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数学(二)试题 第 1 页(共 10 页)2014 年全国硕士研究生入学统一考试 2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分 当 0 x时，若)(lnx21 ，11)cos(x 均是比x高阶的无穷小，则 的可能取值范围是（）（A）),(2 （B）),(21 （C）),(121 （D）),(210【详解详解】xx221)(ln，是 阶无穷小，211211xx)cos(是 2阶无穷小，由题意可知121 所以 的可能取值范围是),(21，应该选（B）2下列曲线有渐近线的是（A）xxysin （B）xxysin2（C）xxy1sin （D）xxy12sin【详解详解】对于xxy1sin，可知1 xyxlim且01xxyxxsinlim)(lim，所以有斜渐近线xy 应该选（C）3设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)()()(110，则在,10上（）（A）当0)(xf时，)()(xgxf （B）当0)(xf时，)()(xgxf （C）当0 )(xf时，)()(xgxf （D）当0 )(xf时，)()(xgxf 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解详解 1】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断 显然xfxfxg)()()(110就是联接)(,(),(,(1100ff两点的直线方程故当0 )(xf时，曲线是凹的，也就是)()(xgxf，应该选（D）【详解详解 2】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义不熟悉的话，可令xfxfxfxgxfxF)()()()()()(110，则010)()(FF，且)()(xfxF，故当 数学(二)试题 第 2 页(共 10 页)0 )(xf时，时，曲线是凹的，从而010)()()(FFxF，即0)()()(xgxfxF，也就是)()(xgxf，应该选（D）4曲线14722ttytx,上对应于1 t的点处的曲率半径是（）（）5010（）10010 (）1010（）105【详解详解】曲线在点)(,(xfx处的曲率公式 321)(yyK，曲率半径KR1 本题中422tdtdytdtdx,，所以tttdxdy21242，3222122tttdxyd，对应于1 t的点处13,yy，所以10101132)(yyK，曲率半径10101KR 应该选（C）5设函数xxfarctan)(，若)()(xfxf，则 220 xx lim（）（）1 （）32 （）21 （）31 【详解详解】注意（1）211xxf)(，（2）)(arctan,33310 xoxxxx 时 时 由于)()(xfxf 所以可知xxxxffarctan)()(211，22)(arctanarctanxxx，3131333020220 xxoxxxxxxarxxxxxx)()(lim)(arctantanlimlim 6设),(yxu在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02yxu及02222yuxu，则（）（A）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上；（B）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 3 页(共 10 页)（C）),(yxu的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；（D）),(yxu的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上【详解详解】),(yxu 在平面有界闭区域 D 上连续，所以),(yxu在 D 内必然有最大值和最小值并且如果在内部存在驻点),(00yx，也就是0yuxu，在这个点处xyuyxuByuCxuA222222,，由条件，显然02 BAC，显然),(yxu不是极值点，当然也不是最值点，所以),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上 所以应该选（A）7行列式dcdcbaba00000000等于（A）2)(bcad （B）2)(bcad （C）2222cbda （D）2222cbda【详解详解】20000000000000000)(bcaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba 应该选（B）8 设321,均是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31k，32l 线性无关是向量321,线性无关的（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件【详解详解】若向量321,线性无关，则（31k，32l）Klk),(),(3213211001，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等于 2，所以向量31k，32l 一定线性无关 而当000010001321,时，对任意的常数lk,，向量31k，32l 线性无关，但321,线性相关；故选择（A）数学(二)试题 第 4 页(共 10 页)二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9 12521dxxx 【详解】【详解】11122832421212141521)(|arctan)(xxdxdxxx 10设)(xf为周期为 4 的可导奇函数，且2012,),()(xxxf，则)(7f 【详 解详 解】当20,x时，Cxxdxxxf 2122)()(，由00 )(f可 知0 C，即xxxf22)(；)(xf为周期为 4 奇函数，故1)1()1()7(fff 11设),(yxzz 是由方程4722zyxeyz确定的函数，则 2121,|dz 【详解详解】设4722zyxezyxFyz),(，1222122yzzyzyxyeFyzeFF,，当21 yx时，0 z，21zxFFxz，21zyFFyz，所以 2121,|dzdydx2121 12 曲 线L的 极 坐 标 方 程 为r，则L在 点22,),(r处 的 切 线 的 直 角 坐 标 方 程为 【详解详解】先把曲线方程化为参数方程sinsin)(coscos)(ryrx，于是在2处，20yx,，222|sincoscossin|dxdy，则L在点22,),(r处的切线方程为)(022xy，即.22xy 13一根长为 1 的细棒位于x轴的区间10,上，若其线密度122xxx)(，则该细棒的质心坐标 x 【详解详解】质心坐标201135121112210210231010dxxxdxxxxdxxdxxxx)()()()(大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 5 页(共 10 页)14设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf),(的负惯性指数是 1，则a的取值范围是 【详解详解】由配方法可知 232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),(由于负惯性指数为 1，故必须要求 042a，所以a的取值范围是22,三、解答题 15（本题满分 10 分）求极限)ln()(limxxdttetxtx1112112 【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解详解】21121111111222121122112xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)(lim)(lim)(lim)ln()(lim 16（本题满分 10 分）已知函数)(xyy 满足微分方程yyyx122，且02 )(y，求)(xy的极大值和极小值【详解详解】解：把方程化为标准形式得到2211xdxdyy)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：Cxxyy333131，由02 )(y得32 C，即32313133xxyy 令01122yxdxdy，得1 x，且可知3222222211212)()()(yxyyxdxyd；当1 x时，可解得1 y，01y，函数取得极大值1 y；当1 x时，可解得0 y，02y，函数取得极小值0 y 数学(二)试题 第 6 页(共 10 页)17（本题满分 10 分）设平面区域004122yxyxyxD.,|),(计算 Ddxdyyxyxx)sin(22 【详解详解】由对称性可得 432112121212022222222DDDDdrrrddxdyxdxdyyxyxyxdxdyxyxydxdyxyxx sin)sin()sin()()sin()sin(18（本题满分 10 分）设 函 数)(uf具 有 二 阶 连 续 导 数，)cos(yefzx 满 足xxeyezyzxz222224)c o s(若0000)(,)(ff，求)(uf的表达式【详解详解】设yeuxcos，则)cos()(yefufzx，yeufyeufxzeufxzxxyxcos)(cos)(,)(cos2222;yeufyeufyzyeufyzxxxcos)(sin)(,sin)(2222；xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件xxeyezyzxz222224)c o s(，可知 uufuf)()(4 这是一个二阶常用系数线性非齐次方程 对应齐次方程的通解为：uueCeCuf2221)(其中21CC,为任意常数 对应非齐次方程特解可求得为uy41*故非齐次方程通解为ueCeCufuu412221)(大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 7 页(共 10 页)将初始条件0000)(,)(ff代入，可得16116121CC,所以)(uf的表达式为ueeufuu4116116122)(19（本题满分 10 分）设函数)(),(xgxf在区间ba.上连续，且)(xf单调增加，10)(xg，证明：（1）baxaxdttgxa,)(0；（2）badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(【详解详解】（1）证明：因为10)(xg，所以baxdtdttgdxxaxaxa,)(10 即baxaxdttgxa,)(0（2）令 xadttgaaxaduufduugufxF)()()()()(，则可知0)(aF，且 xadttgafxgxgxfxF)()()()()(，因为,)(axdttgxa 0且)(xf单调增加，所以)()()(xfaxafdttgafxa 从而 0)()()()()()()()()(xfxgxgxfdttgafxgxgxfxFxa，bax,也是)(xF在ba,单调增加，则0)()(aFbF，即得到 badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(20（本题满分 11 分）设函数101,)(xxxxf，定义函数列)()(xfxf 1，)()(xffxf12，),()(,xffxfnn1 设nS是曲线)(xfyn，直线01yx,所围图形的面积求极限nnnSlim【详解详解】xxxxxxxfxfxfxxxf21111111121)()()(,)(，,)(xxxf313，数学(二)试题 第 8 页(共 10 页)利用数学归纳法可得.)(nxxxfn1)ln()()(nnndxnxndxnxxdxxfSnn11111111101010，111nnnSnnn)ln(limlim 21（本题满分 11 分）已知函数),(yxf满足)(12yyf，且yyyyyfln)()(),(212，求曲线0),(yxf所成的图形绕直线1 y旋转所成的旋转体的体积【详解详解】由于函数),(yxf满足)(12yyf，所以)(),(xCyyyxf22，其中)(xC为待定的连续函数 又因为yyyyyfln)()(),(212，从而可知yyyCln)()(21，得到xxyyxCyyyxfln)()(),(212222 令0),(yxf，可得xxyln)()(212且当1 y时，2121xx,曲线0),(yxf所成的图形绕直线1 y旋转所成的旋转体的体积为)ln(ln)()(45222121212dxxxdxyV 22（本题满分 11 分）设矩阵A=1-23-401-11120-3，E 为三阶单位矩阵（1）求方程组0 AX的一个基础解系；（2）求满足EAB 的所有矩阵 B【详解详解】（1）对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：310020101001310011104321134011104321302111104321A，得到方程组0 AX同解方程组 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 9 页(共 10 页)43424132xxxxxx 得到0 AX的一个基础解系13211 （2）显然 B 矩阵是一个34 矩阵，设444333222111zyxzyxzyxzyxB 对矩阵)(AE进行进行初等行变换如下：141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE 由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为 1321011214321cxxxx，1321043624321cyyyy，1321011134321czzzz，即满足EAB 的所有矩阵为 321321321321313431212321162ccccccccccccB 其中321ccc,为任意常数 23（本题满分 11 分）证明n阶矩阵111111111与n00200100相似 数学(二)试题 第 10 页(共 10 页)【详解详解】证明：设 A 111111111，Bn00200100 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111 nnAE)(，所以 A 的n个特征值为0321nn,；而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化且00 A；1002010 nnnBE)(所以 B 的n个特征值也为0321nn,；对于1 n重特征值0，由于矩阵BBE)(0的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应1 n重特征值0的特征向量应该有1 n个线性无关，进一步矩阵 B 存在n个线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定可以对角化，且00 B 从而可知n阶矩阵111111111与n00200100相似 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214