2023学年福建省三明市第一中学高考数学五模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ） A． B． C． D． 2．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( ) A． B． C． D． 3．已知为定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 4．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A．24 B．36 C．48 D．64 5．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ） A． B． C． D． 6．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ） A． B． C． D． 7．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 8．已知与之间的一组数据： 1 2 3 4 3.2 4.8 7.5 若关于的线性回归方程为，则的值为（ ） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 9．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，点是平面内一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．如果，那么下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 12．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数的对称中心是 D．函数的对称轴是 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知数列满足对任意，若，则数列的通项公式________． 14．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________． 15．已知函数，则关于的不等式的解集为_______． 16．已知， 是互相垂直的单位向量，若 与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，为定点，点为的中点，动点满足，且，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线交曲线于，两点，为曲线上异于，的任意一点，直线，分别交直线于，两点.问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由. 18．（12分）已知函数. （1）当a=2时，求不等式的解集； （2）设函数.当时，，求的取值范围. 19．（12分）已知椭圆的短轴长为，离心率，其右焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和，求的取值范围. 20．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且． 证明：直线与圆相切； 求面积的最小值． 21．（12分）在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD. （1）证明：BD⊥EG； （2）若三棱锥，求菱形ABCD的边长. 22．（10分）已知集合，集合. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【题目详解】 由题,因为,所以, 设,则由,可得,解得, 可将三棱锥还原成如图所示的长方体, 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以, 所以外接球的体积. 故选:A 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力. 2、A 【答案解析】 求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案． 【题目详解】 满足条件的正如下图所示： 其中正的面积为， 满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示， 阴影部分区域的面积为. 则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 3、D 【答案解析】 判断，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【题目详解】 ∵，∴． 故选： 【答案点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 4、B 【答案解析】 根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和. 【题目详解】 当按照进行分配时，则有种不同的方案； 当按照进行分配，则有种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 5、B 【答案解析】 先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【题目详解】 不超过的素数有：、、、、、， 在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况， 其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况， 因此，所求事件的概率为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 6、A 【答案解析】 由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【题目详解】 水费开支占总开支的百分比为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 7、D 【答案解析】 弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素. 【题目详解】 因，所以，故，又， ，则， 故集合. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题. 8、D 【答案解析】 利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解. 【题目详解】 利用表格中数据，可得 又， ． 解得 故选：D 【答案点睛】 本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 9、A 【答案解析】 根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果. 【题目详解】 由三视图的性质和定义知，三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形，其面积都是，正视图与侧视图的面积之和为， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 10、C 【答案解析】 根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【题目详解】 由“”，得， 得或或， 即或或， 由，得， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选C． 【答案点睛】 本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题． 11、D 【答案解析】 利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出. 【题目详解】 ∵，∴，，，. 故选：D. 【答案点睛】 本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题. 12、B 【答案解析】 根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可. 【题目详解】 由图象可得，函数的周期，所以. 将点代入中，得，解得，由，可得，所以. 令，得， 故函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，故A正确； 令，得， 故函数在上单调递增. 当时，函数在上单调递增，故B错误； 令，得，故函数的对称中心是，故C正确； 令，得，故函数的对称轴是，故D正确. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由可得，利用等比数列的通项公式可得，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论. 【题目详解】 由，得 ，数列是等比数列，首项为2，公比为2， ，， ， ，满足上式，. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题. 14、 【答案解析】 考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程． 解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则. 直线IF1与IF2的斜率之积：， 而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为 因此有. 再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴， 离心率e满足的椭圆， 其标准方程为. 解法二：令，则．三角形PF1F2的面积： ， 其中r为内切圆的半径，解得. 另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得： 从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为： . 本题中：，代入上式可得轨迹方程为：. 15、 【答案解析】 判断的奇偶性和单调性，原不等式转化为，运用单调性，可得到所求解集． 【题目详解】 令，易知函数为奇函数，在R上单调递增， ， 即， ∴ ∴，即x＞ 故答案为： 【答案点睛】 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 16、 【答案解析】 根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值． 【题目详解】 解：由题意，设（1，0），（0，1）， 则（，﹣1）， λ（1，λ）； 又夹角为60°， ∴（）•（λ）λ＝2cos60°， 即λ， 解得λ． 【答案点睛】 本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17