2023年中考数学试题分类汇编31圆的有关性质.docx

圆的有关性质 一、选择题 1. 〔 2023•珠海，第5题3分〕如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，那么∠AOD等于〔　　〕 　 A． 160° B． 150° C． 140° D． 120° 考点： 圆周角定理；垂径定理． 分析： 利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案． 解答： 解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB， ∴=， ∵∠CAB=20°， ∴∠BOD=40°， ∴∠AOD=140°． 应选：C． 点评： 此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键． 　 2. 〔 2023•广西贺州，第11题3分〕如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．那么弧BD的长是〔　　〕 　 A． B． C． D． 考点： 垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算． 分析： 连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论． 解答： 解：连接OC， ∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1， ∴AE2+CE2=AC2， ∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD， ∵sinA==， ∴∠A=30°， ∴∠COE=60°， ∴=sin∠COE，即=，解得OC=， ∵AE⊥CD， ∴=， ∴===． 应选B． 点评： 此题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中． 　 3．〔2023•温州，第8题4分〕如图，A，B，C在⊙O上，为优弧，以下选项中与∠AOB相等的是〔　　〕 　 A． 2∠C B． 4∠B C． 4∠A D． ∠B+∠C 考点： 圆周角定理． 分析： 根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C． 解答： 解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C． 应选A． 点评： 此题考查了圆周角定理．此题比拟简单，注意掌握数形结合思想的应用． 4.〔2023•毕节地区，第5题3分〕以下表达正确的选项是〔 〕 　 A． 方差越大，说明数据就越稳定 　 B． 在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变 　 C． 不在同一直线上的三点确定一个圆 　 D． 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 考点： 方差；不等式的性质；全等三角形的判定；确定圆的条件 分析： 利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项． 解答： 解：A、方差越大，越不稳定，应选项错误； B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，应选项错误； C、正确； D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，应选项错误． 应选C． 点评： 此题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件，属于根本定理的应用，较为简单． 5.〔2023•毕节地区，第6题3分〕如图，⊙O的半径为13，弦AB长为24，那么点O到AB的距离是〔 〕 　 A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 考点： 垂径定理；勾股定理 分析： 过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可． 解答： 解：过O作OC⊥AB于C， ∵OC过O， ∴AC=BC=AB=12， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5． 应选：B． 点评： 此题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长． 6.〔2023•毕节地区，第15题3分〕如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．cos∠ACD=，BC=4，那么AC的长为〔 〕 　 A． 1 B． C． 3 D． 考点： 圆周角定理；解直角三角形 分析： 由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=4，即可求得答案． 解答： 解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵cos∠ACD=， ∴cos∠B=， ∴tan∠B=， ∵BC=4， ∴tan∠B===， ∴AC=． 应选D． 点评： 此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 7.〔2023•武汉，第10题3分〕如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．假设⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，那么tan∠APB的值是〔 〕 　 A． B． C． D． 考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 分析： 〔1〕连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可． 解答： 解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F． ∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E ∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB， ∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r， ∴PA=PB=． 在Rt△BFP和Rt△OAF中， ， ∴Rt△BFP∽RT△OAF． ∴===， ∴AF=FB， 在Rt△FBP中， ∵PF2﹣PB2=FB2 ∴〔PA+AF〕2﹣PB2=FB2 ∴〔r+BF〕2﹣〔〕2=BF2， 解得BF=r， ∴tan∠APB===， 应选：B． 点评： 此题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决此题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系． 8．〔2023·台湾，第10题3分〕如图，有一圆通过△ABC的三个顶点，且的中垂线与相交于D点．假设∠B＝74°，∠C＝46°，那么的度数为何？(　　) A．23 B．28 C．30 D．37 分析：由有一圆通过△ABC的三个顶点，且的中垂线与相交于D点．假设∠B＝74°，∠C＝46°，可求得与的度数，继而求得答案． 解：∵有一圆通过△ABC的三个顶点，且的中垂线与相交于D点， ∴＝2×∠C＝2×46°═92°，＝2×∠B＝2×74°＝148°＝＋＝＋＝＋＋， ∴＝(148﹣92)＝28°． 应选B． 点评：此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 9．〔2023·台湾，第21题3分〕如图，G为△ABC的重心．假设圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，那么关于△ABC三边长的大小关系，以下何者正确？(　　) A．BC＜AC B．BC＞AC C．AB＜AC D．AB＞AC 分析：G为△ABC的重心，那么△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积，根据三角形的面积公式即可判断． 解：∵G为△ABC的重心， ∴△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积， 又∵GHa＝GHb＞GHc， ∴BC＝AC＜AB． 应选D． 点评：此题考查了三角形的重心的性质以及三角形的面积公式，理解重心的性质是关键． 10．〔2023•浙江湖州，第4题3分〕如图，AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，那么∠B的度数是〔　　〕 　 A．35° B． 45° C． 55° D． 65° 分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数． 解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°， ∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．应选C． 点评：此题考查了圆周角定理．此题比拟简单，注意掌握数形结合思想的应用． 11.〔2023•孝感，第10题3分〕如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，以下四个结论： ①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形． 其中正确结论的序号是〔　　〕 　 A． ①③ B． ①②③④ C． ②③④ D． ①③④ 考点： 垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形． 分析： 分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可． 解答： 解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心， ∴OA⊥BC，故①正确； ∵∠D=30°， ∴∠ABC=∠D=30°， ∴∠AOB=60°， ∵点A是点A是劣弧的中点， ∴BC=2CE， ∵OA=OB， ∴OB=OB=AB=6cm， ∴BE=AB•cos30°=6×=3cm， ∴BC=2BE=6cm，故B正确； ∵∠AOB=60°， ∴sin∠AOB=sin60°=， 故③正确； ∵∠AOB=60°， ∴AB=OB， ∵点A是劣弧的中点， ∴AC=OC， ∴AB=BO=OC=CA， ∴四边形ABOC是菱形， 故④正确． 应选B． 点评： 此题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题． 12.〔2023•呼和浩特，第6题3分〕⊙O的面积为2π，那么其内接正三角形的面积为〔　　〕 　 A． 3 B． 3 C． D． 考点： 垂径定理；等边三角形的性质． 分析： 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可． 解答： 解：如以下图， 连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D， ∵⊙O的面积为2π ∴⊙O的半径为 ∵△ABC为正三角形， ∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=， ∴BD=OB•sin∠BOD==， ∴BC=2BD=， ∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=， ∴△BOC的面积=•BC•OD=××=， ∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=． 应选C． 点评： 此题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 二.填空题 1．〔2023•舟山，第16题4分〕如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．以下结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为2；③当AD=2时，EF与半圆相切；④假设点F恰好落在上，那么AD=2；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16．其中正确结论的序号是　①③⑤　． 考点： 圆的综合题；垂线段最短；平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；切线的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 推理填空题． 分析： 〔1〕由点E与点D关于AC对称可得CE=CD，再根据DF⊥DE即可证到CE=CF． 〔2〕根据“点到直线之间，垂线段最短〞可得CD⊥AB时CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值． 〔3〕连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD=OD，根据等腰三角形的