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2023
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问题
提高
中考冲刺:创新、开放与探究型问题(提高)
中考冲刺:创新、开放与探究型问题(提高) 一、选择题 1. (2023•重庆校级二模)以下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成.其中,第①个图形中一共有1个平行四边1.(2023•重庆校级二模)以下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈,第②个图形中一共有6个空心小圆圈,第③个图形中一共有13个空心小圆圈,…,按此规律排列,那么第⑦个图形中空心圆圈的个数为( ) A.61 B.63 C.76 D.78 2.如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4,D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交与点P1;设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于点P2;设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3;…;设 Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn﹣1重合,折痕与AD交于点Pn(n>2),那么AP6的长为( ) A. B. C. D. 3.下面两个多位数1248624…、6248624…,都是按照如下方法得到的:将第一位数字乘以2,假设积为一位数,将其写在第2位上,假设积为两位数,那么将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,那么这个多位数前100位的所有数字之和是( ) A.495 B.497 C.501 D.503 二、填空题 4. (2023•合肥校级三模)如图,一个3×2的矩形(即长为3,宽为2)可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形,即:小正方形的个数最多是6个,最少是3个. (1)一个5×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数可以是______个,最少是______个; (2)一个7×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最多是______个,最少是______个; (3)一个(2n+1)×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最多是______个;最少是______个.(n是正整数) 5. 一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃,该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成,每个扇环面如图2所示,它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成,为使得绿化效果最正确,还须使得扇环面积最大. (1)使图①花圃面积为最大时R-r的值为____,以及此时花圃面积为____,其中R、r分别为大圆和小圆的半径 (2)假设L=160 m,r=10 m,使图面积为最大时的θ值为______. 6.如下列图,△ABC的面积, 在图(a)中,假设,那么; 在图(b)中,假设,那么; 在图(c),假设,那么. … 按此规律,假设,那么________. 三、解答题 7.(2023•丹东模拟),点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合),∠BAC=90°,AB=AC,∠DAE=90°,AD=AE,连接CE. (l)如图1,当点D在线段BC上时,求证:①BD⊥CE,②CE=BC﹣CD; (2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的关系; (3)如图3,当点O在线段BC的反向延长线上时,且点A、E分别在直线BC的两侧,点F是DE的中点,连接AF、CF,其他条件不变,请判断△ACF的形状,并说明理由. 8. 如图(a)、(b)、(c),在△ABC中,分别以AB,AC为边,向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形,BE,CD相交于点O. (1)①如图(a),求证:△ADC≌△ABE; ②探究: 图(a)中,∠BOC=________; 图(b)中,∠BOC=________; 图(c)中,∠BOC=________; (2)如图(d),:AB,AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边;AC,AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边.BE,CD的延长相交于点O. ①猜想:图(d)中,∠BOC=________________;(用含n的式子表示) ②根据图(d)证明你的猜想. 9. 如图(a),梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=a,在线段BC上任取一点P(P不与B,C重合),连接DP,作射线.PE⊥DP,PE与直线AB交于点E. (1)试确定CP=3时,点E的位置; (2)假设设CP=x(x>0),BE=y(y>0),试写出y关于自变量x的函数关系式; (3)假设在线段BC上能找到不同的两点P1,P2,使按上述作法得到的点E都与点A重合,试求出此时a的取值范围 10. 点A,B分别是两条平行线m,n上任意两点,在直线n上找一点C,使BC=k·AB.连接AC,在直线AC上任取一点E,作∠BEF=∠ABC,EF交直线m于点F. (1)如图(a),当k=1时,探究线段EF与EB的关系,并加以说明; 说明: ①如果你经过反复探索没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写三步); ②在完成①之后,可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角),在图(b)中补全图形,完成证明. (2)如图(c),假设∠ABC=90°,k≠l,探究线段EF与EB的关系,并说明理由. 答案与解析 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A; 【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为:4×1﹣3+1×0=1个; 第②个图形中空心小圆圈个数为:4×2﹣4+2×1=6个; 第③个图形中空心小圆圈个数为:4×3﹣5+3×2=13个; … ∴第⑦个图形中空心圆圈的个数为:4×7﹣9+7×6=61个; 2.【答案】A; 【解析】由题意得,AD=BC=,AD1=AD﹣DD1=,AD2=,AD3=,ADn=, 故AP1=,AP2=,AP3=…APn=, 故可得AP6=. 应选A. 3.【答案】A; 【解析】 根据题意,当第1位数字是3时,按操作要求得到的数字是3624862486248…,从第2位数字起每隔四位数重复 一次6248,因为(100-1)被4整除得24余3,所以这个多位数前100位的所有数字之间和 是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24=495,答案选A. 二、填空题 4.【答案】(1)4;10;(2)5;14;(3)4n+2;n+2. 【解析】(1)一个5×2的矩形最少可分成4个正方形,最多可分成10个正方形; (2)一个7×2的矩形最少可分成5个正方形,最多可分成14个正方形; (3)第一个图形:是一个3×2的矩形,最少可分成1+2个正方形,最多可分成1×4+2个正方形; 第二个图形:是一个5×2的矩形,最少可分成2+2个正方形,最多可分成2×4+2个正方形; 第三个图形:是一个7×2的矩形,最少可分成3+2个正方形,最多可分成3×4+2个正方形; … 第n个图形:是一个(2n+1)×2的矩形,最多可分成n×4+2=4n+2个正方形,最少可分成n+2个正方形. 故答案为:(1)4;10;(2)5;14;(3)4n+2;n+2. 5.【答案】(1)R-r的值为,以及此时花圃面积为; (2)θ值为. 【解析】 要使花圃面积最大,那么必定要求扇环面积最大. 设扇环的圆心角为θ,面积为S,根据题意得: , ∴ ∴ . ∵ , ∴S在时取最大值为. ∴花圃面积最大时R-r的值为,最大面积为. (2)∵当时,S取大值, ∴ (m), (m), ∴ . 6.【答案】. 【解析】 … 三、解答题 7.【答案与解析】 (1)证明:如图1中,∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中, , ∴△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE=45°,BD=CE, ∴∠ACB+∠ACE=90° ∴∠ECB=90°, ∴BD⊥CE,CE=BC﹣CD. (2)如图2中,结论:CE=BC+CD,理由如下: ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中, , ∴△ABD≌△ACE, ∴BD=CE, ∴CE=BC+CD. (3)如图3中,结论:△ACF是等腰三角形.理由如下: ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE, ∵∠ABC=∠ACB=45°, ∴∠ACE=∠ABD=135°, ∴∠DCE=90°, 又∵点F是DE中点, ∴AF=CF=DE, ∴△ACF是等腰三角形. 8.【答案与解析】 (1)证法一: ∵△ABD与△ACE均为等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,且∠BAD=∠CAE=60°. ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠DAC=∠BAE. ∴△ADC≌△ABE. 证法二: ∵△ABD与△ACE均为等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE, 且∠BAD=∠CAE=60°. ∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到. ∴△ABE≌△ADC. ②120°,90°,72°. (2)①. ②证法一:依题意,知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角,AB=AD,AE=AC, ∴∠BAD=∠CAE=. ∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE, 即∠BAE=∠DAC. ∴△ABE≌△ADC. ∴∠ABE=∠ADC. ∵∠ADC+∠ODA=180°, ∴∠ABO+∠ODA=180°. ∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°. ∴∠BOC+∠DAB=180°. ∴∠BOC=180°-∠DAB=. 证法二:延长BA交CO于F,证∠BOC=∠DAF=180°-∠BAD. 证法三:连接CE.证∠BOC=180°-∠CAE. 9.【答案与解析】 解: (1)作DF⊥BC,F为垂足. 当CP=3时,四边形ADFB是矩形,那么CF=3. ∴点P与点F