2023考研数学冲刺课程内部辅导讲义-高等数学（汤家凤）.pdf

23 考研数学冲刺课程-高数2023 考研数学冲刺讲义考研数学冲刺讲义高等数学部分高等数学部分第一部分第一部分 极限与连续极限与连续（一）不定型极限：1、)1ln()(sinlim20 xxxxxxx。2、求30)sin(sin)tan(tanlimxxxx。3、设)(xf二阶可导，2)0(,0)0(ff，求40)()(sinlimxxfxfx。4、求xxxxxln2112ln1lim1。5、设cdtexbxaxxtx1lim054202，求cba,。【解】方法一：由)(214422tottet得)(10355302xoxxxdtext，于是55420542)(101)(1)31(12xxobxbaxbdtexbxaxxt，故10,0,031bcbab解得103,3,3cba。方法二：50300542022lim1limxdtebaxxdtexbxaxxtxxtx42053lim2xbeaxxx，由泰勒公式得)(214422xoxxex，从而)(2)3()(344222xoxbxbbabeaxx，23 考研数学冲刺课程-高数于是cbbba2,03,0解得23,3,3cba。6、设cxebxaxxx1)(lim412，求cba,。（提示：用泰勒公式计算）【解】由)1(2111221xoxxex，)1(211 111222424xoxxxxx得)1(211)1(2111)(1)(222222412xoxxxoxxbxaxxebxaxx（二）无穷小的层次1、设bxaxdttttsin20（0 x），求ba,。【解】方法一：nxnxnxxxxnnxxxxxx220122200sinlim22sinlimlim，显然6n，且1811coslim91sinlim31sinlim31lim2030622060tttttxxxxttxx，故6,181ba。2、设dtttdttxext10tan03sin,)1(，当0 x时是的（）)(A高阶无穷小)(B同阶但非等价无穷小)(C等价无穷小)(D低阶无穷小。【解】由32tan30tan0300sec)tan1(lim)1(limlimexxxdttxxxxtxx得xe3；由11)1sin(limsinlimlim01000 xxxxexxeeexdtttxx得x，从而是的同阶而非等价的无穷小，应选)(B。23 考研数学冲刺课程-高数3、设0t，则当0t时，222)cos(1)(22tyxdxdyyxtf是t的n阶无穷小量，则n为（）)(A2；)(B4；)(C6；)(D8。【解】ttyxdrrrdxdyyxtf0222)cos1(2)cos(1)(222，由66)cos1(2lim)(lim52060tttttftt得66)(ttf，应选)(C。（三）定积分定义求极限：1、nnnnnn1222222)1()21)(11(lim。2、求ninnini142sinlim。3、)1cos1212cos11cos1(limnnnnnnnnn。【解】令nnnnnnnnbn1cos1212cos11cos1，ninnininbnin11cos11cos111，由1011cos1cos11limcos111limdxxninninninnin得原式0010)2(2cos22cos11cos1xdxdxxdxx22。（四）变积分限的函数的极限1、设)(xf连续，则_)cos()(lim2220220ryxrrdyxdttrtf。23 考研数学冲刺课程-高数【解】20022)(21)(rrdttfdttrtf，)cos()cos(2222rdyxryx，其中),(为222ryx上的点，原式2)0()(lim21)(lim)cos(lim212020002frfrdttfrrrr。2、设)(xf连续且1)(lim0 xxfx，且20)()(limadtatfatfaaa，求a。3、设)(xf连续，3)0(,0)0(ff，且222:tyxD，求20220sin)(limtDtduuutdxdyyxtf。【解】)()(2)(2)(00022tttDduuufduuftdrrtrfdxdyyxtf，由tftftduuftdxdyyxtftttDt)0()(lim3)(lim32)(lim02003220得322)(tdxdyyxtfD，于是2200200220sin1limsinlimsin)(lim22ttduuutduuutdxdyyxtfttttDt。（五）中值定理的极限问题1、设)1ln()(xxf，对0 x时，xxffxf)()0()(，则_lim0 x。2、求)111arctan()11arctan(lim2nnnn。（六）左右极限1、求2121|sinlim210 xxxxxx。【解】12121|sinlim)00(210 xxxxxxf，23 考研数学冲刺课程-高数22121|sinlim)00(210 xxxxxxf，因为)00()00(ff，所以2121|sinlim210 xxxxxx不存在。（七）连续与间断主要考点1、设2121|ln)(xexxxf，求)(xf的间断点并分类。2、下列设txtxteexxf1lim)(，则0 x是)(xf的（）)(A连续点；)(B第一类间断点；)(C第二类间断点；)(D不能判断连续性的点。第二部分第二部分 微分学微分学一、导数与微分部分主要考点：（一）导数与微分的基本概念1、设331|)(xxxxf，求)(xf的不可导点。3、设0,0,)()(20 xaxxdtttfxFx，其中)(xf连续且1)0(f。（1）确定a，使得)(xF在0 x处连续；（2）求)(xF，并讨论)(xF的连续性。（二）求导类型情形一：隐函数求导1、设xydteyxyxxt22)(确定函数)(xyy，求dxdy。2、设)(xyy 由dttxyx124sin2确定，求)0(y。3、设xxyxey1)(，则022|xdxyd。情形二：参数方程确定的函数的导数1、设).1ln(,arctan2tytx，求22dxyd。2、设)(xyy 由010)1(ytettxy确定，求022|tdxyd。23 考研数学冲刺课程-高数情形四：变积分限函数的导数1、_)sin(0222dtxttdxdx。【解】duuxtdxtdtxttxxx2022202220222sin21)()sin(21)sin(，40222sin)sin(xxdtxttdxdx。情形五：高阶导数1、设xxy3sin2，求)0()8(y。2、设227)(2xxxxf，求)()(xfn。3、21arctan)(xxxf，求)0()5(f。二、一元函数微分学应用部分主要考点（一）中值定理1、设 1,0)(Cxf，0)(10dxxf，证明：存在)1,0(，使得。0)(2)(dttff。2、设 1,0)(Cxf，在)1,0(内二阶可导，1)1(,1)(lim0fxxfx，证明：存在)1,0(，使得2)(2)(ff。3、设)(xf在ax 的邻域内二阶连续可导且0)(af，且hhafafhaf)()()(（10），求0limh。【证明】由泰勒公式得)(!2)()()()(22hohafhafafhaf，由)(!2)()()()()(22hohafhafafhhafaf 得)(2)()()(hohafafhaf，或hhoafhafhaf)(2)()()(，整理得hhoafhafhaf)(2)()()(，两边取极限得2)()(lim0afafh ，由0)(af得21lim0h。4、设,)(baCxf，在),(ba内可导，且)(21)(,)(22abdxxfaafba，证明：存在),(ba，使得21)(2)(ff。5、设)(xf在,ba上二阶可导，)()(bfaf，且Mxf|)(|，证明：对任意的),(bac，23 考研数学冲刺课程-高数有)(2|)(|abMcf。6、设)(xf在 1,0上二阶可导，0)1()0(ff，2)(max10 xfx，证明：存在)1,0(，使得16)(f。（二）单调性与极值1、设1|a，11|)(dxeaxaIx，求)(aI的最大值。【解】11)()()(axaxdxeaxdxexaaI1122)(eeeeaa，因为02)(aeaI，所以)(aI只能在1a时取最大值，又113)1(,)1(eeIeeI，故)(aI在 1,1上的最大值为1)1(eeI。2、设)(xf在),(内连续，当0 x时)(xf二阶可导，又)(xfy的图像如图所示，问)(xfy 有几个极大点和极小点、有几个拐点？3、证明：当0 x且1x时，1ln1xxx。4、设)(xf在 1,0上可导，)10(1)(0,0)0(xxff，证明：103210)()(dxxfdxxf。5、设方程kxx1)1ln(1在),0(内有解，讨论k的取值范围。（三）渐近线1、求曲线)0)(1ln(xxexy的斜渐近线。2、求曲线xexxy1211的渐近线。三、多元函数微分学的主要考点1、讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在点)0,0(处的连续性、可偏导性、可微性。2、设),(yxf连续且)2()1(32),(22yxoyxyxf，则23 考研数学冲刺课程-高数_)2,1(_,)2,1(_,)2,1(yxfff。3、设),(32tetfz，其中f二阶连续可偏导，求22dtzd。4、设)(),(1xyygxyyxfxz，gf,二阶连续可偏导及二阶连续可导，求yxz2。5、设),(yxfz 在)1,1(处 可 微，且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(yxfff，又),(,()(xxfxfxg，求13|)(xxgdxd。6、设y是由0),(zyxG确定的zx,的函数，又),(zyxFz，其中GF,一阶连续可偏导，求dxdz。7、设yxvxyu,，以vu,为自变量化简微分方程0222222yzyxzx。【解】vzyuzyxvvzxuuzxz1，)(1)(22222222xvvzxuuvzyxvvuzxuuzyxz222222212vzyvuzuzyvzyxuzxyvvzyuuzyz2，)(2)(2222322222yvvzyuuvzyxvzyxyvvuzyuuzxyz)(2)(2222232222vzyxuvzxyxvzyxvuzyxuzxxvzyxvzyxvuzyxuzx3224222222222，则0222222yzyxzx化为0)22()12(32242222222222222222vzyxvzyxvuzyxuzxyvzyvuzuzyx，即0122vzyvuzx。8、设)(22yxfu，其中)(uf二阶连续可导，又),(yxu满足方程23 考研数学冲刺课程-高数2222221yxuxuxyuxu，且1)(lim0 xxfx，求),(yxu。【解】令22yxr，则rxrfxu)(，322222)()(ryrfrxrfxu，由对称性得ryrfyu)(，322222)()(rxrfryrfyu，代入原方程整理得2)()(rrfrf，解得2sincos)(221rrCrCrf，由1)(lim0 xxfx得1)0(,0)0(ff，代入得1,221CC，故2sincos2),(222222yxyxyxyxu。9、设),(yxfz 满足：yxyxz2，2),0(,sin2)0,(yyfxxfx，求),(yxf。【解】由yxyxz2得)(212xyxyxz，由xxfxsin2)0,(得xxsin2)(，即xyxyxzsin2212，从而)(cos2212122yxxyyxz，再由2),0(yyf得2)(2 yy，故2cos22121222yxxyyxz。10、设有一段长为a的铁丝，将其分为两段，分别做成正方形和圆，怎样划分使得两图形面积之和最大。11、求函数22),(yxxyxf在闭区域12:22 yxD上的最大值与最小值。【解】当1222 yx时，由02021yfxfyx得)0,21(),(yx。当1222 yx时，令)12(2222yxyxxF，由012022042122yxFyyFxxFyx得)0,21(),21,21(),(yx，23 考研数学冲刺课程-高数因为2121)0,21(,2121)0,21(,45)21,21(,41)0,21(ffff，所以22),(yxxyxf在闭区域12:22 yxD上的最大值与最小值分别为45,41。12、设),(yxzz 由0182106222zyzyxyx确定，求),(yxzz 的极值。【解】0182106222zyzyxyx两边分别对x及y求导得022210602262yzzyzyzyxxzzxzyyx，令0,0yzxz得yzyx,3，代入原方程得339,339222111zyxzyx。继续对上式求偏导得02)(22222002222602)(222222222222222yzzyzyzyyzxzyxzzyzxzyxzyxzxzzxzxzy。当3911yx时，35,21,61CBA，因为02 BAC且0A，所以当3911yx时，函数),(yxzz 取极小值3z；当3922yx时，35,21,61CBA，因为02 BAC且0A，所以当3922yx时，函数),(yxzz 取极大值3z。13、设),(yxf二 阶 连 续 可 偏 导，)(),(22yxgyxf且02yxf，又0)0(,21)0,1(gf，求函数),(yxf在区域yyxD2:22上的最小值和最大值。【解】令22yxr，23 考研数学冲刺课程-高数)(rgrxxf，)()()1(22rgryrxrgryrxyxf，由02yxf得0)(1)(rgrrg，解得rCeCrgdrr111)(，从而2212)(CrCrg，由21)1()0,1(gf及0)0(g得0,121CC，故)(21)(),(22yxrgyxf。第三部分第三部分积分学积分学一、不定积分1、dxxxx213。2、dxexexx 2。3、221xxdx。4、设)(xf在R上可微且0)0(f，又1,10,1)(lnxxxxf，求dxxf)(。【解】令xuln，则0,0,1)(2ueuufu，于是0,20,)(221uCeuCuufu或0,20,)(221xCexCxxfx，因为0)0(f，所以0,220,)(2xexxxfx。当0 x时，1221)(Cxdxxf；当0 x时，2224)(Cxedxxfx，因为)(xf连续，由214CC，得412 CC，故0,4240,21)(22xCxexCxdxxfx。二、定积分的主要考点23 考研数学冲刺课程-高数（一）定积分的概念与性质1、判断xadttftft)()(的奇偶性。2、设1,0,0|),(yxyxyxD，判断DdxdyyxI31)(，DdxdyyxI22)(，DdxdyyxI)1(ln33的大小。（二）定积分的计算1、计算dxxx20244。【解】2024204sin22024cossin64cos2cos2sin164tdtttdtttdxxxtx2)(64)sin1(sin64642024IIdttt。2、设)(xf为非负连续函数，且)10()1(arcsin)()(0 xxxxdttfxfx，则_)(xf。【解】令xdttfxF0)()(，则)1(arcsin)()(0 xxxdttfxfx即为)1(arcsin)()(xxxxFxf，两边积分得CxxF22arcsin)(21。因为0)0(F，所以0C，于是xxFarcsin2)(，求导得)1(21)(xxxf。3、设)(xf为连续函数，且1)()(xfxf，计算dxxfx224)(1sin。4、计算202sindtt。5、设xdxxfxxxfsin)(cos1)(2，求0)(dxxf。【解】令xdxxfAsin)(，则Axxxf2cos1)(，xAxxxxxfsincos1sinsin)(2，两边积分得022cos1sin2cos1sinsin)(dxxxxdxxxxxdxxfA2|cosarctan2cos1)(cos2cos1sin2222020202xxxddxxx，23 考研数学冲刺课程-高数则2cos1)(22xxxf，两边积分得2cos122cos1)(3023020 xdxdxxxdxxf2tan)2()(tan2sec1sec3202232022xxdxxdx2222|2tanarctan2132320 x。6、设xdttxf02)1arctan()(，计算10)(dxxf。7、设4)(20dxxf，1)2(f，0)2(f，计算 10)2(dxxf x。8、计算12)1(xxdx。9、extxxxdxdtebxaxx2020)(ln)()1ln(lim22，求ba,。10、设xxxedttf0)(，则_)(ln1dxxxf。（三）定积分的证明1、设)(xf在2,0上连续可导，1|)(|,1)2(0(xfff，证明：3)(120dxxf。【解】由微分中值定理得xffxf)()0()(，x0，)2)()2()(xffxf，2x，因为1|)(|xf，所以有xfxfx)0()(，或xxfx1)(1，xfxfx2)2()(2，或xxfx3)(1，于是3)3()1()()()(2110211020dxxdxxdxxfdxxfdxxf，同理1)1()1()()()(2110211020dxxdxxdxxfdxxfdxxf。2、设 1,0)(Cxf，0)0(f，证明：存在 1,0，使得10)(2)(dxxff。23 考研数学冲刺课程-高数【证明】由拉格朗日中值定理得xffxfxf)()0()()(（x0），两边积分得1010)()(xdxfdxxf。因为 1,0)(Cxf，所以)(xf 在 1,0上有最小值m和最大值M，从而2)(210Mxdxfm，即2)(210Mdxxfm，或Mdxxfm10)(2，由介值定理，存在 1,0，使得10)(2)(dxxff。3、设 1,1)(Cxf，0)0(f，证明：存在 1,1，使得 11)(3)(dxxff。【证明】由泰勒中值定理，2!2)()0()(xfxfxf，其中介于0与x之间，两边积分得 11211!2)()(dxxfdxxf。因为 1,1)(Cxf，所以)(xf 在 1,1上存在最小值m和最大值M，从而3!2)(3112Mdxxfm，或3)(311Mdxxfm，或Mdxxfm11)(3，由介值定理，存在 1,1，使得 11)(3)(dxxff。（四）定积分的实际应用1、过原点作曲线xyln切线，该切线与曲线xyln及x轴围成的平面区域为D。（1）求区域D的面积；（2）求区域D绕直线ex 旋转一周所得的旋转体的体积。2、设抛物线2xy 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点)0)(,(2aaaA。（I）求)(aSS 的表达式；（II）当a取何值时，面积)(aS最小？【解】（I）设另一个切点为),(200 xx，则抛物线2xy 的两条切线分别为212:aaxyL，20022:xxxyL，23 考研数学冲刺课程-高数因为21LL，所以ax410，两条切线21,LL的交点为0101,2axyxax，21,LL及抛物线2xy 所围成的面积为3222002)41(121)2()2()(110aadxaaxxdxxxxxaSaxxx。（II）令)411()41(41)(22aaaaS，得21a，因为当)21,0(a时，0)(aS；当21a时，0)(aS，所以当21a时，面积)(aS取最小值。3、过抛物 线2xy 上一点),(2aa作切线，问a取何值 时，所作切线 与抛物线142axy所围成的图形面积最小？【解】抛物线2xy 在点),(2aa的切线方程为22aaxy。由22214aaxyxxy得01)2(222axax，设其解为)(,2121xxxx，则221211),2(2axxaxx，进一步得3422212aaxx，设所围成的面积为S，则23222)342(34)214(21aadxxaxxxSxx，由0)44()342(2)(212aaaaS得1a，因为当1a时，0)(aS，当1a时，0)(aS，所以1a为)(aS的最小点，当1a时，切线与抛物线围成的面积最小。4、一个容器的内表面侧面由曲线)20(22xyx绕轴旋转而成，外表面由曲线22yx在点)2,2(的切线位于点)2,2(与x轴焦点之间的部分绕x轴旋转而成，此容器材质的密度为。求此容器自身的质量M及其内表面的面积S。【解】2)2(212ydxdyyy，切线方程为)2(22xy，与x轴的交点坐标为)0,1(。切线旋转后的旋转体体积为32，曲线转转后的旋转体的体积为)12(34222dxy。23 考研数学冲刺课程-高数此容器的质量为)23(43)12(3432M。容器内表面积为)2312ln2262()2(12222222dxxxxS。5、xoy平面上的抛物线2xy 绕y轴旋转而成开口向上的容器，以scm/103的速度向其中注水，问当水面高为cm5时，水面上升的速度。【例 6】xAysin（20 x）分别绕x轴和y轴旋转而成的体积相等，求常数A。三、重积分的主要考点（一）小知识点1、二重积分定义求极限设10,10|),(yxyxD，则Dminjnmdxdyyxfnjmifmn),(),(1lim11。2、二重积分中值定理设D为有界闭区域，),(yxf在D上连续，则存在D),(，使得AfdxdyyxfD),(),(。（二）改变积分次序或将二重积分改为累次积分情形一：改变积分次序情形二：积分次序不对或积分法不对使得二重积分无法计算情形三：变积分限函数求导1、改变积分次序：_),(1201ydxyxfdy。2、改变积分次序并计算242212sin2sinxxxdyyxdxdyyxdx。【解】交换积分次序得dxyxdydyyxdxdyyxdxyyxxx22sin2sin2sin21242212321321cos8)2(2cos282cos2tdttydyydyyy3223232384sin8|sin8)(sin8tdtttttd。23 考研数学冲刺课程-高数3、设)(xf连续，且tytdxxfxdytF)()(21，求)2(F。【解】txttytdxxfxxdydxxfxdxxfxdytF1211221)()1()()()(，)()1()(2tftttF，则)2(4)2(fF。4、设),(yxf在10,10|),(yxyxD上连续可偏导，0)0,0(f，求400421),(limxxxxxeduutfdt。【解】424114xex，22000),(),(uxxxxdtutfduduutfdt，原式xxfxdtxtfxxx),(lim),(lim03002，其中20 x，而)()0,0()0,0(),(22xoxffxfyx，因为0lim0 xx，0)(lim220 xxox，所以原式)0,0(yf。（三）二重积分的计算1、计算下列二重积分：（1）12210ydxyxdy。（2）Ddxdyyx21|)|(|，其中10,11|),(yxyxD。2、计算Ddxdyxy)12(，其中区域D由)cos1(),sin(:tayttaxL（20,0ta）与x轴围成的区域。四、三重积分（数学一）1、计算dvzyxI)(22，其中是曲线022xzy绕z轴旋转一周所成的曲面与平面8z围成的区域。23 考研数学冲刺课程-高数【解】曲面)(21:22yxz，则80,2|),(22zzyxzyx，于是dvzyxI)(22zyxzyxdxdyzyxdzdxdyzyxdz22280222802222)()(32048)(2)(80222022080dzzzrdrzrddzz。2、计算dvyx)(22，其中由0,1:22xzyL绕z轴旋转而成的曲面位于1z与1z之间的部分。【解】曲面方程为1:222zyx，11,),(|),(zDyxzyxz，其中2221:zyxDz，则zDdxdyyxdzdvyx)()(2211221042112210311)21()1(222dzzzdzzdrrdzz1528)51321(。3、设)(tf连续，dvyxfztF)()(222，其中0,|),(222hztyxzyx，求20)(limttFt。【解】由thtdrrhfhrdzrfzrdrdtF023022020)(32)()(，得2023020)(3lim2)(limtdrrhfhrttFttt)0(3)(3lim3230hfhtthfhtt。五、曲线积分与曲面积分主要考点（一）对弧长曲线积分的计算（二）二维及三维空间曲线积分的计算与应用（三）对面积的曲面积分的计算（四）对坐标的曲面积分的计算（五）场论概念1、设134:22yxL，其周长为a，则_)432(22Ldsyxxy。2、LdsyI|，其中)0)()(:222222ayxayxL。23 考研数学冲刺课程-高数3、设)0()(2AyxydxxdyL，其中L是绕过原点的正向闭曲线，)(x可导且1)1(。（1）求)(x；（2）求A。【解】（1）22)(),(,)(),(yxxyxQyxyyxP，222222)()(,)()()(yxyxyPyxxxyxxQ，任取一条不绕过原点的正向闭曲线L，在L上任取两点BA,，将L分成21,LL，过BA,作一条曲线3L，使3L与21,LL围成绕原点的闭曲线，由格林公式得AyxydxxdyLL312)(，AyxydxxdyLL322)(，两式相减得0)(2Lyxydxxdy，即曲线积分与路径无关，于是yPxQ，从而有)()()(xxxx，即0)(2)(xxx，解得2)(Cxx，又因为1)1(，所以1C，于是2)(xx。（2）作2220:ryxL（其中0r，0L在L内，取逆时针方向），设由0L围成的区域为1D，由10,LL围成的区域为2D，由格林公式0)(2022DLLdxdyyPxQyxydxxdy，于是02222LLyxydxxdyyxydxxdy，而2211002222DLLdxdyrydxxdyryxydxxdy，故2A。4、计算Lxdzzdyydx，其中0:2222zyxRzyxL，沿x轴的正向看去，L为顺时针方向。【解】令L的截口圆面为，按右手准则，取下侧，由高斯公式得dsxzyzyxxdzzdyydxLcoscoscos，23 考研数学冲刺课程-高数因为1,1,1n，所以31coscoscos，故dsxzyzyxxdzzdyydxL11131233Rds。5、求LdzyxdyxzdxzyI)()()(222222，其 中axyxbxzyxL2,2:22222（0,0zab）。【解】设为L所围成的曲面的外侧，dSyxxzzyzyxI222222coscoscos。dSyxxzzycos)(cos)(cos)(2，又单位法向量为,bzbybbxn，故badxdydxdyzzdSdSyzID222cos22)(2。6、设为122 yx位于0z与1z之间的部分，计算dSzyxyx22222)1()1(。【解】dSzyxyxyxdSzyxyxI2222222222222)1()1(，由对称性替代性质得dSzI2113，于是122116113dSzdSzI，其中211:yx，令10,11|),(zyzyDyz，则23)()(11162222yzDdydzzxyxzI。7、计 算 曲 面 积 分dxdyzdzdxydydzxI)1(322233，其 中为 曲 面)0(122zyxz的上侧。23 考研数学冲刺课程-高数8、若对右半平面内任意光滑有向封闭曲面S，有0)()(2Sxzdxdyedzdxxxyfdydzxxf，其中)(xf在),0 内一阶连续可导，且1)(lim0 xfx，求)(xf。9、计算dxdyzdzdxydydzxI22232，其中是22yxz被4z截下部分的上侧。【解】令)4(4:220yxz，取下侧，则 0022232)(dxdyzdzdxydydzxI，而dvzyxdxdyzdzdxydydzx)642(320222128662240zyxdxdyzdzzdv，192484332422222200yxdxdydxdydxdyzdzdxydydzx，故64I。10、计算23222)(zyxzdxdyydzdxxdydzI，其中169122yxz，取上侧。第四部分第四部分微分方程微分方程一、一阶微分方程的通解与特解1、求微分方程yyxy2sincos1的通解。2、设)(xf连续，且42222222)()(2)(tdxdyyxfyxtftyx，求)(xf。3、求微分方程xexyyy)13(34 的通解。4、设)2sin2sin(21xCxCeyx为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为_。5、设)(xf连续，且满足xxexfdttxtf)()(0，求)(xf。6、令xttan，将方程xydxdyxxxdxydxtan)cossin1(cos2cos2224化为y关于t的方程，并求原方程的通解。23 考研数学冲刺课程-高数【解】dtdyxdxdtdtdydxdy2cos1，dtdyxxxdtydxdtyd422422cos)sin(cos2cos1，代入原方程得tydtdydtyd 222，通解为2)(21tetCCyt，故原方程的通解为2tan)tan(tan21xexCCyx。7、设)(22yxfu具有二阶连续的偏导数，且满足2222221yxuxuxyuxu，求u的表达式。【解】令22yxr，则)(rfrxxu，)()()()(2232222222rfrxrfryrfrxrfrrxrxu ，由对称性得)()(223222rfryrfrxyu，代入原方程得222322232)(1)()()()(rurfrxxrfryrfrxrfrxrfry ，整理得2)()(rrfrf。通解为2sincos221rrCrCu，故2sincos22222221yxyxCyxCu。8、设)(xfy（0 x）连续可导，1)0(f。已知曲线)(xfy、x轴、y轴及过点)0,(x且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积与)(xfy 在,0 x上的弧长相等，求)(xf。【解】由题意得xxdttfdttf020)(1)(，求导得)(1)(2xfxf，即)(xf满足微分方程23 考研数学冲刺课程-高数1)0(,12yyy，变量分离得dxydy12，积分得Cxyy)1ln(2，由1)0(y得0C，即xeyy12，解得2xxeey。9、（数学一）设)(xf在),1 上有连续的二阶导数，0)1(f，1)1(f，且)()(2222yxfyxz满足02222yzxz，求)(xf在),1 的最大值。【解】fyxxxfxz)(2222，fyxxfyxfxz)44()210(22242222，根据对称性得fyxyfxyfyz)44()210(22242222，fyxfyxfyzxz 222222222)(4)(124，令ryx22，由02222yzxz得032 frf rf，令ter，dtdff r，dtdfdtfdfr 222，整理得0222fdtdfdtfd，解得tetCCf)(21，于是rrCCrf1)ln()(21，由0)1(f，得01C，rrCrfln)(2，22ln1)(rrCrf，由1)1(f，得12C，于是xxxfln)(。令2ln1)(xxxf，得ex，当),1(ex时，0)(xf，当ex 时，0)(xf，则ex 为)(xf在),1 上的最大点，最大值为eef1)(。第五部分第五部分级数级数23 考研数学冲刺课程-高数一、常数项级数的主要考点（一）级数的概念与性质（二）计算敛散性判断（三）级数问题证明1、下列结论正确的是（）)(A若1nna收敛，则12nna一定收敛；)(B若1lim1nnnaa，则1nna一定收敛；)(C若1nna中所有的正项构成的级数与所有的负项够成的级数收敛，则1nna绝对收敛；)(D若0na（,2,1n），且0limnna，则1)1(nnna一定收敛。2、设正项级数1nna发散，证明：12nnnSa收敛。【解】因为1nna发散，所以nnSlim。nnnnnnnnnnnSSSSSSSSSSa110111212，因为)(111)11()11()11(11113221naSaSSSSSSnnn，所以)11(21nnnSS收敛，由比较审敛法得12nnnSa收敛。3、设)(xf是二阶连续可导的偶函数，且1)0(f，证明级数1 1)1(nnf绝对收敛。【解】因为)(xf为偶函数，所以0)0(f，再由二阶连续可导得)(2)0()0()(22xoxffxf，于是22|)0(|1)1(|nfnf，再由 122|)0(|nnf收敛得1 1)1(nnf绝对收敛。二、幂级数的主要考点（一）收敛半径与收敛域（二）函数展成幂级数（三）幂级数求和函数（四）特殊常数项级数求和1、设12nnna收敛，则级数1nna（）)(A发散)(B条件收敛)(C绝对收敛)(D敛散性不确定。23 考研数学冲刺课程-高数【答案】)(C。【解】设幂级数1nnnxa，因为12nnna收敛，所以1nnnxa得收敛半径2R，因为R1，所以当1x时，幂级数绝对收敛，故级数1nna绝对收敛，应选)(C。2、当2x时，1)2(nnnxa条件收敛，则级数1221nnnxna的收敛半径为（）)(A2R；)(B4R；)(C1R；)(D2R。3、将函数22)(xxxxf展成x的幂级数。【解】令xBxAxxxxxxxf21)2)(1(2)(2，解得32,31BA，则0102132)1(3121321131)(nnnnnnxxxxxf03)1(231nnnnx（11x）。4、求幂级数121)12(11()1(nnnxnn的收敛域及和函数)(xS。【解】显然收敛半径为1R，当1x时，由级数收敛的必要条件，级数发散，故级数的收敛域为)1,1(。令121)12(11()1()(nnnxnnxS，则121121)12(21)1(2)1()(nnnnnnxnnxxS)(21122xSxx，其中1211)12(21)1()(nnnxnnxS，则21121111)()1()(xxxSnnn，由0)0(1S得xxdxxSxarctan1)(021，又由0)0(1S得xxdxxxxxxdxxS02011arctanarctan)()1ln(21arctan2xxx，故)1ln(21arctan1)(222xxxxxxS。23 考研数学冲刺课程-高数5、设幂级数0nnnxa的收敛半径为R，其和函数)(xS满足微分方程042 yyxy，其中1)0(,0)0(yy。（1）证明：),2,1(122nanann；（2）求和函数)(xS。【解】（1）令0)(nnnxaxS，0111)1()(nnnnnnxanxnaxS，02111)1)(2()1()(nnnnnnxannxannxS，因为级数的和函数满足微分方程042 yyxy，所以有04)1(2)1)(2(00102nnnnnnnnnxaxanxxann，所以当1n时，042)1)(2(2nnnanaann，从而有),2,1(122nanann。（2）由00a，11a，02a，得02420naaaa111213aa，214235aa，!3121627a，!1,12nan，则2020120)(!1!1)(xnnnnnnnxexnxxnxaxS。6（数学一）设)10(1)(xxxf，（I）将)(xf展开成余弦级数，并求121nn的和；（II）将)(xf展开成正弦级数。【解】（I）将)(xf进行偶延拓和周期延拓，则3)1(2)(210100dxxdxxfa，1010cos)1(2cos)(2xdxnxdxxnxfan23 考研数学冲刺课程-高数,4,2,0,3,1,4 1)1(22222nnnnn，0nb（,2,1n），则)33cos1cos(4231222xxx（10 x）。取0 x，则有8)12(1212nn，令Snn121，则84)12(114121212SnnSnn，解得61212nn。（II）将)(xf进行奇延拓和周期延拓，则0na（,2,1,0