2023年中考数学试题分类汇编29解直角三角形.docx

解直角三角形 一、选择题 1.〔2023•孝感，第8题3分〕如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，假设AC=a，BD=b，那么▱ABCD的面积是〔　　〕 　 A． absinα B． absinα C． abcosα D． abcosα 考点： 平行四边形的性质；解直角三角形． 分析： 过点C作CE⊥DO于点E，进而得出EC的长，再利用三角形面积公式求出即可． 解答： 解：过点C作CE⊥DO于点E， ∵在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，AC=a，BD=b， ∴sinα=， ∴EC=COsinα=asinα， ∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα， ∴▱ABCD的面积是：absinα×2=absinα． 应选；A． 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，得出EC的长是解题关键． 2. 〔2023•泰州，第6题，3分〕如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形〞．以下各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是〔　　〕 　 A． 1，2，3 B． 1，1， C． 1，1， D． 1，2， 考点： 解直角三角形 专题： 新定义． 分析： A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定； D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定． 解答： 解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，应选项错误； B、∵12+12=〔〕2，是等腰直角三角形，应选项错误； C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，应选项错误； D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形〞的定义，应选项正确． 应选：D． 点评： 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形〞的概念． 3. 〔2023•扬州，第8题，3分〕如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，假设AM：MB=AN：ND=1：2，那么tan∠MCN=〔　　〕 〔第2题图〕 　 A． B． C． D． ﹣2 考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理 专题： 计算题． 分析： 连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长， 连接MN，过M点作ME⊥ON于E，那么△MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN． 解答： 解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4， 连接MN，连接AC， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60° 在Rt△ABC与Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC〔LH〕 ∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC， ∴BC=AC， ∴AC2=BC2+AB2，即〔2BC〕2=BC2+AB2， 3BC2=AB2， ∴BC=2， 在Rt△BMC中，CM===2． ∵AN=AM，∠MAN=60°， ∴△MAN是等边三角形， ∴MN=AM=AN=2，新$课$标$第$一$网 过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，那么CE=2﹣x， ∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=〔2〕2﹣〔2﹣x〕2， 解得：x=， ∴EC=2﹣=， ∴ME==， ∴tan∠MCN== 应选A． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 4.〔2023•滨州，第11题3分〕在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，那么BC的长为〔 〕 　 A． 6 B． 7.5 C． 8 D． 12.5 考点： 解直角三角形 分析： 根据三角函数的定义来解决，由sinA==，得到BC==． 解答： 解：∵∠C=90°AB=10， ∴sinA=， ∴BC=AB×=10×=6． 应选A． 点评： 此题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，那么sinA=，cosA=，tanA=． 5.〔2023•德州，第7题3分〕如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，那么斜坡AB的长为〔　　〕 　 A． 4米 B． 6米 C． 12米 D． 24米 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析： 先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长． 解答： 解：在Rt△ABC中，∵=i=，AC=12米， ∴BC=6米， 根据勾股定理得： AB==6米， 应选B． 点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键． 二.填空题 1．〔2023•新疆，第13题5分〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，那么AC=　 　． 〔参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75〕 考点： 解直角三角形． 专题： 计算题． 分析： 根据正切的定义得到tanB=，然后把tan37°≈0.75和BC=32代入计算即可． 解答： 解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 所以tanB=，即tan37°=， 所以AC=32•tan37°=32×0.75=24． 故答案为24． 点评： 此题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 　 2．〔2023•舟山，第12题4分〕如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，那么树高BC为　 　 米〔用含α的代数式表示〕． 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析： 根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度． 解答： 解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α， ∴=tanα， ∴BC=AC•tanα=7tanα〔米〕． 故答案为：7tanα． 点评：x k b 1 此题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解． 3．〔2023•浙江宁波，第17题4分〕为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位．〔≈1.4〕 考点： 解直角三角形的应用． 分析： 如图，根据三角函数可求BC，CE，那么BE=BC+CE可求，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=〔56﹣BE〕÷EF+1，列式计算即可求解． 解答： 解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米， CE=5×sin45°=5×≈3.5米， BE=BC+CE≈5.04， EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.14米， 〔56﹣5.04〕÷3.14+1 =50.96÷3.14+1 ≈16+1 =17〔个〕． 故这个路段最多可以划出17个这样的停车位． 故答案为：17． 点评： 考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 4. 〔2023•株洲，第13题，3分〕 孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°〔不考虑身高因素〕，那么此塔高约为　182　米〔结果保存整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475〕． 〔第1题图〕 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析： 作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC的长度． 解答： 解：在Rt△ABC中， AB=500米，∠BAC=20°， ∵=tan20°， ∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182〔米〕． 故答案为：182． 点评： 此题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解． 5. 〔2023•泰州，第16题，3分〕如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．假设PQ=AE，那么AP等于　1或2　cm． 〔第2题图〕 考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形 分析： 根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可． 解答： 解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC=PN， 在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm， ∴tan30°=，即DE=cm， 根据勾股定理得：AE==2cm， ∵M为AE的中点， ∴AM=AE=cm， 在Rt△ADE和Rt△PNQ中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△PNQ〔HL〕， ∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°， ∵PN∥DC， ∴∠PFA=∠DEA=60°， ∴∠PMF=90°，即PM⊥AF， 在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=， ∴AP===2cm； 由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm， 综上，AP等于1cm或2cm． 故答案为：1或2． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 6.〔2023•济宁，第12题3分〕如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，那么AB的长为　3+　． 考点： 解直角三角形． 分析： 过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案． 解答： 解：过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD， ∵∠A=30°，AC=2， ∴CD=， ∴BD=CD=， 由勾股定理得：AD==3， ∴AB=AD+BD=3+． 故答案为：3+． 点评： 此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比拟好的题目． 三.解答题 1. 〔 202