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2023年中考冲刺几何综合问题基础.docx
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2023 年中 冲刺 几何 综合 问题 基础
中考冲刺:几何综合问题(根底) 冲刺:几何综合问题(根底)   一、选择题   1.(2023•天水)如图,边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′,它们的边B′C′,BC位于同一条直线l上,开始时,点C′与B重合,△ABC固定不动,然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移,移出△ABC外(点B′与C重合)停止,设△A′B′C′平移的距离为x,两个三角形重合局部的面积为y,那么y关于x的函数图象是(  )                   A.    B.  C.  D.   2. 如图,将直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置(A、D、C、F四点在同一条直线上).直角边DE交BC于点G.如果BG=4,EF=12,△BEG的面积等于4,那么梯形ABGD的面积是(  )                    A. 16   B. 20   C. 24    D. 28   二、填空题   3.(2023•海淀区二模)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如下列图,木杆EF的长为2m,它的影长FD为3m,测得OA为201m,那么金字塔的高度BO为______ m.                  4. 如图,线段AB=8cm,点C是AB上任意一点(不与点A、B重合),分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形(△AMC和△CNB),那么当BC=_____________cm时,两个等腰直角三角形的面积和最小.                      三、解答题   5. 有一根直尺的短边长2cm,长边长10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长12cm.如图①,将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合,且点D与点A重合; 将直尺沿AB方向平移(如图②),设平移的长度为xcm( 0≤x≤10 ),直尺和三角形纸板的重叠局部(图中阴影局部)的面积为Scm2.   (1)当x=0时(如图①),S=________;   (2)当0<x≤4时(如图②),求S关于x的函数关系式;   (3)当4<x<6时,求S关于x的函数关系式;   (4)直接写出S的最大值.              6. 问题情境:如图①,在△ABD与△CAE中,BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证:△ABD≌△CAE.(不需要证明)   特例探究:如图②,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.求证:△ABD≌△CAE.   归纳证明:如图③,在等边△ABC中,点D、E分别在边CB、BA的延长线上,且BD=AE.△ABD与△CAE是否全等?如果全等,请证明;如果不全等,请说明理由.   拓展应用:如图④,在等腰三角形中,AB=AC,点O是AB边的垂直平分线与AC的交点,点D、E分别在OB、BA的延长线上.假设BD=AE,∠BAC=50°,∠AEC=32°,求∠BAD的度数.           7. 如图正三角形ABC的边长为6cm,⊙O的半径为rcm,当圆心O从点A出发,沿着线路AB-BC-CA运动,回到点A时,⊙O随着点O的运动而移动.   ⑴假设r=cm,求⊙O首次与BC边相切时,AO的长;   ⑵在⊙O移动过程中,从切点的个数来考虑,相切有几种不同的情况?写出不同情况下r的取值范围及相应的切点的个数;   ⑶设⊙O在整个移动过程中,在△ABC内部,⊙O未经过的局部面积为S,在S>0时,求关于r的函数解析式,并写出自变量r的取值范围.                      8. (2023•德州)(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD•BC=AP•BP.   (2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.   (3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:   如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出了,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A,设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切时,求t的值.            9. 如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=12 cm,BC=9 cm,DC=13 cm,点P是线段AB上一个动点.设BP为x cm,△PCD的面积为y cm2.   (1)求AD 的长;   (2)求y与x之间的函数关系式,并求出当x为何值时,y有最大值?最大值是多少?   (3)在线段AB上是否存在点P,使得△PCD是直角三角形?假设存在,求出x的值;假设不存在,请说明理由.                         10. 如图,平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,∠A=60°,点P从点A出发沿边线AB—BC以每秒1个单位长的速度向点C运动,当P与C重合时停下运动,过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P运动时间为t秒,直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式.                      答案与解析 【答案与解析】  一、选择题   1.【答案】B.    【解析】如图1所示:当0<x≤1时,过点D作DE⊥BC′.        ∵△ABC和△A′B′C′均为等边三角形,        ∴△DBC′为等边三角形.        ∴DE=BC′=x.        ∴y=BC′•DE=x2.        当x=1时,y=,且抛物线的开口向上.        如图2所示:1<x≤2时,过点A′作A′E⊥B′C′,垂足为E.        ∵y=B′C′•A′E=×1×=.        ∴函数图象是一条平行与x轴的线段.        如图3所示:2<x≤3时,过点D作DE⊥B′C,垂足为E.        y=B′C•DE=(x﹣3)2,        函数图象为抛物线的一局部,且抛物线开口向上.        应选:B.   2.【答案】B.   二、填空题   3.【答案】134.   4.【答案】4.   三、解答题   5.【答案与解析】   (1)由题意可知:      当x=0时,      ∵△ABC是等腰直角三角形,      ∴AE=EF=2,      那么阴影局部的面积为:S=×2×2=2;      故答案为:2;   (2)在Rt△ADG中,∠A=45°,      ∴DG=AD=x,同理EF=AE=x+2,      ∴S梯形DEFG=(x+x+2)×2=2x+2.      ∴S=2x+2;   (3)①当4<x<6时(图1),                           GD=AD=x,EF=EB=12-(x+2)=10-x,      那么S△ADG=AD.DG=x2,      S△BEF=(10-x)2,      而S△ABC=×12×6=36,      S△BEF=(10-x)2,      ∴S=36-x2-(10-x)2=-x2+10x-14,      S=-x2+10x-14=-(x-5)2+11,      ∴当x=5,(4<x<6)时,S最大值=11.   (4)S最大值=11.   6.【答案与解析】   特例探究:   证明:∵△ABC是等边三角形,      ∴AB=AC,∠DBA=∠EAC=60°,      在△ABD与△CAE中,      ,      ∴△ABD≌△CAE(SAS);      归纳证明:△ABD与△CAE全等.理由如下:      ∵在等边△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠BAC=60°,      ∴∠DBA=∠EAC=120°.      在△ABD与△CAE中,      ,      ∴△ABD≌△CAE(SAS);      拓展应用:∵点O在AB的垂直平分线上,      ∴OA=OB,      ∴∠OBA=∠BAC=50°,      ∴∠EAC=∠DBC.      在△ABD与△CAE中,,      ∴△ABD≌△CAE(SAS),      ∴∠BDA=∠AEC=32°,      ∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°.   7.【答案与解析】   (1)设⊙O首次与BC相切于点D,那么有OD⊥BC.      且OD=r=.      在直角三角形BDO中,      ∵∠OBD=60°,      ∴OB==2.      ∴AO=AB-OB=6-2=4(厘米);   (2)由正三角形的边长为6厘米.可得出它的一边上的高为3厘米.      ①当⊙O的半径r=3厘米时,⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次,即切点个数为3;      ②当0<r<3时,⊙O在移动中与△ABC的边相切六次,即切点个数为6;      ③当r>3时,⊙O与△ABC不能相切,即切点个数为0.   (3)如图,易知在S>0时,⊙O在移动中,在△ABC内部为经过的局部为正三角形.                         记作△A′B′C′,这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行,且平行线间的距离等于r.      连接AA′,并延长AA′,分别交B′C′,BC于E,F两点.      那么AF⊥BC,A′E⊥B′C′,且EF=r.      又过点A′作A′G⊥AB于G,那么A′G=r.      ∵∠GAA′=30°,      ∴AA′=2x.      ∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r,      B′C′=      A′E=2(3-r).      ∴△A′B′C′的面积S=B′C′.A′E=3(3-r)2.      ∴所求的解析式为S=3(3-r)2(0<r<3).   8.【答案与解析】   解:(1)如图1,                          ∵∠DPC=∠A=∠B=90°,      ∴∠ADP+∠APD=90°,      ∠BPC+∠APD=90°,      ∴∠ADP=∠BPC,      ∴△ADP∽△BPC,      ∴=,      ∴AD•BC=AP•BP;      (2)结论AD•BC=AP•BP仍然成立.      理由:如图2,                          ∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,      ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.      ∵∠DPC=∠A=∠B=θ,      ∴∠BPC=∠ADP,      ∴△ADP∽△BPC,      ∴=,      ∴AD•BC=AP•BP;      (3)如图3,                           过点D作DE⊥AB于点E.      ∵AD=BD=5,AB=6,      ∴AE=BE=3.      由勾股定理可得DE=4.      ∵以点D为圆心,DC为半径的圆与AB相切,      ∴DC=DE=4,      ∴BC=5﹣4=1.      又∵AD=BD,      ∴∠A=∠B,      ∴∠DPC=∠A=∠B.      由(1)、(2)的经验可知AD•BC=AP•BP,      ∴5×1=t(6﹣t),      解得:t1=1,t2=5,      ∴t的值为1秒或5秒.   9.【答案与解析】 ⊥BC于点E.                           据题意知,四边形ABED是矩形,AB=DE,AD=BE.      在Rt△DEC中,∠DEC=90°,DE=12,CD=13,      ∴ EC=5.    ∴AD=BE=BC-EC=4.  

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