2023年上海外贸学院微积分题库级数 极限与连续 微分差分方程 微积分的经济应用.doc

1. 设级数收敛,绝对收敛,证明绝对收敛 2. 设正项数列{}单调增加且有界,证明级数收敛 3. 证明级数条件收敛 4. 设级数收敛,,证明收敛 5. 设数列{}单调减少,,证明收敛 6. 设对一切自然数均有,证明:假设收敛,那么收敛 7. 设,证明:假设收敛,那么收敛 8. 设,证明:假设发散,那么发散 9.设在的某一邻域内具有二阶连续导数,且,证明级数绝对收敛 10.数列收敛, 级数收敛, 证明级数收敛 11.设{},{}为正项数列,假设对一切自然数均有,且发散,证明级数 12.设正项级数收敛,证明以下级数收敛:1) ;2) 3) 极限与连续 1. 证明 =1 2. 设,证明 存在 3. 设a1,a2,a3为正数, , 证明 方程在和内各有一根. 4. 设，用极限的定义证明 5. 证明 方程x3-9x-1=0恰好有三个实根 6. 设a>0,任取x1>0,令(n=1,2,….), 证明 数列收敛，并求 7. 证明 方程恰好有一个实根，其中p,q为常数且0<q<1 8. 用函数极限的定义证明 9. a0>b0>0,,证明 与都存在且相等 10. 证明=2 微分差分方程 1. 设有连续的二阶导数,且.求: 2. 设满足,且.求: 3. 设满足,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线在该点的切线重合,求函数. 4. ,求: 5. 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程 6. 是可微函数,且,求 7. 设有连续的二阶导数,且.求: 8. 设,其中连续,求: 9. 求微分方程的通解 10. 设微分方程的一个特解是,求:a,b,c的值及该方程的通解 微积分的经济应用 1.假设全年需要某种原料a吨，其消耗是均匀的，原料分批均匀进货一次订购所需费用为b，原料单价为p，年保管费用率为r，求每次订购多少才能使总费用最省. 2.某商品进价为a(元/件),根据以往经验，当销售价为b(元/件)时,销售量为c件(a,b,c均为正常数,且b≥4a/3),市均调查说明，销售价每下10%,销售量可增加40%,现决定一次性降价,试问当销售价定为多少时,可获得最大利润并求出最大利润. 3.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是,.其中,分别表示产品在两个市场的价格(单位:万元/吨), 和分别表示该产品在两市场的销售量(即需求量，单位：吨),并且该企业生产这种产品的总本钱函数是C=2Q+5,其中Q表示该产品在两市场的销售总量，即Q=+.(1)如果该企业实行价格差异策略,试确定两个商场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差异策略, 试确定两个商场上该产品的销售量即统一的价格，使该企业的总利润最大;并比拟两种价格策略下的总利润大小. 4.设某种商品在t时期的供应量与需求量都是这一时期商品价格的线性函数：=3-2, =4-5;且在t时期的价格由t-1时期的价格与供应量及需求量之差-按关系式=--)确定，试求该产品的价格随时间变化的规律.