2023学年高考数学大二轮复习能力升级练十七直线与圆理2.docx

能力升级练(十七)　直线与圆 一、选择题 1.(2023山西运城中学、芮城中学期中联考)直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率为(　　) A.33 B.3 C.-3 D.-33 解析直线方程为12x-32y+1=0,整理为斜截式为y=33x+233, 可知直线的斜率为33.故选A. 答案A 2.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(　　) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1 解析由题意知圆心的坐标为(1,2).易知(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1),所以圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选A. 答案A 3.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(　　) A.-43 B.-34 C.3 D.2 解析圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4, 故圆心为(1,4),d=|a+4-1|a2+1=1,解得a=-43. 答案A 4.(2023重庆期末)直线mx+y+1-m=0与圆x2+y2+x-2y-6=0的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 解析把圆的方程化为标准形式可得x+122+(y-1)2=294,直线方程可化为m(x-1)+y+1=0,故可得直线过定点A(1,-1),点A到圆心的距离为94+4=52<292,即点A在圆内,故直线与圆相交,故选A. 答案A 5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC,BD,则以点A,B,C,D为顶点的四边形ABCD的面积为(　　) A.106 B.206 C.306 D.406解析已知圆的圆心为(3,4),半径为5,则最短的弦长为252-12=46,最长的弦为圆的直径为10,且最短的弦与最长的弦垂直,于是四边形的面积为12×46×10=206.故选B. 答案B 6.(2023江西临川第一中学高三上学期期末)已知圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为Q(1,1),直线AB交x轴于点P,则|PA|·|PB|=(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 解析x2+y2-4x-5=0可化为(x-2)2+y2=9, 所以圆x2+y2-4x-5=0的圆心坐标为C(2,0),半径为3. 它与坐标轴的交点分别为M,N,所以|MO|=1,|NO|=5, 因为弦AB的中点为Q(1,1),所以QC⊥AB, kQC=1-01-2=-1,所以kAB=1, 所以直线AB的方程为y-1=x-1,即y=x, 所以点P的坐标为(0,0),它与原点重合. 由圆的性质可得|PA|·|PB|=|MO|·|NO|=5, 故选B. 答案B 7.(2023湖北沙市中学期末)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=3x和l2:y=kx-1被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,则k的值为(　　) A.12 B.33 C.1 D.3 解析圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0),半径为2,圆心到线l1:y=3x的距离为3,l1被圆C所截得的弦的长度为222-3=2,圆心到l2的距离为|2k-1|k2+1,l2被圆C所截得的弦的长度为24-2k-1k2+12,由l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,可得24-2k-1k2+12=2×2,解得k=12,故选A. 答案A 8.(2023湖南永州模拟)自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为(　　) A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0 C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0 解析由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2, 因为|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ, 所以|PO|2+r2=|PC|2, 所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2, 即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0,故选D. 答案D 9.直线y=x+m与圆x2+y2=16交于不同的两点M,N,且|MN|≥3|OM+ON|,其中O是坐标原点,则实数m的取值范围是(　　). A.(-22,-2]∪[2,22) B.(-42,-22]∪[22,42) C.[-2,2] D.[-22,22] 解析设MN的中点为D,则OM+ON=2OD,|MN|≥23|OD|,由|OD|2+14|MN|2=16,得16=|OD|2+14|MN|2≥|OD|2+14(23|OD|)2,从而得|OD|≤2,由点到直线的距离公式可得|OD|=|m|2≤2,解得-22≤m≤22. 答案D 二、填空题 10.(2023山东日照六校联考)已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,则两圆有　　　　　条公切线.  解析圆C1的标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,圆心为C1(-1,3),半径为r1=3,圆C2的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=16,圆心为C2(2,-1),半径为r2=4,又|C1C2|=(-1-2)2+[3-(-1)]2=5,故r2-r1<|C1C2|<r2+r1,两圆相交,公切线有2条. 答案2 11.(2023山东潍坊期末)已知动直线l0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3,则12a+2c的最小值为　　　　　.  解析动直线l0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),所以a+bm+c-2=0.又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3,所以(4-1)2+(0-m)2=3,解得m=0.所以a+c=2.又a>0,c>0,所以12a+2c=12(a+c)12a+2c=1252+c2a+2ac≥1252+2c2a·2ac=94,当且仅当c=2a=43时取等号. 答案94 12.(2023四川绵阳质检)若A(-33,y0)是直线l:3x+y+a=0(a>0)上的点,直线l与圆C:(x-3)2+(y+2)2=12相交于M、N两点,若△MCN为等边三角形,则过点A作圆C的切线,切点为P,则|AP|=　　　　　.  解析因为△MCN为等边三角形,圆C的圆心为C(3,-2),半径为r=23,所以根据点C到直线l的距离可得:r2-r22=3=|3-2+a|3+1,即|a+1|=6,因为a>0,所以a=5,所以直线l的方程为3x+y+5=0,又A(-33,y0)在直线l上,所以-9+y0+5=0,所以y0=4,即A(-33,4),所以|AP|=|AC|2-|PC|2=(-33-3)2+(4+2)2-12=62. 答案62 13.设圆C:(x-3)2+(y-5)2=5,过圆心C作直线l交圆于A,B两点,交y轴于点P,若A恰好为线段BP的中点,则直线l的方程为　　　　　　.  解析圆C:(x-3)2+(y-5)2=5的圆心C的坐标为(3,5),半径为5,设P点的坐标为(0,b).因为A是线段BP的中点,AP=AB=2r,CP=3r=35,即(3-0)2+(5-b)2=(35)2,解得b=-1或b=11. 当b=-1时,直线l的方程为2x-y-1=0,当b=11时,直线l的方程为2x+y-11=0. 答案2x-y-1=0或2x+y-11=0 三、解答题 14.(2023安徽六安模考)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C与y轴相切,且过点M(1,3),N(1,-3). (1)求圆C的方程; (2)已知直线l与圆C交于A,B两点,且直线OA与直线OB的斜率之积为-2.求证:直线l恒过定点,并求出定点的坐标. 解(1)因为圆C过点M(1,3),N(1,-3), 所以圆心C在线段MN的垂直平分线上,即在x轴上, 故设圆心为C(a,0),易知a>0, 又圆C与y轴相切, 所以圆C的半径r=a, 所以圆C的方程为(x-a)2+y2=a2. 因为点M(1,3)在圆C上, 所以(1-a)2+(3)2=a2,解得a=2. 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4. (2)记直线OA的斜率为k(k≠0), 则其方程为y=kx. 联立,得(x-2)2+y2=4,y=kx,消去y,得(k2+1)x2-4x=0, 解得x1=0,x2=4k2+1. 所以A4k2+1,4kk2+1. 由k·kOB=-2,得kOB=-2k,直线OB的方程为y=-2kx, 在点A的坐标中用-2k代换k,得B4k2k2+4,-8kk2+4. 当直线l的斜率不存在时,4k2+1=4k2k2+4,得k2=2,此时直线l的方程为x=43. 当直线l的斜率存在时,4k2+1≠4k2k2+4,即k2≠2. 则直线l的斜率为4kk2+1--8kk2+44k2+1-4k2k2+4 =4k(k2+4)+8k(k2+1)4(k2+4)-4k2(k2+1)=3k(k2+2)4-k4=3k2-k2. 故直线l的方程为y-4kk2+1=3k2-k2x-4k2+1. 即y=3k2-k2x-43,所以直线l过定点43,0. 综上,直线l恒过定点,定点坐标为43,0. 15.在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0. (1)求AB的坐标; (2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程. 解(1)设AB=(x,y), 由|AB|=2|OA|,AB·OA=0, 得x2+y2=100,4x-3y=0, 解得x=6,y=8或x=-6,y=-8. 若AB=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾. ∴x=-6,y=-8舍去, 即AB=(6,8). (2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=(10)2,其圆心为C(3,-1),半径r=10, ∵OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5), ∴直线OB的方程为y=12x. 设圆心C(3,-1)关于直线y=12x的对称点的坐标为(a,b),则b+1a-3=-2,b-12=12·a+32, 解得a=1,b=3, ∴所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10. 9