2023年中考数学试题分类汇编23直角三角形与勾股定理.docx

直角三角形与勾股定理 一、选择题 1. 〔2023•湘潭，第7题，3分〕以下四个命题正确的选项是〔　　〕 　 A． 任意三点可以确定一个圆 　 B． 菱形对角线相等 　 C． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 　 D． 平行四边形的四条边相等 考点： 命题与定理 分析： 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案． 解答： 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误； C、正确； D、平行四边形的四条边不一定相等． 应选C． 点评： 此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般． 2. 〔2023•湘潭，14题，3分〕如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，那么PA=　4　． 〔第2题图〕 考点： 切线的性质；勾股定理． 分析： 先根据切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理计算PA的长． 解答：新x课x标x第x一x网 解：∵PA切⊙O于A点， ∴OA⊥PA， 在Rt△OPA中，OP=5，OA=3， ∴PA==4． 故答案为4． 点评： 此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理． 　 3. 〔2023•泰州，第6题，3分〕如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形〞．以下各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是〔　　〕 　 A． 1，2，3 B． 1，1， C． 1，1， D． 1，2， 考点： 解直角三角形 专题： 新定义． 分析： A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定； D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定． 解答： 解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，应选项错误； B、∵12+12=〔〕2，是等腰直角三角形，应选项错误； C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，应选项错误； D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形〞的定义，应选项正确． 应选：D． 点评： 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形〞的概念． 4. 〔2023•扬州，第7题，3分〕如图，∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，假设MN=2，那么OM=〔　　〕 〔第4题图〕 　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 考点： 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质 分析： 过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长． 解答： 解：过P作PD⊥OB，交OB于点D， 在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12， ∴OD=6， ∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2， ∴MD=ND=MN=1， ∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5． 应选C． 点评： 此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解此题的关键． 5.〔2023•扬州，第8题，3分〕如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，假设AM：MB=AN：ND=1：2，那么tan∠MCN=〔　　〕 〔第5题图〕 　 A． B． C． D． ﹣2 考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理 专题： 计算题． 分析： 连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长， 连接MN，过M点作ME⊥ON于E，那么△MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN． 解答： 解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4， 连接MN，连接AC， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60° 在Rt△ABC与Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC〔LH〕 ∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC， ∴BC=AC， ∴AC2=BC2+AB2，即〔2BC〕2=BC2+AB2， 3BC2=AB2， ∴BC=2， 在Rt△BMC中，CM===2． ∵AN=AM，∠MAN=60°， ∴△MAN是等边三角形， ∴MN=AM=AN=2， 过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，那么CE=2﹣x， ∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=〔2〕2﹣〔2﹣x〕2， 解得：x=， ∴EC=2﹣=， ∴ME==， ∴tan∠MCN== 应选A． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 6. 〔 2023•安徽省,第8题4分〕如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，那么线段BN的长为〔　　〕 　 A． B． C． 4 D． 5 考点： 翻折变换〔折叠问题〕． 分析： 设BN=x，那么由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 解答： 解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x， ∵D是BC的中点， ∴BD=3， 在Rt△ABC中，x2+32=〔9﹣x〕2， 解得x=4． 故线段BN的长为4． 应选：C． 点评： 考查了翻折变换〔折叠问题〕，涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大． 　 7. 〔 2023•广西贺州，第11题3分〕如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．那么弧BD的长是〔　　〕 　 A． B． C． D． 考点： 垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算． 分析： 连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论． 解答： 解：连接OC， ∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1， ∴AE2+CE2=AC2， ∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD， ∵sinA==， ∴∠A=30°， ∴∠COE=60°， ∴=sin∠COE，即=，解得OC=， ∵AE⊥CD， ∴=， ∴===． 应选B． 点评： 此题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中． 　 8.〔2023•滨州，第7题3分〕以下四组线段中，可以构成直角三角形的是〔 〕 　 A． 4，5，6 B． 1.5，2，2.5 C． 2，3，4 D． 1，，3 考点： 勾股定理的逆定理 分析： 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 解答： 解：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误； B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确； C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误； D、12+〔〕2=3≠32，不可以构成直角三角形，故本选项错误． 应选B． 点评： 此题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 9．〔2023年山东泰安，第8题3分〕如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．假设AB=6，那么BF的长为〔　　〕 　A．6 B． 7 C． 8 D． 10 分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，那么结合条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8． 解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=AB=3．又CE=CD， ∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，点D是AB的中点， ∴ED是△AFD的中位线，∴BF=2ED=8．应选：C． 点评： 此题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据条件求得ED的长度是解题的关键与难点． 10．〔2023年山东泰安，第12题3分〕如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，那么折痕DE的长为〔　　〕 　A．cm B． 2cm C． 2cm D． 3cm 分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可． 解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°， ∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处， ∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°， ∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE， ∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°， 在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷=cm， 在Rt△ADE中，DE=BD•tan30°=×=cm．应选A． 点评： 此题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键． 二.填空题 1. 〔 2023•福建泉州，第14题4分〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，那么CD的长为　5　cm． 考点： 直角三角形斜边上的中线． 分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB． 解答： 解：∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点， ∴CD=AB=×10=5cm． 故答案为：5． 点评： 此题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 　 2. 〔 2023•广东，第14题4分〕如图，在⊙O中，半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　3　． 考点： 垂径定理；勾股定理． 分析： 作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可． 解答： 解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC=BC=AB=×8=4， 在Rt△AOC中，OA=5， ∴OC===3， 即圆心O到AB的距离为3． 故答案为：3． 点评： 此题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查