2023年《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》新人教选修（教学课件）.ppt

新课标人教版课件系列新课标人教版课件系列?高中数学?选修45 2.3?证明不等式的 根本方法-反证法与放缩法?教学目标教学目标 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的两种根本方法反证法和放缩法；了解反证法和放缩法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法和放缩法证明问题；了解反证法和放缩法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.复习复习 不等式证明的常用方法不等式证明的常用方法:比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法 反证法反证法 先假设要证明的命题不成立，以此为出发点先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合条件结合条件,应用公理、定义、定理、性质等，进应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。而间接说明原命题成立的方法。1.x y 02.1 x12.yx yyx例已 知，且试 证：，中 至 少 有 一 个 小 于例题 例例2、a+b+c 0，ab+bc+ca 0，abc 0，求证：求证：a,b,c 0 证：设证：设a 0,bc 0,那么那么b+c a 0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc 0矛盾，矛盾，必有必有a 0 同理可证：同理可证：b 0,c 0 例例3、设、设0 a,b,c 641 又又0 a,b,c 1/4,(1 b)c1/4,(1 c)a1/4,在证明不等式过程中，有时为了证明在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：小，实现证明。例如：要证要证bc,只须寻找只须寻找b1使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb2且且b2a(缩小缩小)这种证明方法这种证明方法,我们称之为我们称之为放缩法。放缩法。放缩法放缩法的依据就是传递性。的依据就是传递性。放缩法放缩法 常用的方法 添加或舍去一些项 将分子或分母放大或缩小 应用“糖水不等式 利用根本不等式 利用函数的单调性 利用函数的有界性 绝对值不等式 利用常用结论 应用贝努利不等式 例例1、若、若a,b,c,d R+，求证：，求证：21caddbdccacbbdbaa证：记证：记m=caddbdccacbbdbaa a,b,c,d R+1cbaddbadccacbabdcbaam 2 cdddccbabbaam同时 1 m 2 即原式成立即原式成立 2.111a bab例 已知a,b是实数，求证:a+bab 法法：bbaababa111证明：在 时，显然成立.0ba当 时，左边 0ba111ba1|11111a bbaa ba ba ba b .11bbaa1abab.11bbaa法：法：0,ab a b 1 111111111|a ba ba ba ba bab|11baa ba b 法：函数的方法法：函数的方法*32.2()nnn 例 求证：1 11（n+1-1）1+2 3n*1 222(1),21k k kNk k k k 1 1112 32 (1 0)(2 1)(3 2)(1)2.nn nn cbacacababa2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例例4、巳知：、巳知：a、b、c ，求证：，求证：R略解略解 小结 在证明不等式过程中，有时为了证明在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：小，实现证明。例如：要证要证bc,只须寻找只须寻找b1使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb2且且b2a(缩小缩小)这种证明方法这种证明方法,我们称之为放缩法。我们称之为放缩法。放缩法的依据就是定理放缩法的依据就是定理2传递性性质传递性性质 课堂练习课堂练习 1、当、当 n 2 时，求证：时，求证：1)1(log)1(lognnnn 证：证：n 2 0)1(log,0)1(lognnnn2222)1(log 2)1(log)1(log)1(log)1(log nnnnnnnnnn 12log22 nn n 2时时,1)1(log)1(lognnnn课堂练习课堂练习 2、假设、假设p0,q0,且且p3+q3=2,求证：求证：p+q2 课堂小结课堂小结 证明不等式的特殊方法证明不等式的特殊方法:1放缩法：对不等式中的有关式子进行放缩法：对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法。适当的放缩实现证明的方法。2反证法：先假设结论的否命题成立，反证法：先假设结论的否命题成立，再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 论成立的方法。论成立的方法。