高等代数里线性空间理论在一元多项式中的若干应用_赵静.pdf

收稿日期2 0 2 1-0 7-1 7;修改日期2 0 2 2-0 9-0 2 基金项目国家自然科学基金资助项目(1 2 1 7 1 1 4 2)作者简介赵静(1 9 9 3-),女,博士在读,数学专业.E-m a i l:j z h a o 01 6 3.c o m第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2高等代数里线性空间理论在一元多项式中的若干应用赵 静1,刘合国2(1.湖北大学 数学与统计学学院,武汉4 3 0 0 6 2;2.海南大学 理学院,海口5 7 0 2 2 8)摘 要线性空间、基底、维数、同构都是高等代数里的核心概念,本文运用这些知识来自然地处理一元多项式里一些看似棘手的问题,借以说明运用基本概念和结构定理进行推理的巨大功效.关键词线性空间;基底;维数;多项式 中图分类号O 1 5 1 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 0 9 0-0 61 引 言从其起源和本质等方面说,高等代数是关于线性空间及其线性变换的理论.不少长期从事高等代数教学的老师们提到,他们在进行硕士研究生面试时,常常要求考生准确复述线性空间(向量空间)的定义,但是结果并不理想.这个现象是值得从事高等代数教学的老师深思的!像线性空间这样抽象的代数概念,代表抽象思维的普适性真理,乃无数人的心血才智结晶而来.线性空间的概念朴实无华,初学之下,它显得十分笨拙,让初学者茫然无序.然而,深思熟虑之后,当能觉悟线性空间这个概念确实透过复杂的现象抓住了本质,由繁入简,走出了一条康庄大道.古人面对人世间的种种现象,感叹“大智若愚,大巧若拙”.高等代数,乃至代数学里的不少经典概念应该属于这个范畴吧.本文拟运用线性空间理论的一些基础知识处理一元多项式中的几个问题,其中某些解题思路在经过适当修饰之后可应用于多元多项式.为突出主线,本文仅考虑一元多项式的情况.在本文里,n表示一个正整数,F表示一个域.Fx 表示F上一元多项式构成的集合,它是F上的一个无限维线性空间,同时它也是一个欧几里得整环,也就是说,Fx是F上的一个无限维代数.Fnx表示F上次数小于n的一元多项式构成的集合,Fnx是F上的一个n维线性空间.本文采用的术语是标准的,按照文献1.2 线性空间观念的应用对于域F上的线性空间V,V的维数是不变量,也就是说,F上的两个线性空间同构当且仅当它们的维数相等,于是V的维数就抽象地确定了其代数结构.虽说V的任意两组基底都是等价的,但V的不同基底能够帮助我们从不同的侧面来理解V的具体特征,选择合适的基底对解决问题是大有益处的.2.1 借用维数处理整除性问题熟知,对于Fx中任意两个多项式f(x)与g(x),当g(x)0时,一定存在Fx中的多项式q(x),r(x),使f(x)=q(x)g(x)+r(x),其中(r(x)0.取n+1个互异的素数2,3,5,p,并记f1(x)=x2,f2(x)=x3,f3(x)=x5,fn+1(x)=xp.令f1(x)=q1(x)f(x)+r1(x),f2(x)=q2(x)f(x)+r2(x),f3(x)=q3(x)f(x)+r3(x),fn+1(x)=qn+1(x)f(x)+rn+1(x),(1)其中ri(x)的次数小于n,这里i=1,2,n+1.因为r1(x),r2(x),r3(x),rn+1(x)均属于Fn(x),所以它们在F上线性相关,即存在n+1个不全为零的元素a2,a3,a5,ap,使得a2r1(x)+a3r2(x)+a5r3(x)+aprn+1(x)=0,将(1)式代入计算可得 f(x)a2q1(x)+a3q2(x)+a5q3(x)+apqn+1(x)=a2f1(x)+a3f2(x)+a5f3(x)+apfn+1(x)=a2x2+a3x3+a5x5+apxp.例2 设f(x)是Fx的一个n次多项式.证明存在F的不全为零的元素a0,a1,an,使f(x)|a0 x20+a1x21+anx2n.证 对每个0in,记x2i=qi(x)f(x)+ri(x),(2)其中ri(x)的次数小于n.这些ri(x)在F上线性相关,即存在不全为零的元素a0,a1,an,使a0r0(x)+a1r1(x)+anrn(x)=0.将(2)式代入计算可得a0 x20+a1x21+anx2n=f(x)(a0q0(x)+a1q1(x)+anqn(x).例3 设f(x)是Fx的一个非零多项式.证明(i)存在Fx的非零多项式k(x)和u(x),使得f(x)k(x)=u(x2);(i i)存在Fx的非零多项式l(x)和v(x),使得f(x)l(x)=v(x3);(i i i)存在Fx的非零多项式m(x)和w(x),使得f(x)m(x)=w(xn);(i v)对于Fx的任意非常数多项式(x),在Fx中存在非零多项式g(x)和h(x)使f(x)g(x)=h(x).证 显然只需证明(i v)即可.设f(x)的次数等于n,对每个0in,记i(x)=qi(x)f(x)+ri(x),(3)其中ri(x)的次数小于n.这些ri(x)在F上线性相关,即存在不全为零的元素a0,a1,an,使a0r0(x)+a1r1(x)+anrn(x)=0.将(3)式代入计算可得a00(x)+a11(x)+ann(x)=f(x)(a0q0(x)+a1q1(x)+anqn(x).从表面上看,上述3个问题的解法清晰自然,仅仅涉及到一元多项式的带余除法,以及n维线性空间V的基本事实:V的任意n+1个向量线性相关,维数在解题过程中起了决定性作用.不过,只有在充分理解线性空间理论后,才能找到这个解法.如果把思想局限在多项式理论范围内,即使找到解决这几19第6期 赵静,等:高等代数里线性空间理论在一元多项式中的若干应用个问题的方法,其步骤也不会像本文这样一目了然.2.2 线性空间对L a g r a n g e插值公式的应用插值法是中国古代数理天文学中的重大成就.它是一个基本的数学技术,在理论和应用等方面都具有重要的意义.例如,在处理高等代数的不少问题中,L a g r a n g e插值公式起了重要的作用.如果从向量空间的角度来看,这个结论是能够自然地呈现出来的.L a g r a n g e插值公式 设a1,a2,an是F的n个两两互异的元素,对F的任意n个元素b1,b2,bn,存在唯一一个次数小于n的多项式L(x),使得L(ai)=bi,1in.进一步地L(x)=ni=1bi(x-a1)(x-ai-1)(x-ai+1)(x-an)(ai-a1)(ai-ai-1)(ai-ai+1)(ai-an).下面从线性空间的角度用三种不同的方法来处理这个问题.方法一 对每个1in,记Li(x)=(x-a1)(x-ai-1)(x-ai+1)(x-an)(ai-a1)(ai-ai-1)(ai-ai+1)(ai-an),这些Li(x)在F上线性无关.事实上,若k1,k2,knF,使得k1L1(x)+k2L2(x)+knLn(x)=0,则令x=ai,即可得kiLi(ai)=ki=0.因此,这些Li(x)组成Fnx的一组基底.对Fx的次数小于n的任意多项式f(x)而言,f(x)可唯一地表示为f(x)=y1L1(x)+y2L2(x)+ynLn(x),在上式中令x=ai可得f(ai)=yi,进而f(x)=f(a1)L1(x)+f(a2)L2(x)+f(an)Ln(x).值得指出的是,L1(x),L2(x),Ln(x)是完全独立于具体的多项式f(x)的.上式表明:只要知道了f(x)在a1,a2,an处的值,就可以由这n个多项式L1(x),L2(x),Ln(x)立即线性地组合出f(x)的准确表达式.从这个意义上说,L1(x),L2(x),Ln(x)确实是Fnx的一组非常理想的基底.现在L1(x),L2(x),Ln(x)是Fnx的基底,且L(x)=b1L1(x)+b2L2(x)+bnLn(x)的确满足L(ai)=bi,1in.若存在另一个g(x)Fnx,使得g(ai)=bi,则有g(x)=g(a1)L1(x)+g(a2)L2(x)+g(an)Ln(x)=b1L1(x)+b2L2(x)+bnLn(x)=L(x).至此,完成了结论的证明.同构的观念在处理代数学的各种结构时都是非常有效的.F上的两个线性空间同构当且仅当它们的维数相等,这是一个众所周知的基本结论.在高等代数教学中,很少运用抽象的同构去处理具体的问题,这无疑是教学里的一个薄弱环节,值得警惕.方法二 记Fn=(x1,x2,xn)|xiF.显然Fnx 和Fn都是F上的n维线性空间,下面构造一个从Fnx到Fn的同构,由此导出L a g r a n g e插值公式.对F上两两互异的元素a1,a2,an,建立映射:FnxFn,f(x)(f(a1),f(a2),f(an),容易验证是线性的.任取f(x),g(x)Fnx及kF,有(f(x)+k g(x)=(f(a1)+k g(a1),f(a2)+k g(a2),f(an)+k g(an)=(f(a1),f(a2),f(an)+k(g(a1),g(a2),g(an)=(f(x)+k(g(x).再证是单的.若h(x)K e r(),即(h(x)=(h(a1),h(a2),h(an)=0,此时h(a1)=h(a2)=h(an)=0,a1,a2,an都是h(x)的根,注意到h(x)Fnx,必须h(x)=0,由此得到是Fnx到Fn的一个同构.现在,对F的任意n个元素b1,b2,bn而言,因(b1,b2,bn)Fn,则在Fnx中存在L(x)使29大 学 数 学 第3 8卷(L(x)=(b1,b2,bn).即(L(a1),L(a2),L(an)=(b1,b2,bn).这意味着L(ai)=bi,1in.最后,需要求出L(x).注意到(b1,b2,bn)=b1e1+b2e2+bnen,其中e1,e2,en是Fn的标准基底.设(Li(x)=ei,即(Li(a1),Li(a2),Li(ai),Li(an)=ei,经过直接验算,可得Li(x)=(x-a1)(x-ai-1)(x-ai+1)(x-an)(ai-a1)(ai-ai-1)(ai-ai+1)(ai-an),从而L(x)=b1L1(x)+b2L2(x)+bnLn(x)为所求多项式.从Fnx的基底入手,可以从另一个角度来解决插值问题.方法三(“差分”解法)经过简单直接的验证,可知1,(x-a1),(x-a1)(x-a2),(x-a1)(x-a2)(x-an-1)是Fnx的一组基底,Fnx的任意元素f(x)可唯一地表示为f(x)=y01+y1(x-a1)+y2(x-a1)(x-a2)+yn-1(x-a1)(x-a2)(x-an-1).运用条件f(ai)=bi,分别以x=a1,a2,an-1,an代入上式.即可解出y0=f(a1)=b1,y1=f(a2)-y0a2-a1=b2-b1a2-a1,y2=f(a3)-y0-y1(a3-a1)(a3-a1)(a3-a2)=1a3-a2 b3-b1a3-a1-b2-b1a2-a1,其它y3,y4,yn-1都可利用相同的方法逐步解出来.下面用差分的方法来重新求解1 里的一道习题.例4(i)一个次数小于4的多项式f(x)满足条件:f(2)=3,f(3)=-1,f(4)=0,f(5)=2,求f(x);(i i)求次数尽可能低的多项式f(x),使得f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,f(3)=1 0.解(i)显然1,(x-2),(x-2)(x-3),(x-2)(x-3)(x-4)是F4x 的一组基底,从而F4x的任意元素f(x)可表示为f(x)=y0+y1(x-2)+y2(x-2)(x-3)+y3(x-2)(x-3)(x-4).其中系数y0,y1,y2,y3是被多项式f(x)和基底1,(x-2),(x-2)(x-3),(x-2)(x-3)(x-4)唯一确定的.下面分别将x=2,3,4,5代入上式可得y0