2005年数学三真题答案解析.pdf

-1-2005 年考研数学（三）真题解析年考研数学（三）真题解析一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）（1）极限12lim sin2xxxx=2.【分析分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解详解】12lim sin2xxxx=.212lim2xxxx（2）微分方程0 xyy满足初始条件(1)2y的特解为2xy.【分析分析】直接积分即可.【详解详解】原方程可化为()0 xy，积分得xyC，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2.（3）设二元函数(1)ln(1)yzxexx y，则)0,1(dzedxedy2(2).【分析分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解详解】ln(1)yexexzx yx y,yxxeyzx y11,于是)0,1(dzedxedy2(2).（4）设行向量组)1,1,1,2(，(2,1,)a a，(3,2,1,)a，)1,2,3,4(线性相关，且1a，则 a=21.【分析分析】四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a.【详解详解】由题设，有4321321212111aaa(1)(21)0aa,得21,1aa，但题设1a，故.21a（5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X,再从X1,2,中任取一个数，记为 Y,则2P Y=4813.【分析分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解详解】2P Y=1 21P XP YX+2 22P XP YX关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-2-+3 23P XP YX+4 24P XP YX=.4813)413121(041（6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件0X与1XY相互独立，则 a=0.4,b=0.1.【分析分析】首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解详解】由题设，知a+b=0.5又事件0X与1XY相互独立，于是有0,10 1P XXYP XP XY，即a=(0.4)()a ab,由此可解得a=0.4,b=0.1二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当 a 取下列哪个值时，函数f xxxxa()291232恰好有两个不同的零点.(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.B【分析分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数 f(x)恰好有两个不同的零点.【详解详解】()618122 fxxx=6(1)(2)xx，知可能极值点为 x=1,x=2，且fa fa(1)5,(2)4，可见当 a=4 时，函数 f(x)恰好有两个零点，故应选(B).（8）设xy dID221cos,xydID)cos(222,xydID2223)cos(,其 中1(,)22Dx y xy，则(A)321III.（B）123III.(C)213III.(D)312III.A【分析分析】关键在于比较22xy、22xy与222()xy在区域1(,)22Dx y xy上的大小.【详解详解】在区域1(,)22Dx y xy上，有1022xy，从而有2212xy22xy()0222xy关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-3-由于 cosx 在)2,0(上为单调减函数，于是220cosxy)cos(22xy222)cos(xy因此xy dD22cosxydD)cos(22xydD222)cos(，故应选(A).（9）设0,1,2,ann若1nna发散，11(1)nnna收敛，则下列结论正确的是(A)121nna收敛，12nna发散.（B）12nna收敛，121nna发散.(C)()1212nnnaa收敛.(D)()1212nnnaa收敛.D【分析分析】可通过反例用排除法找到正确答案.【详解详解】取nan1，则1nna发散，11(1)nnna收敛，但121nna与12nna均发散，排除(A),(B)选项，且()1212nnnaa发散，进一步排除(C),故应选(D).事实上，级数()1212nnnaa的部分和数列极限存在.（10）设f xxxx()sincos,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，)2(f是极小值.（B）f(0)是极小值，)2(f是极大值.（C）f(0)是极大值，)2(f也是极大值.(D)f(0)是极小值，)2(f也是极小值.B【分析分析】先求出(),()fxfx，再用取极值的充分条件判断即可.【详解详解】fxxxxxxx()sincossincos，显然)02(0)0,(ff，又fxxxx()cossin，且02)2(0)10,(ff，故 f(0)是极小值，)2(f是极大值，应选(B).（11）以下四个命题中，正确的是(A)若()fx在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.（B）若()f x在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-4-（C）若()fx在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界.(D)若()f x在（0，1）内有界，则()fx在（0，1）内有界.C【分析分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解详解】设 f(x)=x1,则 f(x)及21()xfx 均在（0，1）内连续，但 f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B);又f xx()在（0，1）内有界，但xfx21()在（0，1）内无界，排除(D).故应选(C).（12）设矩阵 A=3 3()ija满足TAA*，其中*A是 A 的伴随矩阵，TA为 A 的转置矩阵.若111213,aaa为三个相等的正数，则11a为(A)33.(B)3.(C)31.(D)3.A【分析分析】题设与 A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.*AAA AAE.【详解详解】由TAA*及AAA AAE*，有,1,2,3aA i jijij，其中ijA为ija的代数余子式，且032AAAEAAAT或1A而30211111112121313Aa Aa Aa Aa，于是1A，且.3311a故正确选项为(A).（13）设12,是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,，则1，()12A线性无关的充分必要条件是(A)01.(B)02.(C)01.(D)02.D【分析分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解详解】方法一：令()011212kk A，则011211222 kkk，0()1211222 kkk.由于12,线性无关，于是有.0,022121kkk当02时，显然有0,021kk，此时1，()12A线性无关；反过来，若1，()12A关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-5-线性无关，则必然有02(,否则，1与()12A=11 线性相关)，故应选(B).方法二：由于21121112211201,(),A，可见1，()12A线性无关的充要条件是0.01221故应选(D).（14）设一批零件的长度服从正态分布(,)2 N，其中2,均未知.现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值20()xcm，样本标准差1()scm，则的置信度为 0.90 的置信区间是(A)(16).41(16),2041(200.050.05tt(B)(16).41(16),2041(200.10.1tt(C)(15).41(15),2041(200.050.05tt(D)(15).41(15),2041(200.10.1ttC【分析分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：(1).t nnsx【详解详解】由正态总体抽样分布的性质知，(1)t nnsx，故的置信度为 0.90 的置信区间是(1)1(1),1(22tnntnxnx，即(15).41(15),2041(200.050.05tt故应选(C).三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题，满分小题，满分 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（）（15）（本题满分）（本题满分 8 分）分）求).111lim(0 xexxx【分析分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解详解】(1)1)lim111lim(200 xxxxxxexxexex=2201limxxxexx=xxexx212lim0=.2322lim0 xxe（16）（本题满分）（本题满分 8 分）分）关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-6-设 f(u)具有二阶连续导数，且(,)()()yxyfxyg x yf，求.222222ygyxgx【分析分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解详解】由已知条件可得()()2yxfxyfxyxg，()1()()242232yxfyyxfxyxyfxyxg，()()()1yxfyxyxfxyfyxg，()()()()13222222yxfyxyxfyxyxfyxxyfyxg，所以222222ygyxgx=()()()2222yxfyxyxfxyxyfxy()()222yxfyxxyfxy=().2xyfxy（17）（本题满分）（本题满分 9 分）分）计算二重积分xydD122，其中(,)01,01Dx yxy.【分析分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解详解】记1,(,)(,)221Dx y xyx yD，1,(,)(,)222Dx y xyx yD，于是xydD122=1(1)22Dxydxdy2(1)22Dxydxdy=20210(1)drrdrDxydxdy(1)221(1)22Dxydxdy=8+20102210210(1)(1)dxxydydrrdr=.314（18）（本题满分）（本题满分 9 分）分）求幂级数121)211(nnxn在区间(-1,1)内的和函数 S(x).关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-7-【分析分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【详解详解】设121)211()(nnxnS x，121211()nnxnSx，122()nnSxx，则()()()21S xSxSx，(1,1).x由于122()nnSxx=221xx，,(1,1)1()22121 xxxxSxxnn,因此 xxxdtxttxSx022111ln211()，又由于(0)01S，故0.1,0,11ln211()1 xxxxxSx所以()()()21S xSxSx0.1,0,1111ln212xxxxxx（19）（本题满分）（本题满分 8 分）分）设 f(x),g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0,()0 fx,()0g x.证明：对任何 a0,1,有ag x fx dxf x g x dxf a g010()()()()()(1).【分析分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解详解】方法一：设()F xxg t ft dtf t g t dtf x g010()()()()()(1)，则 F(x)在0，1上的导数连续，并且()F x()()()(1)()()(1)g x fxfx gfx g xg，由于0,1x时，()0,()0 fxg x，因此()0F x，即 F(x)在0，1上单调递减.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-8-注意到(1)F1010()()()()(1)(1)g t ft dtf t g t dtfg，而10101010()()()()()()()()g t ft dtg t df tg t f tf t g t dt=10(1)(1)()()fgf t g t dt，故 F(1)=0.因此0,1x时，()0F x，由此可得对任何0,1a，有ag x fx dxf x g x dxf a g010()()()()()(1).方法二：aaag x fx dxg x f xf x g x dx000()()()()()()=af a g af x g x dx0()()()()，ag x fx dxf x g x dx010()()()()=100()()()()()()f a g af x g x dxf x g x dxa1()()()().af a g af x g x dx由于0,1x时，()0g x，因此()()()()f x g xf a g x，,1xa，1010()()()()()(1)()f x g x dxf a g x dxf a gg a，从而ag x fx dxf x g x dx010()()()()()()()(1)()()(1).f a g af a gg af a g（20）（本题满分）（本题满分 13 分）分）已知齐次线性方程组（i）0,2350,230,123123123xxaxxxxxxx和（ii）(1)0,20,3221123xb xcxxbxcx同解，求 a,b,c 的值.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-9-【分析分析】方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定 a，这样先求出（i）的通解，再代入方程组（ii）确定 b,c 即可.【详解详解】方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于 3.对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换00201110111235123aa，从而 a=2.此时，方程组（i）的系数矩阵可化为000011101112235123，故T(1,1,1)是方程组（i）的一个基础解系.将1,1,1321 xxx代入方程组（ii）可得1,2bc或0,1.bc当1,2bc时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有011101213112，显然此时方程组（i）与（ii）同解.当0,1bc时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有000101202101，显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同.综上所述，当 a=2,b=1,c=2 时，方程组（i）与（ii）同解.（21）（本题满分）（本题满分 13 分）分）设CBACDT为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为mn矩阵.(I)计算P DPT，其中nmoEEA CP1；（II）利用(I)的结果判断矩阵BC A CT1是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析分析】第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-10-【详解详解】(I)因nTmTC AEEoP1，有P DPT=nTmC AEEo1CBACTnmoEEA C1=oBC A CACT1nmoEEA C1=oBC A CAoT1.（II）矩阵BC A CT1是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵 D 合同于矩阵.1oBC A CAoMT又 D 为正定矩阵，可知矩阵 M 为正定矩阵.因 矩 阵 M 为 对 称 矩 阵，故BC A CT1为 对 称 矩 阵.对TX(0,0,0)及 任 意 的(,)012TnYyyy，有)0.(,)11YBC A C YYXoBC A CAoXYTTTTT故BC A CT1为正定矩阵.（22）（本题满分）（本题满分 13 分）分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.01,02,0,1,(,)其他xyxf x y求：（I）(X,Y)的边缘概率密度(),()fxfyYX；（II）ZXY2的概率密度().fzZ(III).2121P YX【分析分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度;直接用条件概率公式计算即可.【详解详解】（I）关于 X 的边缘概率密度()fxX=f x y dy(,)=.01,0,20其他xdyx关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-11-=.01,0,2,其他 xx关于 Y 的边缘概率密度()fyY=f x y dx(,)=.02,0,12其他dxyy=.02,0,21其他yy（II）令()2FzP ZzPXYzZ，1）当0z时，()20FzPXYzZ；2）当02z时，()2FzPXYzZ=241zz;3)当2z时，()21.FzPXYzZ即分布函数为：2.02,0,1,410,()2zzzFzzzZ故所求的概率密度为：.02,0,211()其他zzfzZ（III）.43411632121,212121P XP XYP YX（23）（本题满分）（本题满分 13 分）分）设,(2)12XXXnn为 来 自 总 体 N(0,2)的 简 单 随 机 样 本，X为 样 本 均 值，记,1,2,.YXX inii求：（I）iY的方差DY ini,1,2,；（II）1Y与nY的协方差(,).1nCov Y Y（III）若21()nc YY是2的无偏估计量，求常数 c.【分析分析】先将iY表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y与nY的协方关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-12-差(,)1nCov Y Y，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计21()nc YY，利用其数学期望等于2确定 c 即可.【详解详解】由题设，知,(2)12XXXnn相互独立，且0,(1,2,)2EXDXinii，0.EX（I）nj ijiiiXnXnDYD XXD1)1()(1=nj ijiDXnDXn221)1(1=.1(1)(1)1222222nnnnnn（II）(,)()()111nnnCov Y YE YEYYEY=()()()11E YYE XXXXnn=)(211E X XX XX XXnn=211()2()E X XE X XEXn=22121()20E XX XDXEXnnjj=.211222nnn（III）()()121nnE c YYcD YY=2(,)121nc DYDYCov Y Y=2222(2)112cnnnnnnnc，故.2(2)nnc关注公众号【考研题库】保存更多高清资料