2023年中考数学试卷分类汇编15.docx

2023中考全国100份试卷分类汇编 代数几何综合 1、〔2023年潍坊市压轴题〕如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点. 〔1〕求抛物线的解析式； 〔2〕假设直线平分四边形的面积，求的值. 〔3〕把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不管取何值，直线与总是关于轴对称？假设存在，求出点坐标；假设不存在，请说明理由. 答案：〔1〕因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以. 〔2〕由〔1〕知，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 令kx-2=1.5,得l与CD的交点F()， 令kx-2=0，得l与x轴的交点E()， 根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE, 即： 〔3〕由〔1〕知 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1, 所以,………………(1) 不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上， 那么〔1〕式变为,又yM =k xM-2, yN=k xN-2, 所以〔t+2〕(xM +xN)=2k xM xN,……(2) 把y=kx-2(k≠0)代入中，整理得x2+2kx-4=0, 所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入〔2〕得t=2,符合条件， 故在y轴上存在一点P〔0,2〕，使直线PM与PN总是关于y轴对称. 考点：此题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式确实定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大. 点评：此题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。 2、〔绵阳市2023年〕A B C D O x y l 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为〔0，-2〕，交x轴于A、B两点，其中A〔-1，0〕，直线l：x=m〔m＞1〕与x轴交于D。 〔1〕求二次函数的解析式和B的坐标； 〔2〕在直线l上找点P〔P在第一象限〕，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标〔用含m的代数式表示〕； 〔3〕在〔2〕成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。 解：〔1〕①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为〔0，-2〕，c = -2 , - , b=0 , 点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2； ②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为〔1，0〕； 〔2〕∠BOC=∠PDB=90º，点P在直线x=m上， 设点P的坐标为〔m,p〕, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ， ①当△BOC∽△PDB时，,,p= 或p = , 点P的坐标为〔m，〕或〔m，〕； ②当△BOC∽△BDP时， ，，p=2m-2或p=2-2m, 点P的坐标为〔m，2m-2〕或〔m，2-2m〕； 综上所述点P的坐标为〔m，〕、〔m，〕、〔m，2m-2〕或〔m，2-2m〕； 〔3〕不存在满足条件的点Q。 点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上， 令点Q的坐标为〔x, 2x2-2〕，x>1, 过点Q作QE⊥直线l , 垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB， ∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD， ① 当P的坐标为〔m，〕时， m-x = ， m=0 m=1 2x2-2- = m-1, x= x=1 与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； ② 当P的坐标为〔m，〕时， x-m= m=- m=1 2x2-2- = m-1, x=- x=1 与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； ③ 当P的坐标为〔m，2m-2〕时， m-x =2m-2 m= m=1 2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1 与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； ④当P的坐标为〔m，2-2m〕时， x- m = 2m-2 m= m=1 2x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1 与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 综上所述，不存在满足条件的点Q。 3、〔2023•昆明压轴题〕如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，假设抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D． 〔1〕求抛物线的解析式； 〔2〕求点D的坐标； 〔3〕假设点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题． 分析： 〔1〕由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a〔x﹣2〕2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式； 〔2〕设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标； 〔3〕存在，分两种情况考虑：如以下列图，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M〔3，〕，即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，将y=﹣代入得：﹣=﹣x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标． 解答： 解：〔1〕设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E〔2，3〕， 设抛物线解析式为y=a〔x﹣2〕2+3， 将A〔4，0〕坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣， 那么抛物线解析式为y=﹣〔x﹣2〕2+3=﹣x2+3x； 〔2〕设直线AC解析式为y=kx+b〔k≠0〕， 将A〔4，0〕与C〔0，3〕代入得：， 解得：， 故直线AC解析式为y=﹣x+3， 与抛物线解析式联立得：， 解得：或， 那么点D坐标为〔1，〕； 〔3〕存在，分两种情况考虑： ①当点M在x轴上方时，如答图1所示： 四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN， 由对称性得到M〔3，〕，即DM=2，故AN=2， ∴N1〔2，0〕，N2〔6，0〕； ②当点M在x轴下方时，如答图2所示： 过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP=DQ=，NP=AQ=3， 将yM=﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x2+3x， 解得：xM=2﹣或xM=2+， ∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1， ∴N3〔﹣﹣1，0〕，N4〔﹣1，0〕． 综上所述，满足条件的点N有四个：N1〔2，0〕，N2〔6，0〕，N3〔﹣﹣1，0〕，N4〔﹣1，0〕． 点评： 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题． 4、〔2023陕西〕〔第24题图〕 y -1 O x 2 -1 1 1 2 3 -2 3 在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A〔1，0〕、B〔3，0〕两点． 〔1〕写出这个二次函数的对称轴； 〔2〕设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C， 它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB， 当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。 [提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点 为A，那么它的表达式可表示 为：] 考点：此题在陕西的中考中也较固定，第〔1〕问主要考查待定 系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标， 抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等〔等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等等问题。考查问题的综合能力要求较高，根本上都是转化为求点的坐标的过程。 解析：此题中〔1〕由抛物线的轴对称性可知，与x轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴； 〔2〕由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D与E的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似确实定过程中充分考虑到分类即可解决此题； 解：〔1〕对称轴为直线：x=2。 〔2〕∵A〔1，0〕、B〔3，0〕，所以设即 当x=0时，y=3a，当x=2时，y= ∴C〔0，3a〕，D(2,-a) ∴OC=|3a|, ∵A〔1，0〕、E〔2，0〕， ∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a| 在△AOC与△DEB中， ∵∠AOC=∠DEB=90° ∴当时，△AOC∽△DEB ∴时，解得或 当时，△AOC∽△BED ∴时，此方程无解， 综上所得：所求二次函数的表达式为： 或 5、〔2023成都市压轴题〕在平面直角坐标系中，抛物线〔b,c为常数〕的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为〔0，-1〕，C的坐标为〔4,3〕，直角顶点B在第四象限。 〔1〕如图，假设该抛物线过A,B两点，求抛物线的函数表达式； 〔2〕平〔1〕中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q. i〕假设点M在直线AC下方，且为平移前〔1〕中的抛物线上点，当以M,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出所有符合条件的M的坐标； ii〕取BC的中点N,连接NP,BQ。试探究是否存在最大值？假设存在，求出该最大值；所不存在，请说明理由。 解析： 〔1〕A(0,-1) C(4,3) 那么｜AC｜= ABC为等腰直角三角形 ∴AB=BC=4 ∴B点(4,-1)将A,B代入抛物线方程有 ⇒ ∴ 〔2〕当顶点P在直线AC上滑动时，平移后抛物线与AC另一交点Q就是A点沿直线AC滑动同样的单位。下面给予证明： 原抛物线 顶点P为(2,1) 设平移后顶点P为(a,a-1),那么平移后抛物线 联立y=x-1(直线AC方程) 得Q点为〔a-2,a-3〕 ∴｜PQ｜= 即实际上是线段AP在直线AC上的滑动. ⅰ〕点M在直线AC下方，且M,P,Q构成等腰直角三角形，那么先考虑使MP,Q构成