[收稿日期]2021-07-17;[修改日期]2022-09-02[基金项目]国家自然科学基金资助项目(12171142)[作者简介]赵静(1993-),女,博士在读,数学专业.E-mail:jzhao0@163.com第38卷第6期大学数学Vol.38,№.62022年12月COLLEGEMATHEMATICSDec.2022高等代数里线性空间理论在一元多项式中的若干应用赵静1,刘合国2(1.湖北大学数学与统计学学院,武汉430062;2.海南大学理学院,海口570228)[摘要]线性空间、基底、维数、同构都是高等代数里的核心概念,本文运用这些知识来自然地处理一元多项式里一些看似棘手的问题,借以说明运用基本概念和结构定理进行推理的巨大功效.[关键词]线性空间;基底;维数;多项式[中图分类号]O151[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2022)06-0090-061引言从其起源和本质等方面说,高等代数是关于线性空间及其线性变换的理论.不少长期从事高等代数教学的老师们提到,他们在进行硕士研究生面试时,常常要求考生准确复述线性空间(向量空间)的定义,但是结果并不理想.这个现象是值得从事高等代数教学的老师深思的!像线性空间这样抽象的代数概念,代表抽象思维的普适性真理,乃无数人的心血才智结晶而来.线性空间的概念朴实无华,初学之下,它显得十分笨拙,让初学者茫然无序.然而,深思熟虑之后,当能觉悟线性空间这个概念确实透过复杂的现象抓住了本质,由繁入简,走出了一条康庄大道.古人面对人世间的种种现象,感叹“大智若愚,大巧若拙”.高等代数,乃至代数学里的不少经典概念应该属于这个范畴吧.本文拟运用线性空间理论的一些基础知识处理一元多项式中的几个问题,其中某些解题思路在经过适当修饰之后可应用于多元多项式.为突出主线,本文仅考虑一元多项式的情况.在本文里,n表示一个正整数,F表示一个域.F[x]表示F上一元多项式构成的集合,它是F上的一个无限维线性空间,同时它也是一个欧几里得整环,也就是说,F[x]是F上的一个无限维代数.Fn[x]表示F上次数小于n的一元多项式构成的集合,Fn[x]是F上的一个n维线性空间.本文采用的术语是标准的,按照文献[1].2线性空间观念的应用对于域F上的线性空间V,V的维数是不变量,也就是说,F上的两个线性空间同构当且仅当它们的维数相等,于是V的维数就抽象地确定了其代数结构.虽说V的任意两组基底都是等价的,但V的不同基底能够帮助我们从不同的侧面来理解V的具体特征,选择合适的基底对解决问题是大有益处的.2.1借用维数处理整除性问题熟知,对于F[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),当g(x)≠0时,一定存在F[x]中的多项式q(x),r(x),使f(x)=q(x)...
