1997年数学三真题答案解析.pdf

11997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】()1lnlnf xefxfx fx dxx【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由()(ln)f xyfx e可知 ()()()1lnln1lnln.f xf xf xdyfx edxfx efx dxxefxfx fx dxx(2)【答案】4【分析】本题中10()f x dx是个常数,只要定出这个数问题就解决了.【解析】令10()f x dxA,则221()11f xAxx,两边从 0 到 1 作定积分得11220011dxAAx dxx10arctan444xAA,解得4A.【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分1201x dx表示单位圆在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.(3)【答案】(2)2ttyCt【解析】对应的齐次差分方程是10ttyy,显然有不恒等于零的特解1ty.因方程的右端函数()2tf tt,可设非齐次差分方程的特解有形式()2tyAtB,代入方程得(2)22,0,1,2,.ttAtABtt由于20t,于是2,0,1,2,.AtABtt可确定1,2AB,即非齐次差分方程有一个特解是(2)2tyt.从而,差分方程的通解是(2)2ttyCt.(4)【答案答案】22t 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料2【解析】二次型123(,)f x x x对应的矩阵为210112012tAt.因为f正定 A的顺序主子式全大于零.又2123211211112,At ,故f正定21102t,即22t.(5)【答案】t分布,参数为 9【解析】由19,XX是来自总体X的简单随机样本,故19,XX独立,且都服从正态分布2(0,3)N.类似有19,YY相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N.又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即219(,)XXXN .其中19()()E XE XX,219()()D XD XX.由期望的性质,19129()()0E XE XXEXEXEX；由独立随机变量方差的性质,21919()()81D XD XXDXDX,故2(0,9)XN.因219,(0,3)YYN,故0(0,1),(1,2,9)3iYNi,所以,2921(9)3iiYY.由t分布的定义,现已有2(0,9)XN,将其标准化得0(0,1)9XN,故09(9)9XtY.化简有(9)9XtY,即191922221919(9)19()9XXXXtYYYY.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料3【相关知识点】1.数学期望的性质：()()()E aXbYcaE XbE Yc,其中,a b c为常数.2.方差的性质：X与Y相互独立时,22()()()D aXbYca D Xb D Y,其中,a b c为常数.3.2分布的定义：若1,nZZ相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N,则22(1)iZ,221()niiZn.4.若2(,)ZN u,则(0,1)ZuN.5.t分布的定义：若(0,1)XN,2()Yn,X Y独立,则()XTt nYn.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(B)【分析】只要求出极限0()lim()xf xg x就能判断出正确的选项.【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得1 cos2205640005244000sin()(sin)sin(1 cos)limlimlim()(1)5611(1 cos)4limlimlim0,1xxxxxxxt dtf xxxxxg xxxxxxxxx故应选(B).【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()F ttfttft.2.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()xx为无穷小且存在极限()lim()xlx,(1)若0,l 称(),()xx在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若1,l 称(),()xx在该极限过程中为等价无穷小,记为()()xx；关注公众号【考研题库】保存更多高清资料4(3)若0,l 称在该极限过程中()x是()x的高阶无穷小,记为()()xox.若()lim()xx不存在(不为),称(),()xx不可比较.(2)【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.方法 1：由()()fxf x(,)知,()f x的图形关于y轴对称.由在(,0)内,0fx且()0fx知,()f x的图形在(,0)内单调上升且是凸的；由对称性知,在(0,)内,()f x的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).方法 2：由()()fxf x可知()(),()()fxfxfxfx.当(0,)x时,(,0)x ,此时由题设知0fx,()0fx,则()0,()0,(0,)fxfxx,故应选(C).方法 3：排除法.取2()f xx,易验证()f x符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).方法 4：由题设可知()f x是一个二阶可导的偶函数,则()fx为奇函数,()fx为偶函数,又在(,0)内()0,()0fxfx,则在(0,)内()0,()0fxfx,故应选(C).(3)【答案答案】(C)【分析】这一类题目最好把观察法与123123(,)(,)C 技巧相结合.【解析】对于(A),1223310,即存在一组不全为零的数 1,-1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知122331,线性相关,排除(A)；对于(B),122312320,即存在一组不全为零的数 1,1,-1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知1223123,2 线性相关,排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数123k,k,k,使得11222331322330kkk,关注公众号【考研题库】保存更多高清资料5整理得13112223322330.kkkkkka已知1,2,3线性无关,上式成立,当且仅当1312230220330kkkkkk因的系数行列式101220120033,故有唯一零解,即1230kkk.故原向量组122,2323,313线性无关.应选(C).或者也可以将122,2323,313用123,线性表出,且写成矩阵形式,有 1223311231231012,23,3,220,033C 记,120C,则C可逆,故两向量组是等价向量组,由1,2,3线性无关知122,2323,313线性无关.(4)【答案答案】(D)【解析】方法 1方法 1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也不一定合同.例如,若10100302A,B,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；若10100302A,B,则111012030206AB,101111020306BA,ABBA.故(A)不成立；应取(D).方法 2方法 2：因,A B是同阶(设为n)可逆阵,故有 r Ar Bn,而 r Ar B,A B等价存在可逆阵P,Q使得PAQB.(这里只需取1PA,QB,既有1PAQA BAB成立),故应选(D).关注公众号【考研题库】保存更多高清资料6或者,因,A B是同阶可逆阵,故,A B均可以通过初等行变换化成单位阵,AE,BE,行变换行变换即存在初等阵1212srPP,P,P,WW,WW,使得PAE,WBE,从而有PAEWB,得1PAWPAQB1WQ.故(D)成立.(5)【答案】(A)【解析】因X和Y相互独立,而1111,1122P XP YP XP Y ,故有：1111,111224P XYP XP Y ；1111,111224P XYP XP Y ；1111,111224P XYP XP Y ；1111,111224P XYP XP Y；1111,11,1442P XYP XYP XY ,故(A)正确,(B)错；11101,11,1442P XYP XYP XY ,故(C)错；11111,11,1442P XYP XYP XY ,故(D)错.三、(本题满分 6 分.)三、(本题满分 6 分.)【分析】要证明0lim()xQ xQ,只须证明0limln()lnxQ xQ即可,因为()Q x为指数函数,因此化为对数形式便于极限计算.【解析】因为1ln()lnln(1)xxQ xAKLx,而且001ln(1)limln(1)lnlim(1)ln(1)lnln(),xxxxxxxxKLxKKLLKLKLK L 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料7所以,110limln()lnln()ln()xQ xAK LAK L,于是,10lim()xQ xAK LQ.四、(本题满分 5 分.)四、(本题满分 5 分.)【解析】由题设有duff dyf dzdxxy dxz dx.(*)在0 xyey中,将y视为x的函数,两边对x求导,得2()011xyxyxydydydyyeyeyxdxdxdxxexy.(1)在0zexz中,将z视为x的函数,两边对x求导,得0zzdzdzdzzzezxdxdxdxexxyx.(2)将(1)、(2)两式代入()式,得21dufyfzfdxxxyyxyxz.【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若(,)uu x y和(,)vv x y在点(,)x y处偏导数存在,函数(,)zf u v在对应点(,)u v具有连续偏导数,则复合函数(,),(,)zf u x y v x y在点(,)x y处的偏导数存在,且,zfufvzfufvxuxv xyuyv y .五、(本题满分 6 分)五、(本题满分 6 分)【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系()x,它是商品销售总收入减去成本和政府税收.正确写出()x后,满足0()0 x的0 x即为利润最大时的销售量,此时,0()x t是t的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额()Ttx t,再由导数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值t.【解析】(1)设T为总税额,则Ttx.商品销售总收入为2(70.2)70.2Rpxx xxx.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料8利润函数为2270.2310.2(4)1RCTxxxtxxt x .令()0 x,即0.440 xt,得45(4)0.42txt.由于()0.40 x,因此,5(4)2xt即为利润最大时的销售量.(2)将5(4)2xt代入Ttx,得5(4)2Ttt 25102tt.由()1050T tt,得惟一驻点2t；由于()50Tt ,可见当2t 时T有极大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.六、(本题满分 6 分)六、(本题满分 6 分)【分析】当0 x 时,()F x显然连续,故只要证0lim()(0)xF xF,且当0 x 时,()0Fx即可.【解析】方法 1：方法 1：显然0 x 时,()F x连续,又由洛必达法则知0000()lim()limlim()0(0)xnnxxxt f t dtF xx f xFx,所以()F x在0,)上连续.当(0,)x时,11022()()()()(),0 xnnnnxf xt f t dtxf xfxF xxxx.由于()f x单调不减,故()()f xf,又nnx,从而()()nnx f xf.于是有()00F xx.故()F x在0,)上单调不减.方法 2：方法 2：连续性证明同上.由于10200022()()()()()()()0,xnnxxxnnnnxf xt f t dtF xxx f x dtt f t dtx f xt f t dtxx可见,()F x在0,)上单调不减.【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于()F x的不同处理方法.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料9O3P2P1Px1Q2Q3Q12yxy【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()F ttfttft.七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分)【分析】先作出草图,再求出曲线2yx在任一点2(,)a a上的切线方程及其与x轴的交点,然后依此类推,得出一系列与x轴交点的坐标.最后进行相应计算即可.【解析】(1)由2yx,得2yx.对于任意(01)aa,抛物线2yx在点2(,)a a处的切线方程为22()yaa xa.且该切线与x轴的交点为(,0)2a,故由11OP 可见21322111,2211 11,22 221.2nnOPOPOPOPOP(2)由于22211124nnnnnQ POP,可见11101144mnnnnnmQ P.利用几何级数求和公式01(1)1nnxxx即得1011414314mnnnmQ P.【评注】本题是级数与微分学的综合题,本题中所得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级数求和公式即可求出它的和.八、(本题满分 6 分)八、(本题满分 6 分)【解析】将直角坐标化为极坐标,由于关注公众号【考研题库】保存更多高清资料102222222200041()()2()222ttxytrrfxydxdydfrdrrfdr,可得2240()2()2ttrf terfdr.在积分中作换元2rs,又有200()4()2ttrrfdrsf s ds.于是,()f t满足积分关系式240()8()ttf tsf s dse.在上式中令0t 得(0)1f.利用变上限积分的求导公式,将上式两端对t求导,得24()8()8tf ttf tte.上述方程为关于()f t的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得224()(4)tf ttC e,其中常数C待定.由(0)1f可确定常数1C,因此,224()(41)tf tte.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()F ttfttft.2.一阶线性非齐次微分方程的标准形式为()()yp x yq x,其通解公式为()()()p x dxp x dxyeq x edxC,其中C为常数.九、(本题满分 6 分)九、(本题满分 6 分)【解析】(1)由*AAA AA E及1*AA A,有*10.0TTTTTTEAAPQAAA AAAb AbAA bA(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有0TEPAAA,关注公众号【考研题库】保存更多高清资料112110TTAP QPQAbAA bA又因A是非奇异矩阵,所以0A,故1TQA bA.由此可知Q可逆的充要条件是0Q,即10TbA,亦即1TAb.评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清1TA是 1 阶矩阵,是一个数.【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则*,*AOAABBOB*1*mnOAAABBBO.2.行列式乘积公式：设,A B是两个n阶矩阵,则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积,即ABA B.十、(本题满分 10 分)十、(本题满分 10 分)【解析】(1)设A的属于3的特征向量为3123Tx,x,x,因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,故1312323123020TTxxx,xxx.解上述方程组,设方程组的系数矩阵为111121B,对B进行初等行变换：111111101121030010B,系数矩阵的秩为 2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个数为 1,解得1 0 1T,即A的对应于3的特征向量为31 0 1Tk,其中k为非零常数.(2)方法 1：方法 1：令123111120111P,则有1100020003P AP,即1AP P,其中1P计算如下：关注公众号【考研题库】保存更多高清资料12 21131131222313131121111 100111100120 010031110111 0010021011111103332211010011111030101022636001001111100222P E 2得122211216303P,11111002221325111200201212102661110033035213AP P.方法 2方法 2：因A是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵Q(对P单位化),使1TQ AQQ AQ,TAQ Q,其中11136212036111362Q.111111362333100121210020366660031111103622211111136233313251224210210263666652111133036222TAQ Q 3.方法 3：方法 3：由于矩阵A的特征值是 1,2,3,特征向量依次为123,利用分块矩阵有123123(,)(,2,3)A .关注公众号【考研题库】保存更多高清资料13因为123,是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵123(,)可逆.故11123123123111(,2,3)(,)1401201231111232221325111401212102.661233035213A 【评注】本题有两个难点,一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息,通过正交性求出3,另一个难点就是反求矩阵A.十一、(本题满分 7 分)十一、(本题满分 7 分)【分析】求分布函数()F xP Xx实质上是求Xx的概率.【解析】由X的绝对值不大于 1,可得当1x 时,()0F xP Xx；当1x 时,()1F xP Xx；又111,184P XP X,则115 111111848PxP XP X ；由题意X在(1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当X的值属于(1,1)的条件下,事件1Xx 的条件概率为：(1)11|111(1)2xxPXxXkk (其中k为比例正常数),又11|111PXX ,而1 111|112PXXkk ,所以1k,故11|112xPXxX ；当11x 时,1111XxXxX ,所以11,11PXxPXxX .由条件概率公式,有关注公众号【考研题库】保存更多高清资料1411,111|11 111555,2816PXxPXxXPXxXPXxx ()11F xP XxP XPXx ,而11111088P XP XP X ,所以15557()1181616xxF xP XxP XPXx ,故所求的X的分布函数为0,157(),11161,1xxF xxx .十二、(本题满分 6 分)十二、(本题满分 6 分)【解析】已知X在0,60上均匀分布,则其密度函数为：1,160,()600,xf x 其他.设Y表示游客等候电梯的时间(单位：分钟),由于电梯于每个整点的第 5 分钟,25 分钟,55 分钟起行,则当05X时,游客需等候时间5YX；当525X时,游客需等候时间25YX；当2555X时,游客需等候时间55YX；当5560X时,游客需等候时间60565YXX(这个时间段到达,就需要等下个整点的第分钟,所以是605X).故Y是关于到达时刻X的函数：5,05,25,525,()55,2555,65,5560.XXXXYg XXXXX由随机变量函数期望的定义,有525556005255511()()()()60601(5)(25)(55)(65)601(12.520045037.5)11.67.60EYg x f x dxg x dxg x dxx dxx dxx dxx dx关注公众号【考研题库】保存更多高清资料15【相关知识点】1.随机变量函数期望的定义：若随机变量()Yg X,且EY存在,则有()()EYg x f x dx.十三、(本题满分 6 分)十三、(本题满分 6 分)【解析】设12XX和表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则两台记录仪无故障工作的总时间为12TXX.由于每台无故障工作的时间都服从参数为的指数分布,则12XX和的概率密度函数为55,0()0,0 xexf xx.因为两台仪器是独立的,则其无故障工作的时间显然也是相互独立的,即12XX和独立,应用两个独立随机变量之和的卷积公式：当0t 时,T的概率密度为55()5120()()()2525txt xtf tf x f tx dxeedxte.当0t 时,()0f t,即525,0,()0,0.ttetf tt由指数分布的期望和方差的结论,有12115EXEX,1221125DXDX,由期望的性质,有1212112()555ETE XXEXEX,由独立随机变量方差的性质,有1212112()252525DTD XXDXDX.【相关知识点】1.指数分布的期望和方差的结论：若X服从参数为的指数分布,则其期望1EX,方差21DX.2.X与Y相互独立,数学期望和方差的性质:()()()E aXbYcaE XbE Yc,22()()()D aXbYca D Xb D Y,其中,a b c为常数.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料