2023年n维向量及其运算向量组的线性相关性（教学课件）.ppt

一一.n维向量空间维向量空间 分量为复数的向量称为分量为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量，实向量，1.n 维向量维向量 定义：定义：n 个有次序的数个有次序的数 1 2,naaa所组成的有序数组所组成的有序数组 1 2,naa a称为一个称为一个n 维向量。维向量。这这 n 个数称为该向量的个数称为该向量的 n 个分量，第个分量，第 个数个数 称为第称为第 个分量。个分量。iiia以后我们用小写希腊字母以后我们用小写希腊字母 来代表向量。来代表向量。,例如：例如：),3,2,1(n)1(,32,21(inniin n维实向量维实向量 n n维复向量维复向量 第第1 1个分量个分量 第第n n个分量个分量 第第2 2个分量个分量 向量通常写成一行：向量通常写成一行：12,na a a有时也写成一列：有时也写成一列：12naaa 称为称为行向量。行向量。称为称为列向量。列向量。分量全为零的向量分量全为零的向量 称为称为零向量。零向量。0,0,02.向量的运算和性质向量的运算和性质 向量相等：向量相等：如果如果 n 维向量维向量 12,na a a 12,nb b b的对应分量都相等，即的对应分量都相等，即 1,2,iia bin 就称这两个向量相等，记为就称这两个向量相等，记为 向量加法：向量加法：向量向量 11 22,nna b a b a b 称为向量称为向量 12,na a a 12,nb b b的和，记为的和，记为 负向量：负向量：向量向量 1 2,na a a 称为向量称为向量 的负向量的负向量 向量减法：向量减法：()数乘向量：数乘向量：设设k为实数，向量为实数，向量 1 2,nk a k a k a称为向量称为向量 12,na a a与数与数k的数量乘积。记为的数量乘积。记为 k 0)4(0)3()()(2()1(kkklklkkllk )8()7()()()6(1)5(满足运算律：满足运算律：注：注：（1）对任意的向量）对任意的向量,存在唯一的零向量存在唯一的零向量,o使得使得 o （2）对任意的向量）对任意的向量,存在唯一的负向量存在唯一的负向量,使得使得()o （4）如果）如果 0,则则 00或或 0 0;(1);0 0.（3）确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需 要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20(机身的仰角机身的仰角)22(机翼的转角机翼的转角)(所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量),(zyxa 维向量的实际意义维向量的实际意义 n 假设一个本科学生大学阶段共修假设一个本科学生大学阶段共修3636门课程门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？一个向量来表示，这个向量是几维的？思考题思考题 假设干个同维数的列向量或同维数的行向量所组成的集合叫做向量组 例如例如 维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组 Aa1a2ana2ajana1a2ajan一、线性表示一、线性表示 维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个同维的向量所组成的向量组反之，由有限个同维的向量所组成的向量组可以构成一个矩阵可以构成一个矩阵.12 ,mm nn m 个维列向量所组成的向量组构成一个 矩阵矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT,21 TmTTB 21),(21mA312 线性方程组线性方程组 12312312222131xxxxxxxx 向量间的线性运算关系：向量间的线性运算关系：方程方程1加方程加方程2可以消去方程可以消去方程3，1(1,2,1,2)2(2,1,1,1)3(3,1,0,1)说明方程说明方程3多余多余 121 2 :,mmAk kk 给定向量组，如果存在一组数，定义定义 12,.m 或称向线量是量组的性组合向112 21 2 ,mmmkkk 使得则称向量 可以由向量组，的线性表示，任意一个任意一个n维向量维向量a都能由都能由n维单位坐标向量组维单位坐标向量组 e1,e2,en线性表示线性表示.1 2(,),Tnaa a a1(1,0,0),Te2(0,1,0),(0,0,1)TTnee1212100010001nnaaaaaa 定义定义2 2 设两个设两个n n维向量组维向量组 a1,a2,a3,asa1,a2,a3,as (II)b1,b2,b3,bt(II)b1,b2,b3,bt 如果如果(I)(I)组中每一个向量组中每一个向量ai(i=1,2,s)ai(i=1,2,s)都都能由向量组能由向量组(II)(II)线性表示，那么称向量线性表示，那么称向量组组(I)(I)可以由向量组可以由向量组(II)(II)线性表示线性表示.如果两个向量组可以相互线性表示，那么称如果两个向量组可以相互线性表示，那么称这两个向量组等价这两个向量组等价.例如，对于向量组例如，对于向量组 II 1 1=(1,0)2 2=(0,1)(II)(II)1 1=(1,1),2 2=(2,3)易证易证 1 1=3 1-2 2 2=-2 1+2 1.1 1=1+2,2 2=2 1+3 2 由于这两个向量组能相互表示，因此它们等价由于这两个向量组能相互表示，因此它们等价 向量组的等价具有性质：向量组的等价具有性质：自反性自反性 任一向量组与其自身等价任一向量组与其自身等价.对称性对称性 假设向量组假设向量组(I)与与(II)等价，那么向等价，那么向量组量组(II)也与也与(I)等价等价.3.传递性传递性 假设向量组假设向量组(I)与与(II)等价，向等价，向量组量组(II)与与(III)等价，那么向量组等价，那么向量组(I)与与(III)等价等价.1 2,mi 如果中有一个向量（不妨设）能用其余向量线性表示，111,i imkk kk则存在一组数满足 1 11 1 1 1 ii i i immk k k k 1 11,1,iimk k kk即存在不全为0的数，111 11 1(1)0iiiiimmkkk k 使得0 ,:22112121mmmmkkkkkkA使使全为零的数全为零的数如果存在不如果存在不给定向量组给定向量组注意注意 1 21112 2 1.,0,0.mmmmkkkkk 若线性无关 则只有当时 才有成立.,2.线性相关线性相关性无关就是性无关就是不是线不是线对于任一向量组对于任一向量组定义定义3 3 则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关 A二、线性相关性二、线性相关性.,0,0,3.线性无关线性无关则说则说若若线性相关线性相关则说则说若若时时向量组只包含一个向量向量组只包含一个向量 .4.组是线性相关的组是线性相关的包含零向量的任何向量包含零向量的任何向量.,.5 量共面量共面向向量相关的几何意义是三量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向是两向量共线；三个向义义量对应成比例，几何意量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分充要条件是两向量的分它线性相关的它线性相关的量组量组对于含有两个向量的向对于含有两个向量的向0k令，0 0,k 当时，则线性无关00,k当时，可以不为则线性相关方法方法 从定义出发从定义出发 000,0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令整理得线性方程组整理得线性方程组 三、线性相关性的判定三、线性相关性的判定)(,0,0,0221122221121221111 kakakakakakakakakammnnnmmmm.,)(.,)(2121线性相关线性相关则则有非零解有非零解若线性方程组若线性方程组线性无关线性无关则则只有唯一零解只有唯一零解若线性方程组若线性方程组mm 例例 研究以下向量组的线性相关性研究以下向量组的线性相关性.201,520,321321 解解:000201520321,0321332211kkkkkk即即令令 整理得到整理得到)(.0253,022,03212131 kkkkkkk.,)(,0253022101)(321线性相关线性相关从而从而必有非零解必有非零解线性方程组线性方程组的系数行列式的系数行列式线性方程组线性方程组 1 1 12 1 211 2 12 2 2211220,0,0,mmmmnnm n mkkkkkkkkk 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解1 2,m 向量组线性相关1 211 220,0mm mkk kk kk 存在不全为的使得 线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用 1211112111222212(,),(1,2,),0iiiinnnnnnnnnnna aainnaaaaaaaaa 22定理1 设有 个 维向量则向量组线性无关的充分必要条件是由构成的 阶行列式 解解 12 1 000 10 ,=1 00 01nne ee 维单位坐标向量组构成的行列式.故向量组线性无关维向量组维向量组n TnTTeee1,0,0,0,1,0,0,0,121，.,讨论其线性相关性讨论其线性相关性维单位坐标向量组维单位坐标向量组称为称为n例例2 解解，742520111321.321的线性相关性，试讨论向量组已知已知例例3 组成的行列式，由3210751421201.故向量组线性相关.,321133322211321线性无关试证线性无关已知向量组 bbbbbb例4例40 ,332211321bkbkbkkkk使设有,0)()(133322211kkk）（即,0)()()332221131kkkkkk（亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321.0 ,0 ,0 322131kkkkkk证证 02110011101 列式列式由于此方程组的系数行由于此方程组的系数行.,0 321321线性无关向量组，所以故方程组只有零解bbbkkk定理定理2 2 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关 的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向 量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示 m,212mm,211 m证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 2,m m即有即有 1 12 211mm m 故故 1 12 21 110mmm 因因 这这 个数不全为个数不全为0，1,121mm故故 线性相关线性相关.m,21必要性必要性 设设 线性相关，线性相关，m,21则有不全为则有不全为0的数的数 使使 ,21mkkk.02211mmkkk因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设不妨设 则有则有,01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕.,.,:,(1)1121也线性无关也线性无关向量组向量组则则线性无关线性无关量组量组若向若向反言之反言之也线性相关也线性相关向量组向量组则则线性相关线性相关：向量组向量组若若ABBAmmm定理定理3 3 ）设）设（2 ),2,1(,12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj .:1 关关的任何部分组都线性无的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它向量组线性无关，则它反之，若一个反之，若一个线性相关线性相关含有零向量的向量组必含有零向量的向量组必特别地，特别