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周期
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四进制
序列
构造
方法
李恒智
第 47 卷 第 1 期燕山大学学报Vol.47 No.12023 年 1 月Journal of Yanshan UniversityJan 2023文章编号:1007-791X(2023)01-0089-06周期为 2p 的低相关四进制序列的构造方法李恒智1,赵伟2,3,王东2,贾彦国2,*,沈秀敏2(1 河北对外经贸职业学院,河北 秦皇岛 066311;2 燕山大学 信息科学与工程学院,河北 秦皇岛 066004;3 燕山大学 里仁学院,河北 秦皇岛 066004)收稿日期:2021-01-29责任编辑:王建青基金项目:河北省自然科学基金资助项目(F2018203057);河北省教育厅高等学校科技计划青年基金项目(QN2021144);秦皇岛市科学与技术研究与发展计划项目(202004A010)作者简介:李恒智(1981-),男,河北秦皇岛人,硕士,主要研究方向为计算机应用;*通信作者:贾彦国(1971-),男,河北滦州人,博士,教授,博士生导师,主要研究方向为信道编码理论、扩频序列设计,Email:jyg ysueducn。摘要:具有理想自相关性、平衡性和易于实现特性的四进制序列,广泛应用于通信等领域中。虽然已被发现的平衡理想自相关四进制序列有很多,但低相关四进制序列还有很大的研究空间。本文基于广义四阶分圆类和中国剩余定理对周期为 2p(p=4f+1 奇素数)的低相关四进制序列进行研究,当四进制序列的第 0 位和第 p 位元素值分别同时为 1 和 i 时,得到了旁瓣值为 2,2,6、2,2,4,4 的平衡低相关四进制序列,当第 0 位和第 p 位元素值分别同时为1 和i 时,得到了旁瓣值同为 2,2i,2i,2+2i,22i 的平衡低相关四进制序列。关键词:低相关四进制序列;广义分圆类;中国剩余定理;平衡中图分类号:TN9112文献标识码:ADOI:103969/jissn1007-791X2023010100引言四进制序列作为一种特殊的高斯整数序列,在雷达、导航、码分多址等众多通信系统中应用广泛,在理论和应用中有着非常重要的意义。若 s=(s0,s1,sN1),st 1,i,1,i 是周期为 N 的四进制序列,则其循环自相关函数值 s()为s()=N1i=0st(st+)*=s(0)=0 0,(1)其中,虚数 i=1,*表示共轭运算,t+要进行模 N 运算。若旁瓣值=0,则序列 s 是最佳四进制序列 1。但是迄今为止,学者们仅找到周期 N=2,4,8,16 的最佳四进制序列,并且已经证明不存在长度 N16 的最佳四进制序列 2 以及不存在平衡的最佳四进制序列 3。若四进制序列为奇周期时,Schotten 等 4-5 构造出周期为 N=(pm+1)/2(p 是奇素数)的具有理想自相关函数最大副峰模值 max=1 的四进制序列。Lke 等 2 基于改进的 Legendre 序列,也构造出了 max=1 的理想四进制序列。Green 等 6 基于指数序列、Yang 等 7-8 利用二进制序列和逆 Gray映射的方法,都构造出了旁瓣值最大模值为5 的四进制序列。Michel 等 9 利用八阶分圆类,又构造出周期为 p1(mod 16)且旁瓣值最大模值为 3 的平衡或几乎平衡的低相关四进制序列。若四进制序列为偶周期时,Tang 等 3 证明了周期为 N0(mod 2)且旁瓣值最大模值至少为 2的平衡四进制序列。Kim 等 10-12、Zeng 等 13 也都利用逆 Gray 映射和特定的二进制序列,构造出了平衡或几乎平衡的具有良好自相关性的四进制序列。另外,Edemskiy 等 14 基于四阶分圆类,构造出了 max8,4 且具有较高线性复杂度和平衡特性的四进制序列。沈秀敏等 15-16 基于广义四阶分圆类、Su 等 17 基于交织法,都构造出了 max=2 的平衡理想自相关四进制序列,但是文献 15中序列的第 0 位和第 p 位元素值分别固定为 1 和1。因此,本文结合广义四阶分圆类和中国剩余90燕山大学学报2023定理对偶周期为 2p(奇素数 p=4f+1)的四进制序列进行研究,当序列的第 0 位和第 p 位元素值分别同时为 1 和 i 时,得到了旁瓣值分别为 2,2,6 和 2,2,4,4 的平衡低相关四进制序列,当序列的第 0 位和第 p 位元素值分别同时为1 和i时,得到了旁瓣值同为 2,2i,2i,2+2i,22i的平衡低相关四进制序列,扩大了四进制序列的空间范围。1相关概念符号说明及相关意义:p:表示 p=4f+1=4x2+y2是奇素数,f、x、y 均为正整数。GF(p):表示 p 阶有限域 15。:表示 GF(p)上的本原元。Zp:表示模 p 的整数剩余类环,由于 p 是奇素数,那么,Zp也是一个有限域,又称素域 15。Hh:表示 Zp上的四阶分圆类 15,h=0,1,2,3。(j,l)p:表示 Zp上的四阶分圆数 15,其中,j,l 0,1,2,3。H4=0,Zp中的 0 单独作为一个类。Z2p,0,1:根据中国剩余定理 16 可知,Z2pZ2Zp存在映射关系:f()=(0,1),其中,Z2p,0=mod 2,1=mod p。那么有 Z2p=f1(Z2Zp),f1(0,1),(0,1)Z2Zp。F0,h,F1,h:表示 Z2p上的广义四阶分圆类 15,F0,h=f1(0 Hh),F1,h=f1(1 Hh)。特别地,有 H4=0,F0,4=f1(0 H4)=f1(0,0)=0,F1,4=f1(1 H4)=f1(1,0)=p。“f1”代表集合中的元素进行中国剩余定理运算。Ck:表示 Ck=F0,jkF1,lk 16,k=0,1,2,3,其中jk,lk 0,1,2,3,当 kr 时,jkjr,lklr,即 j0,j1,j2,j3的取值互不相等,l0,l1,l2,l3的取值互不相等。d(Ck,Cr):表示差函数 16 d(Ck,Cr)=|Ck(Cr+)|,其中,r=0,1,2,3,Ck,Cr是 Z2p上的子集,Cr+代表集合 c+cCr,“+”代表和模 2p 运算。s:表示长度为 2p 且具有平衡特性的四进制序列 s=(s0,s1,s2p1)。st=s0t mod 2p 0spt mod 2p pikt mod 2pCk,其中,虚数 i=1,s0=sp 1,i,1,i,并且,C0C1C2C3=Z2p 0,p,|C0|=|C1|=|C2|=|C3|=p12。(j0,j1,j2,j3),(l0,l1,l2,l3):因 Ck=F0,jkF1,lk,k=0,1,2,3,所以为了方便,用 jk、lk的组合形式(j0,j1,j2,j3),(l0,l1,l2,l3)来表示 Ck所对应的四进制序列。引理 1 14 令 Ck=f1(0 Hjk 1 Hlk),Cr=f1(0 Hjr 1 Hlr),其中,Hjk、Hlk、Hjr、Hlr是 Zp的子集,那么d(Ck,Cr)=|HjkHjr|+|HlkHlr|0=0,1=0|Hjk(Hjr+1)|+|Hlk(Hlr+1)|0=0,10|Hjk(Hlr+1)|+|Hlk(Hjr+1)|0=1,10|HjkHlr|+|HlkHjr|0=1,1=0。引理 2 14 令 uHh,h=0,1,2,3。1)|Hj(Hl+u)|=(hl,jl)。2)|Hj u|=1h=j0hj。3)|0(Hj+u)|=1当 h=j 且 p=1(mod 8)或 h(j+2)(mod 4)且 p5(mod 8)0其他。引理 3 16 令 Ck=f1(0 Hjk 1 Hlk),Hjk、Hlk、是 Zp的子集,那么1)|0(Ck+)|=|0(Hjk+1)|0=0|0(Hlk+1)|0=1。2)|Ck(0+)|=|Hjk 1|0=0|Hlk 1|0=1。第 1 期李恒智 等周期为的低相关四进制序列的构造方法913)|p(Ck+)|=|0(Hlk+1)|0=0|0(Hjk+1)|0=1。4)|Ck(p+)|=|Hlk 1|0=0|Hjk 1|0=1。2四进制序列的构造21低相关四进制序列的构造定理 1令 p=4f+1=4x2+y2,s0=sp 1,i,1,i。当满足表 1、表 2 中所示的参数集合时,则四进制序列 s 的自相关函数值的分布为s()=2p1 次2p 次2(p1)/2 次6(p1)/2 次。表 1当 x=1 且 y 为偶数时参数集合表Tab1Table of parameter sets if x=1 and y is even(j0,j1,j2,j3),(l0,l1,l2,l3)(0,1,2,3),(0,3,2,1)(1,0,3,2),(1,2,3,0)(2,1,0,3),(2,3,0,1)(3,0,1,2),(3,2,1,0)表 2当 x=1 且 y 为奇数或 y=1 且 x 为奇数时参数集合表Tab2Table of parameter sets if x=1 andy is odd or y=1 and x is odd(j0,j1,j2,j3),(l0,l1,l2,l3)(0,1,3,2),(0,2,3,1)(1,2,0,3),(1,3,0,2)(2,0,1,3),(2,3,1,0)(3,0,2,1),(3,2,1,0)证明由文献 15 和式(1)可知序列的自相关函数值的实部 e s()和虚部 Im s()为e s()=d(C0 0 p,C0 0 p)+d(C1,C1)+d(C2,C2)+d(C3,C3)d(C0 0 p,C2)d(C2,C0 0 p)d(C1,C3)d(C3,C1)=|C0(C0+)|+|C1(C1+)|+|C2(C2+)|+|C3(C3+)|C0(C2+)|C1(C3+)|C2(C0+)|C3(C1+)|+(),(2)Im s()=d(C1,C0 0 p)+d(C3,C2)+d(C2,C1)+d(C0 0 p,C3)d(C1,C2)d(C2,C3)d(C3,C0 0 p)d(C0 0 p,C1)=|C1(C0+)|+|C3(C2+)|+|C2(C1+)|+|C0(C3+)|C1(C2+)|C2(C3+)|C3(C0+)|C0(C1+)|+I()。(3)当 s0=sp=1,x=1,y 为偶数时,首先考虑以(j0,j1,j2,j3),(l0,l1,l2,l3)=(0,1,2,3),(0,3,2,1)为例。显然,当=0 时,s()=N=2p。对于 0,1Hh,h=0,1,2,3 时,有如下三种情况:1)令 0=0,0。由式(2)、(3)和引理 13,可得 Im s()=I()=0,e s()=23k=0(|Hk(Hk+1)|)(|Hk(Hk+2+1)|)+()=23k=0(h k,0)(h k,2)+(),(4)()=4h=04h=20h=1,3。(5)根据文献 15 中表 3-1、表 3-2 可知,f 为偶数时,四阶分圆数中的 5 个基本分圆数为(0,0)p=(p116x)/16(0,1)p=(p3+2x+8y)/16(0,2)p=(p3+2x)/16(0,3)p=(p3+2x8y)/16(1,2)p=(p+12x)/16,(6)由式(4)、(5)和(6)计算可得当 h=0 时,e s()=2(0,0)p+2(0,1)p+2(0,3)p2(0,2)p4(1,2)p+4=2。当 h=1,3 时,e s()=2(0,0)p+2(0,1)p+2(0,3)p2(0,2)p4(1,2)p=2。当 h=2 时,e s()=2(0,0)p+2(0,1)p+2(92燕山大学学报20230,3)p2(0,2)p4(1,2)p4=6。所以,当 0=1,10 时,s()=2h=02h=1,36h=2。2)令 0=1,10。由式(2)、(3)和引理13,可得 Im s()=I()=0,e s()=2k=0,2(h k,0)(h k,2)+2k=1,3(h k,2)(h k,0)+(),(7)()=4h=04h=20h=1,3,(8)x=1 时,由式(7)、(8)计算可得当 h=0 时,e s()=2(0