2023年线性代数练习册第四章习题及答案范文.docx

线性代数练习册第四章习题及答案 篇一：线代第四章习题解答 第四章 空间与向量运算 4-1-1、已经明白空间中三个点A,B,C坐标如下：A2,1,1,B3,2,1,C2,2,1 （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形； （2）求点A与B之间的间隔． 解：(1) (1,3,0), (5,0,0), (4,3,0) (2) AB 4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出以下各点的特别位置： A3,4,0; B0,4,3 ； C3,0,0 ；D0,1,0 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上 C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设uab2c,v3bc，试用a、b、c表示3u3v． 解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c 4-1-7. 试用向量证明：假设平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形． 解： 设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已经明白AO＝OC，DO＝OB 由于AB＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 因此ABCD为平行四边形。 4-1-8. 已经明白向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影． 解：. p rju u)4xcos60＝4rrcos(r 。 3 ＝23 2 4-1-9. 已经明白一向量的终点在点B2,1,7，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标 解： 设起点A为（ x,y,z ） p rjx AB(2x0)4 p rjy AB(1 y)4 p rjz AB(7z0)7 解得： x 2y3z00 4-1-12. 求以下向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位向量： （1）a2,1,1 ； （2）b4,2,2 ； （3）c6,3,3 ； （4）d2,1,1 ． 解：（1）a＝（2，－1，1）a 2 2 (1)1 2 2 cos 22 a36 cos 126 cos a6a6 （2）b=(4,-2,2) b 4 2 (2)2 cos 2 2 26 b3 cos 262b666 cos b0,, b6b6b366 （3）c=(6,-3,3) c b 2 (4)3 cos 2 2 236 3 cos 33 6 cos 2 336 2 6 6 2 （4）d=(-2,1,-1)d (2)1(1)6 cos 2 6 3 cos 16 d6 cosd0{,, 66d366 与前三向量单位同的d{ 6,,。 366 4-1-13. 设向量的方向余弦满足以下条件： （1）cos0； （2） cos1 ； （3） coscos0 指出这些向量与直角坐标系的坐标轴或坐标平面的关系． 解： (1)cos0(2)cos1 说明向量与x轴垂直；说明向量与y轴平行； (3)coscos0 量的方向余弦． 解： 说明向量既和x轴垂直又与y轴垂直，即垂直于xoy面。 4-1-14. 设一向量与x轴及y轴的夹角相等，而与z轴的夹角是与x轴夹角的两倍，求这向 设向量的方向余弦为cos.cos.cos。由已经明白2，又cos2cos2cos21 1 2 即cos2cos2cos2212cos2(2cos21)21cos0或cos111 方向余弦为{0，0，1},{,,}。 222 3 ,a3,b4，求以下各值： （1）ab ； （2）bb ； （3）abab； （4）(a2b)(3ab) ；（5）aabb. 解： (1)ababcos34cos 3 (2)bbbbcos44116； 2 2 6； (3) (ab)(a-b)ab9167； (4) (a-2b)(3ab)3a25ab2b227303235；(5)(aa)(bb)916144； 4-2-2.试在点P0,1,1与Q1,1,2的联线上确定一点R，使点A1,0,1与R的联线垂直于 PQ. 解：PQ1,0,1，设R坐标为x,y,z即1,0,1x1,y,z10 PQAR,PQAR 1x,y,z10 R坐标为1,y,1。 4-2-3.已经明白向量ae1e2,be12e22e3求a与b的夹角. 解： a1,1,0cos(ab) b1,2,2 ab111(2)022 ab223 a,b夹角为135。 4-2-4.试用向量证明三角形的余弦定理. 证明：在ABC中，建立向量如图，又cab,c2aba2b22ab. 2 cab2abcosc 222 4-2-5.已经明白向量a1,0,1,b1,2,1，求ab. a1,0,-1 i ab1 j0 b1,2,1`k 12k2i1 12 4-2-6.已经明白向量a2e13e2,b3e22e3，求ab. .解. a2,3,0b0,3,2 ijk ab2306i4j6k 032 ab62(4)26222 、B(1,0,6)、C(4,5,-2)4-2-7.求以A(7,3,4)为顶点的三角形的面积 . 解：由向量积定义，知SABC 11 ABACsinAABAC22 ijk ABAC63214i42j21k 3 SABC 2 6 492 4-2-8.设a、b为互相垂直的单位向量，求以c2a3b,da4b为邻边的平行四边形面积. cdc、d为邻边的平行四边形面积，即 4-2-9.已经明白向量a、b、c满足abc0，求证abbcca. Scd2a3ba4b2aa8ab3ba12bbab11 证：abaacaaacca 4-2-10.已经明白向量a、b、c、d满足abcd,acbd,，求证向量ad与bc平行. adbcabacdbdcabcdacbd0证： 故ab与bc共线。 、B(1,2,1)、C(2,3,0)与D(5,0,6)在同一平面上. 4-2-11.证明点A(2,-1,-2) 证：1,3,30,4,23,1,4 422022 ,,18,6,12 244331ABACAD1,3,318,6,120故A、B、C、D四点共面。 4-2-12.证明向量ae13e22e3,b2e13e24e3与c3e112e26e3是共面的. e1 证：a1,3,2e2 e3e1 b2,3,4e2 e3e1 c3,12,6e2 e3 1 abcb2 3c 故a、b、c共面。 a3312 2e11 4e22 63e3 3312 2406 4-2-13.假设abbcca0，证明向量a、b、c共面. 证：abcbccacbcccac0故a、b、c共面。 4-2-14.设向量a1,0,1,b2,1,0,c0,0,1，计算以下各式： （1）abc ； （2）abac 解：1abc 101 2101001 2abac 、B（1,2,2)与C3,1,4，4-2-15.四面体的三条棱从点O0,0,0连至点A(2,3,1)求四面体 OABC的体积. 解： 篇二：线性代数第四章习题 习题四答案 (A) 1． 求以下矩阵的特征值与特征向量: 31 13 (1) 1 (2) 2 2022(4) 4 1011 1 (6)2 30 21213014 2 2 100 2 2 (3) 2 04(5) 2 1 212201 3 12 5 解 （1）矩阵A的特征多项式为 EA 3 1 1 3 (2)(4)， 因此A的特征值为12,24． 关于12，解对应齐次线性方程组(2EA)XO，可得它的一个根底解系为1(1,1) T ，因此A的属于特征值2的全部特征向量为k11k1(1,1) T (k10为任意常数)． 关于24，解对应齐次线性方程组(4EA)XO，可得它的一个根底解系为2(1,1)T，因此A的属于特征值4的全部特征向量为k22k2(1,1)T (k20为任意常数)． （2）矩阵A的特征多项式为 1222 (1)(1)(3)， EA2 2 12 1 因此A的特征值为11，21，33． 关于11，解对应齐次线性方程组(EA)XO，可得它的一个根底解系为1(1,1,0)k11k1(1,1,0) T T ，因此A的属于特征值-1的全部特征向量为 (k10为任意常数)． 关于21，解对应齐次线性方程组(EA)XO，可得它的一个根底解系为2(1,1,1)k22k2(1,1,1) T ，因此A的属于特征值1的全部特征向量为 T (k20为任意常数)． 关于33，解对应齐次线性方程组(3EA)XO，可得它的一个根底解系为3(0,1,1) k33k3(0,1,1) TT ，因此A的属于特征值3的全部特征向量为 (k30为任意常数)． (3) 矩阵A的特征多项式为 220 2(2)(1)(4)， EA20 12 因此A的特征值为11，24，32． 关于11，解对应齐次线性方程组(EA)XO，可得它的一个根底解系为1(2,1,2)k11k1(2,1,2) T ，因此A的属于特征值1的全部特征向量为 (k10为任意常数)． T 关于24，解对应齐次线性方程组(4EA)XO，可得它的一个根底解系为2(2,2,1)k22k2(2,2,1) TT ，因此A的属于特征值4的全部特征向量为 (k20为任意常数)． 关于32，解对应齐次线性方程组(2EA)XO，可得它的一个根底解系为3(1,2,2) k33k3(1,2,2) T T ，因此A的属于特征值-2的全部特征向量为 (k30为任意常数)． (4)矩阵A的特征多项式为 423 2(1)(3)， 2 EA21 12 因此A的特征值为1,21（二重），32． 关于1,21，解对应齐次线性方程组(EA)XO，可得它的一个根底解系为1(1,2,1)k11k1(1,2,1) T T ，因此A的属于特征值1的全部特征向量为 (k10为任意常数)． 关于32，解对应齐次线性方程组(2EA)XO，可得它的一个根底解系为2(0,0,1)k22k2(0,0,1) T T ，因此A的属于特征值2的全部特征向量为 (k20为任意常数)． (5)矩阵A的特征多项式为 421 1(2)， 2 EA21 31 因此A的特征值为10，2,32（二重）． 关于10，解对应齐次线性方程组(0EA)XO，可得它的一个根底解系为1(1,1,2) T ，因此A的属于特征值0的全部特征向量为 T k11k1(1,1,2) (k10为任意常数)． 关于2,32，解对应齐次线性方程组(2EA)XO，可得它的一个根底解系为2(1,1,0)k22k2(1,1,0) T T ，因此A的属于特征值2的全部特征向量为 (k20为任意常数)． (6)矩阵A的特征多项式为 423 2(1)(3)， 2 EA21 12 因此A的特征值为16，2,32（二重）． 关于16，解对应齐次线性方程组(6EA)XO，可得它的一个根底解系为1(1,2,3)k11k1(1,2,3) T T ，因此A的属于特征值6的全部特征向量为 (k10为任意常数)． 关于2,32，解对应齐次线性方程组(2EA)XO，可得它的一个根底解系为2(1,1,0) T ，3(1,0,1) T T ，因此A的属于特征值2的全部特征向量 T 为k22k33k2(1,1,0)