楼梯，CH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边相切，且AO∥GH. 〔1〕如图2①，假设点H在线段OB上，那么的值是 ▲ ． 〔2〕如果一级楼梯的高度，点H到线段OB的距离d满足条件，那么小轮子半径r的取值范围是 ▲ ． 【答案】〔1〕；〔2〕. 【解析】 ∴. 考点：1. 直角三角形的构造；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 矩形的判定和性质；5.切线的性质；6.二次根式化简. 6. 〔2023•湘潭，第14题，3分〕如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，那么PA=　4　． 〔第1题图〕 考点： 切线的性质；勾股定理． 分析： 先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA的长． 解答： 解：∵PA切⊙O于A点， ∴OA⊥PA， 在Rt△OPA中，OP=5，OA=3， ∴PA==4． 故答案为4． 点评： 此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理． 三.解答题 1. 〔 2023•广东，第24题9分〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF． 〔1〕假设∠POC=60°，AC=12，求劣弧