仿射空间拉普拉斯算子探讨_张捍卫.pdf

第 11 卷 第 1 期 导航定位学报 Vol.11，No.1 2023 年 2 月 Journal of Navigation and Positioning Feb.，2023 引文格式：张捍卫，李晓玲，杨永勤，等.仿射空间拉普拉斯算子探讨J.导航定位学报,2023,11(1):48-52.（ZHANG Hanwei,LI Xiaoling,YANG Yongqin,et al.Discussion of Laplace operator in affine spaceJ.Journal of Navigation and Positioning,2023,11(1):48-52.）DOI:10.16547/ki.10-1096.20230107.仿射空间拉普拉斯算子探讨 张捍卫，李晓玲，杨永勤，张 华 （河南理工大学 测绘与国土信息工程学院，河南 焦作 454003）摘要：为了进一步研究提升惯性导航系统的精度，对拉普拉斯算子进行讨论：拉普拉斯算子是个微分算子，拉普拉斯方程又名调和方程、位势方程，求解拉普拉斯方程是物理学和力学等领域经常遇到的一类重要数学问题；基于曲线坐标系和张量理论，分别给出 n 维仿射空间中的拉普拉斯算子表达式，并证明不同表述的等价性；最后，基于格林定理和变方方法，分别给出 3 维仿射空间拉普拉斯算子的表达式。关键词：拉普拉斯算子；拉普拉斯方程；曲线坐标；格林定理；变分原理 中图分类号：P228 文献标志码：A 文章编号：2095-4999(2023)01-0048-05 Discussion of Laplace operator in affine space ZHANG Hanwei,LI Xiaoling,YANG Yongqin,ZHANG Hua（School of Surveying and Land Information Engineering,Henan Polytechnic University,Jiaozuo,Henan 454003,China）Abstract：In order to further improve the accuracy of inertial navigation system,the Laplace operator was discussed:the Laplace operator is a differential operator,and Laplaces equation,also known as harmonic equation,or potential equation;solving Laplaces equation is an important mathematical problem in physics and mechanics;based on curvilinear coordinate system and tensor theory,the expressions of Laplacian operator in n-dimensional affine space were given respectively,and the equivalence of different expressions was proved;finally,based on Greens theorem and variation method,expressions of Laplacian operator in 3-dimensional affine space were given respectively.Keywords:Laplace operator;Laplaces equation;curvilinear coordinates;Greens theorem;variation principle 0 引言 惯性导航系统的比力方程包含有重力加速度，它是影响惯性系统精度的一个关键因素，不但要知道重力矢量，还须知道垂线偏差1-2。重力匹配辅助惯性导航是解决水下长时间自主导航的有效手段3-4。远程武器发射和制导必须考虑到地球重力场的影响和干扰5。卫星精密定轨需要考虑地球和外界天体引力、潮汐力（固体潮、海潮和大气潮）、大气阻力、太阳光压和地球电磁场等摄动力的影响6-7。理论上，很多摄动力满足拉普拉斯或者泊松方程。皮埃尔-西蒙拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）方程是以位函数的形式描写物理场。其数学表述和解依赖于所研究对象的几何形状和边界条件。早在 1834 年，加布里埃尔拉梅（Gabriel Lam）就基于繁琐的直接变换方法，首次将拉普拉斯方程从直角坐标系变换到曲线坐标系。其后，威廉汤姆森（William Thomson）即开尔文勋爵（Lord Kelvin）、卡尔古斯塔夫雅各布雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）、彼得 古斯塔夫 勒热纳狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）分别基于不同原理对拉普拉斯方程进行了研究。收稿日期：2022-05-11 基金项目：国家自然科学基金项目（42074002，41931075）。第一作者简介：张捍卫（1967），男，辽宁昌图人，博士，二级教授，博士生导师，研究方向为空间大地测量学和天文地球动力学。第 1 期 张捍卫，等.仿射空间拉普拉斯算子探讨 49 文献8首次给出了球坐标系下拉普拉斯方程的表述。特别是，拉普拉斯方程在其他学科，例如电磁学和电动力学9-10、物理大地测量学11、大气物理学12、热力学与统计物理学13、电介质物理学14和广义相对论15等领域，也具有广泛应用，它一直是很多学科研究的问题之一。例如：文献16-17研究了分数阶拉普拉斯方程的解；文献18在重力异常转换过程中，比较了球冠谐分析法和拉普拉斯方程直接解法的效果；文献19-20分别研究了拉普拉斯方程正解的对称性和多重解问题。拉普拉斯算子是 N 维仿射空间中的一个二阶微分算子，记为或2，定义为梯度的散度。拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果2121。在 N 维仿射空间中，本文给出了拉普拉斯算子的表达式，并证明了它与张量表述的等价性；另外，在 3 维空间中，给出了拉普拉斯算子表述的乔治格林（George Green）定理和变分方法证明。1 与拉普拉斯算子有关的微分方程 如果是二阶可微的实函数，则的拉普拉斯算子定义为 ()=2（1）下面举例说明拉普拉斯算子的应用。1.1 泊松方程和拉普拉斯方程 静电学中电势满足西梅翁 德尼 泊松（Simon Denis Poisson）方程9，即 e=-0（2）式中：0为真空中的介电常数；e为电荷体密度。重力学中质体引力位V满足泊松方程1111，即 VG=-4（3）式中：G为万有引力常数；为质量体密度。如果以上 2 式中的密度为零，那么就变为拉普拉斯方程。1.2 波动方程 真空中迅变电磁场满足波动方程1010，即 ctct-=-=EEBB2222221010（4）式中：c为真空中的光速；t为时间；E和B分别为电场强度和磁感应强度。1.3 亥姆霍兹方程 定态电磁波（单色波）满足赫尔曼冯亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）方程1010，即 220kk=+BEBE0（5）式中k为圆波数。1.4 扩散方程 在研究气体扩散、液体渗透、热传导和半导体材料中杂质扩散等问题时，需要用到扩散定律和质量或能量守恒定律。其中扩散方程是12-1412-14，即 cct-=0（6）式中：c为物质浓度；为扩散系数。2 黎曼（Riemann）空间 仿射空间是点和向量的集合。在 n 维仿射空间加上一个特殊的点 O，就构成了n维线性空间或者向量空间。在此基础上，如果定义了点与点之间的距离，就称为度量空间；或者确定了向量的内积，就构成了欧几里德空间。格奥尔格弗雷德里希伯恩哈德黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）空间是通过引入二次型2222来定义空间相邻 2 点（坐标差为diu）之间的距离ds，规定ds与坐标选择无关。即 (d)d dd dnnijijijijijsgu ugu u=211（7）式中ijg是二阶对称的协变张量，也称度规张量。需要注意，式（7）中第 2 个等号略去了求和号，隐含着“如果上下指标相同就表示从 1 到n求和”的含义，全文同。2.1 协变基向量与协变度规张量 在n维线性向量空间中，任意点的“位置”向量可表示为 njjjx=1re（8）式中jx和je分别为向量r的坐标和坐标基。为便于曲线坐标系的表述，这里要求：ii=e e1，ij i=ee0；dje0。引进一组独立的曲线坐标iu（逆变坐标分量）来表示jx，即 (,)nnjjxx u uuu-=121（9）式（9）中函数是单值的、连续的和可微的；50 导航定位学报 2023 年 2 月 反函数存在且是唯一的。定义 jju=ra（10）为协变基向量。进而定义协变度规张量为 ijijg=aa（11）显然由式（11）构成的 2 阶n维矩阵()ijg=G是正定对称的。2.2 逆变基向量与逆变度规张量 由于矩阵G正定对称，其逆存在 ()()()ijijijg-=GHa aaa11（12）由矩阵G构成的行列式 g=G0（13）通过式（12），再定义一组新的向量，称为逆变基向量，即 niijijjjjgg=aaa1（14）注意上式中的上下指标相同表示求和。进而定义逆变度规张量为 ijijg=aa（15）显然，矩阵()ijg=H也是正定对称的。2.3 向量微分与任意向量的表述 由以上公式可得 ddddnjjjjjjjxuu=reaa1；ddjiijugu=。其中，新变量iu称为协变坐标分量。同时，也有(d)dd(d)d dd dnijijjijijjsxgu ugu u=rr221。注意上下指标相同表示求和。任意物理量可表示为 iiiiff=Faa（16）式中if和if分别称为物理量的逆变和协变坐标分量。2.4 黎曼空间中的微分运算 在黎曼空间中，标量函数的梯度为22-2322-23，即 iijjiiguu=aa（17）任意向量场式（16）的散度22-23为 ()iifgug=F1（18）根据式（17）、式（18）可得 ijijgguug=1（19）以上是基于曲线坐标系理论得到的结果。基于张量分析理论（广义相对论）15可以给出 :ijijki jijijkggu uu=-2（20）式中:i为相对iu的协变导数。其中 jlijkklilijjilgggguuu=+-12（21）称为第二类克里斯托弗符号。3 正交曲线坐标系中的拉普拉斯算子 正交曲线坐标系是指在空间任意点处协变坐标基正交，即 ()jjjjjgh=aa2，ij iij ig=aa0；()()()nghhh=22212（22）式中jh为ja的长度。因此，就有()jjjgh=21，()jjjjjjgh=aaa21，ij iij ig=aa0。注意，这里上下指标相同不代表求和。3.1 正交曲线坐标系表述 基于正交曲线坐标系特征，根据式（19）可得 ()nniiinih hhh hhuhu=1 2211 21（23）当n=3时，式（23）化为 h hh hhhhh huhuuhuuhu=+2 33 11 21122331 2 31231 （24）这就是常用的拉普拉斯算子表达式。3.2 张量表述 基于正交曲线坐标系特征，根据式（20）可知 ()()nnkiiikikihuu=-222111（25）注意，这里为了方便理解，加上了求和号，其中 第 1 期 张捍卫，等.仿射空间拉普拉斯算子探讨 51 nkklililiiiiiillkkikikiiiikgggguuugggguuu=+-=+-1121（26）2 显然有，()iiiiiiiiiiik ikkiiiiiikkkghguhughhguhu=-=-21121（27）2 将式（27）代入式（25），可得()(