2023年版高中全程复习方略配套选修柯西不等式人教A版数学理浙江专用（教学课件）.ppt

第三节 柯西不等式 三年三年1 1考考 高考指数高考指数:1.1.了解以下柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义了解以下柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义并会证明并会证明.(1)(1)柯西不等式的向量形式：柯西不等式的向量形式：(2)(a(2)(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)(ac+bd)(ac+bd)2 2 (3)(3)(通常称为平面三角不等式通常称为平面三角不等式)222212122 32 3x xy y x xy y （）（）（）（）221313(x x)(y y)|gg 2.2.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：3.3.会用柯西不等式证明一些简单问题，能够利用柯西不等式求一会用柯西不等式证明一些简单问题，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值些特定函数的极值.nnn222iii ii 1i 1i 1ab(ab)g1.1.利用柯西不等式证明不等式、求特定代数式的最值，以及解利用柯西不等式证明不等式、求特定代数式的最值，以及解决一些实际问题的优化设计等是本节考查的重点决一些实际问题的优化设计等是本节考查的重点.2.2.常与函数、不等式、数列、向量等知识进行综合考查，是本常与函数、不等式、数列、向量等知识进行综合考查，是本节的难点、重点节的难点、重点.3.3.通常以解答题形式出现，是高考的新热点之一通常以解答题形式出现，是高考的新热点之一.柯西不等式柯西不等式 (1)(1)二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式 代数形式代数形式 假设假设a,b,c,da,b,c,d都是实数都是实数,那么那么(a2+b2)(c2+d2)_,(a2+b2)(c2+d2)_,当且当且仅当仅当 _时时,等号成立等号成立.向量形式向量形式 设设 是两个向量是两个向量,那么那么 _,_,当且仅当当且仅当 _，或，或_时时,等号成立等号成立.(ac+bd)(ac+bd)2 2 ad=bcad=bc ,g 是零向量是零向量 存在实数存在实数k,k,使使 k三角形式三角形式 设设x1,y1,x2,y2R,x1,y1,x2,y2R,那么那么 _._.(2)(2)三维形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式 设设a1,a2,a3,b1,b2,b3R,a1,a2,a3,b1,b2,b3R,那么那么 _ _._.当且仅当当且仅当_或或_ _时时,等号成立等号成立.22221122x yx y 221212x xy y （）（）2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3(aaa)(bbb)22 23 3ab ab)11(a b b b1 1=b=b2 2=b=b3 3=0=0 存在一个数存在一个数k,k,使得使得a a1 1=kb=kb1 1,a a2 2=kb=kb2 2,a,a3 3=kb=kb3 3 3 3一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式 设设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bna1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数是实数,那么那么 _ _,_,当且仅当当且仅当_或或_ _时时,等号成立等号成立.22222222123n123n(a a a a)(b b bb)11 2233(a ba ba b 2n na b)b bi i=0(i=1,2,3,n)=0(i=1,2,3,n)存在一个数存在一个数k,k,使得使得a ai i=kbkbi i(i=1,2,3,n)(i=1,2,3,n)【即时应用即时应用】(1)(1)思考：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的思考：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的 条件可以写成条件可以写成 吗？吗？提示：提示：不可以不可以.当当b=db=d0 0时，柯西不等式成立，但时，柯西不等式成立，但 不成立不成立.acbdacbd(2)(2)思考：不等式思考：不等式a2+b2)a2+b2)d2+c2)d2+c2)ac+bd)2ac+bd)2是柯西不等式是柯西不等式吗？吗？提示：不是提示：不是.因为二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应因为二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆因此要仔细体会，加强记忆.(3)(3)假设假设2x+3y=1,2x+3y=1,那么那么4x2+9y24x2+9y2的最小值为的最小值为_._.【解析解析】4x2+9y24x2+9y212+1212+122x+3y2x+3y2=12=1 答案：答案：2214x9y.212 利用柯西不等式证明不等式利用柯西不等式证明不等式 【方法点睛】【方法点睛】利用柯西不等式的解题方法利用柯西不等式的解题方法 (1)(1)柯西不等式的一般结构为柯西不等式的一般结构为 在利用柯西不等式证明不等式或比较大在利用柯西不等式证明不等式或比较大 小时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件小时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件 正确解题正确解题.2 222 221 2n1 2n(a a a)(b b b)21 1 22nn(a ba ba b),2 2使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它的外在形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致的外在形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩小小.【例例1 1】(1)(1)设设a,b,ca,b,c为正数，且不全相等，求证：为正数，且不全相等，求证：(2)a,b,c,d(2)a,b,c,d均为正实数，且均为正实数，且a+b+c+d=1a+b+c+d=1，求证：，求证：【解题指南解题指南】(1)(1)根据题目条件，可构造两组数据根据题目条件，可构造两组数据 然后利用柯西不等式解决然后利用柯西不等式解决.(2)(2)因为因为a+b+c+da+b+c+d1 1，所以，所以(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)5 5，故可构，故可构造数组，利用柯西不等式证明造数组，利用柯西不等式证明.222a b b c c a9.abca b,b c,111ca;,a b bc ca2222abcd1.1a 1b1c 1d 5【标准解答】构造两组数【标准解答】构造两组数 由柯西不等式得：由柯西不等式得：即即 1 1 1ab,b c,ca;,abb cca 21 11a b b c c a)1 1 1a b b c c a （）（）1 1 12 abc9abbcca （），2229.abbcca abc 由柯西不等式知，中等号成立由柯西不等式知，中等号成立 而题设中而题设中a,b,ca,b,c不全相等，故中等号不能成立不全相等，故中等号不能成立,a bbc c a a bc.a bb cc a111a bb cc a2229.abbcca abc(2)(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)(2)(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)()()=(a+b+c+d)=(a+b+c+d)2 2=1,=1,又又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)4+(a+b+c+d)=5,4+(a+b+c+d)=5,2222abcd1a 1b 1c 1d2abcd(1 a1 b1 c1 d)1 a1 b1 c1 d gggg22222222abcd5()1.1 a 1 b 1 c 1 dabcd1.1 a 1 b 1 c 1 d5【反思反思感悟感悟】由由a,b,ca,b,c构造成的新数构造成的新数 和和 不但需要较高的观察能力，而且应从所给不但需要较高的观察能力，而且应从所给 的数学式中看出的数学式中看出.ab,bc,ca111,a b b c c a 利用柯西不等式求最值利用柯西不等式求最值 【方法点睛】【方法点睛】利用柯西不等式求最值的技巧利用柯西不等式求最值的技巧 1 1先变形凑成柯西不等式的结构特征，这是利用柯西不等先变形凑成柯西不等式的结构特征，这是利用柯西不等式求解的先决条件；式求解的先决条件；2 2有些最值问题从外表上看不能利用柯西不等式，但只要有些最值问题从外表上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是应用柯西不等式解题的技巧；来解，这也是应用柯西不等式解题的技巧；3 3有些最值问题需要反复利用柯西不等式才能到达目的，但有些最值问题需要反复利用柯西不等式才能到达目的，但在运用过程中，每运用一次，前后等号成立的条件必须一致，不在运用过程中，每运用一次，前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否那么就会出现错误，屡次反复运用柯西不等式的能自相矛盾，否那么就会出现错误，屡次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一方法也是常用技巧之一.【提醒】在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号【提醒】在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件成立的条件.【例【例2 2】(1)(1)设正数设正数x x、y y、z z满足满足x+y+z=1x+y+z=1，求函数，求函数=2x=2x2 2+3y+3y2 2+z+z2 2 的最小值的最小值.(2)(2)求函数求函数 的最大值的最大值.【解题指南】【解题指南】(1)(1)由由x+y+z=1x+y+z=1以及以及=2x=2x2 2+3y+3y2 2+z+z2 2的形式，可以构的形式，可以构 造柯西不等式解决问题造柯西不等式解决问题.(2)(2)关键是构造关键是构造 再利用柯西不等式求解再利用柯西不等式求解.fx 2 x1 2x 1f x2 x2 x2 g，【标准解答标准解答】(1)(1)根据条件和柯西不等式，我们有根据条件和柯西不等式，我们有 故故 而等号成立的条件是：而等号成立的条件是：即即 z=z=，代入条件，代入条件x+y+z=1x+y+z=1得得=此时，此时，故当故当 时，函数时，函数=2x2+3y2+z2=2x2+3y2+z2取得最小值取得最小值 112 2 2221 11 11 x y z 2x 3y 1z1 2x 3y z)2 32 3 g g gg()（1 1.6g6.112 x3 yz23，xy23，6.11326x,y,z.1 11 11 16.11326x,y,z1 11 11 1(2)(2)由柯西不等式，得由柯西不等式，得 故当且仅当故当且仅当 即即 时，时，f(x)f(x)取得最大值为取得最大值为 1fx 2 x 12x 2x2x2 g15 3 021x2x 3.22 2gg12 2 x 1x,2 g7x63 0.2【反思【反思感悟】感悟】1.1.利用柯西不等式求最值的一般结构为：利用柯西不等式求最值的一般结构为：2.2.在利用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，在利用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而且要善于构造，技巧如下：而且要善于构造，技巧如下：2 222 21 2n 2 221 2n11 1(aa a)()(1 11)n.aa a (1)(1)巧拆常数；巧拆常数；(2)(2)重新安排某些项的次序；重新安排某些项的次序；(3)(3)改变结构从而到达可以使用柯西不等式的目的；改变结构从而到达可以使用柯西不等式的目的；(4)(4)添项添项.