2023年chapter常用概率分布（教学课件）.ppt

第五章第五章 常用概率分布常用概率分布 Qualitative data analysis Quantitative data analysis Statistical description Statistical Inference Statistical Inference Statistical description Statistical analysis Statistical description Statistical description Statistical Inference Statistical Inference Parameter Estimation Hypothesis Test Statistical description Statistical description 目的要求目的要求 熟悉二项分布（熟悉二项分布（Binomial Distribution)的特的特点及应用点及应用 熟悉熟悉Poisson分布（分布（Poisson Distribution）的特点及应用的特点及应用 掌握正态分布（掌握正态分布（Normal Distribution）的特）的特点及应用点及应用 常用概率分布常用概率分布 二项分布（二项分布（Binomial Distribution)Poisson分布（分布（Poisson Distribution）正态分布（正态分布（Normal Distribution）第一节第一节 二项分布二项分布（Binomial Distribution)一、二项分布的概念及特征一、二项分布的概念及特征 乘法原则：乘法原则：完成一件事，有n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，第n步有mn种不同的方法，必须通过每一步骤，才算完成这件事，那么完成这件事共有Nm1m2mn 种不同的方法。摸球试验摸球试验独立重复的贝努力实验独立重复的贝努力实验 每次摸球只有两种颜色的球可供选择，因此只有2个可能的结果。每次摸到球后都放回。每次摸到某个颜色的球的概率是固定的。每次摸到某个颜色的球不会影响到下次摸球的结果。二项分布的概念二项分布的概念 总体总体 80 概率概率 0.80.80.8 0.80.80.2 0.20.20.8 0.20.80.2 0.80.20.2 0.20.20.2 0.20.80.8 0.80.20.8 320n.X 20 概率概率=0.80.80.8 0.80.80.2 0.20.20.8 0.20.80.2 0.80.20.2 0.20.20.2 0.20.80.8 0.80.20.8 概率概率P(X)=300320120).(.C211320120).(.C122320120).(.C033320120).(.CX=0 1 2 3 出现出现X次黑球（阳性）的概率次黑球（阳性）的概率P(X)=？概率概率P(X)=512.0)2.01(2.03003C384.0)2.01(2.02113C096.0)2.01(2.01223C008.0)2.01(2.00333CX=0 1 2 3 XnXXnCXP)1()(0 1 2 3 X P(X)二项分布的定义二项分布的定义 总体阳性率 样本含量 在总体率为 的总体中随机抽样，抽取样本含量为n的样本中，有X例为阳性的概率：称X服从二项分布，记为：XnXXnCXP)1()(XB(n,)n二项分布的概率函数二项分布的概率函数 XnXXnCXP)1()(发生阳性结果的人数X服从二项分布，那么发生阳性数为X的概率为：)!(!XnXnCXn这里，！为阶乘符号，如3！=321，0！定义为1。121)n)(n(n!n二项分布的应用条件二项分布的应用条件 观察结果是以二分类变量表示，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死亡等等；如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的概率均为1；各个观察对象的结果是相互独立的。图形特征图形特征 图图1=0.5时时,不同不同n值对应的二项分布值对应的二项分布 二项分布的特征二项分布的特征 二项分布的图形二项分布的图形 n=3,=0.300.10.20.30.40.5012345678910 11 12 13 14 15xP(x)n=6,=0.300.10.20.30.40.5012345678910 11 12 13 14 15xP(x)n=10,=0.300.10.20.30.40.5012345678910 11 12 13 14 15xP(x)n=20,=0.300.10.20.30.40.5012345678910 11 12 13 14 15xP(x)图图2=0.3时时,不同不同n值对应的二项分布值对应的二项分布 二项分布的图形特征二项分布的图形特征 离散型分布 二项分布图的形态取决于与n，高峰在=n处。当接近0.5时，图形是对称的；离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。当n时，只要不太靠近0或1，二项分布近似于正态分布。参数特征参数特征均数和方差均数和方差 如果每一次试验出现阳性结果的概率均为，进行n次独立重复试验，出现X次阳性结果，则 X的总体均数为：方差为：标准差为：211XXXnnn二项分布的特征二项分布的特征 二项分布的均数和方差（以率表示时）二项分布的均数和方差（以率表示时）若出现阳性结果的频率为：可以证明 则p的总体均数为：标准差为：方差为：nXp pnp)1(np)1(2)1(,(nNpp是频率p的标准差，又称样本率的标准误,它反映率的抽样误差的大小。实例：已知钩虫感染率为6.7%，如果随机抽查某地150人，记样本钩虫感染率为 ，求 的标准差（抽样误差）。ppp%0.2150)067.01(067.0)1(np 二、二项分布的应用二、二项分布的应用 二项分布的应用二项分布的应用1：概率估计：概率估计 例：如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？感染钩虫的人数感染钩虫的人数X B(150,13%)150人中有人中有10人感染钩虫的概率为人感染钩虫的概率为 0055.087.013.0)!10150(!10!150)10(140101015010150)1(10)1(CCPXnXXn二项分布的应用二项分布的应用2：累计概率计算：累计概率计算 二项分布出现阳性的次数二项分布出现阳性的次数至多为至多为k次次的概率为：的概率为：)(.)1()0()1()!(!)1()()(000kpppXnXnCXPkXPkXXXnkXXXnXnkX二项分布的应用二项分布的应用2：累计概率计算：累计概率计算 出现阳性的次数出现阳性的次数至少为至少为k次次的概率为：的概率为：nkXkXpXPkXP)1(1)()()(.)1()(npkpkp或或例：某地钩虫感染率为例：某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地，随机抽查当地150人，其中人，其中至多有至多有2名感染钩虫的概率有多大？名感染钩虫的概率有多大？20)2()1()0()()2(XpppXPXP78101011.21090.11047.871031.2例：某地钩虫感染率为例：某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地，随机抽查当地150人，其中人，其中至少有至少有2名感染钩虫的概率有多大？名感染钩虫的概率有多大？)1()0(1)()2(1502XppXPXP1090.11047.818101例：某地钩虫感染率为例：某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地，随机抽查当地150人，其中人，其中至少有至少有20名感染钩虫的概率有多大？名感染钩虫的概率有多大？4880.087.013.0)!1150(!1!15087.013.0)!0150(!0!1501)19()1()0(1)(1)()20(1491150019015020pppXPXPXPXX第二节 Poisson分布 Poisson distribution 一、Poisson分布的概念 离散型分布 描述单位时间、单位空间内罕见事件发生次数 医学上人群中出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件等都是罕见的，可能发生这些事件的观察例数n常常很大，但实际上发生类似事件的数目却很小很小。服从服从Poisson分布 每毫升水中大肠杆菌数的分布 放射性物质单位时间内的放射次数 单位体积内粉尘的计数 血细胞或微生物在显微镜下的计数 人群中患病率很低的非传染性疾病的患病数 不服从不服从Poisson分布 某些具有传染性的罕见病的发生率，由于首例出现后便成为传染源，会增加后续病例出现的概率 污染的牛奶中细菌成集落存在 钉螺在繁殖期成窝状散布 如果观察结果不是独立的，这些现象均不能用Poisson分布这个理论模型处理。Poisson分布与二项分布的关系 Poisson分布可以看作是发生的概率（或未发生的概率1）很小，而观察例数n很大时的二项分布。特点：或（1）接近于0或1；各次结果彼此独立的；每次结果只有二种可能的结果；发生某结果的概率是固定的。二、Poisson分布的特征 定义：定义：如果某事件的发生是完全随机的，则单位时间或空间内，事件发生0次、1次的概率为：X=0,1,2 则称该事件的发生服从参数为 的Poisson分布，记为：!)(XeXPX)(PoissonX 为Poisson分布的总体均数 X为观察单位内某稀有事件的发生次数 e为自然对数的底，为常数，约等于2.71828 !)(XeXPXnPoisson分布分布 00.10.20.30.40246810121416182022P(x)x Poisson分布的图形特征 图图3=0.5时时,Poisson分布的图形特征分布的图形特征 Poisson分布分布 Poisson分布的图形特征 =100.10.20.30.40246810121416182022xP(x)=300.10.20.30.40246810121416182022xP(x)=600.10.20.30.40246810121416182022xP(x)=1000.10.20.30.40246810121416182022xP(x)图图4 不同不同时时Poisson分布的图形特征分布的图形特征 Poisson分布的图形特征 离散型分布 Poisson分布图的形态取决于参数 的大小 总体均数愈小分布愈偏，随着 增大，分布趋向对称 当总体均数小于5时，Poisson分布为偏态分布 当总体均数大于5时，Poisson分布为对称分布 Poisson分布分布 Piosson分布的总体均数和总体方差相等 2 Poisson分布分布 Poisson分布的参数特征 Poisson分布的可加性特征 例如：从同一水源独立地取水样5次，进行细菌 培养，每次水样中的菌落数分为 ，均服从Poisson分布，分别记为，Poisson分布分布 54321,XXXXX)(),(),(),(),(5544332211PXPXPXPXPX则合计菌落数)(5432154321PXXXXX 可加性目的：将小的观察单位合并，来增大发生可加性目的：将小的观察单位合并，来增大发生次数次数X，以便用正态近似法作统计推断。以便用正态近似法作统计推断。三、Poisson分布的应用 Poisson分布的应用1：概率估计 例：如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为8，那么该地120名新生儿中有4人患先天性心脏病的概率有多大？方法1：二项分布 方法2：Poisson分布 Poisson分布分布 014.0!496.0!)4(496.0eXeXPX96.0008.0120nPoisson分布的应用2：累计概率计算 如果稀有事件发生次数的总体均数为，那么该稀有事件发生次数至多为k次的概率为：至少为k次的概率为：Poisson分布分布 kXkXXXeXPkXP00!)()()1(1)(kXPkXPPoisson分布的应用2：累计概率计算 例：如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为8，那么该地120名新生儿中至多有4人患先天性心脏病的概率有多大？Poisson分布分布 997.0!