150概率论晓千老师讲义1-3考研资料.pdf

2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 1 第一章第一章 事件与概率事件与概率 重点题型重点题型一一 事件事件的的关系关系、运算运算与概率的性质与概率的性质【例【例 1】设,X Y为随机变量，且305P XY=，4max(,)05PX Y=，则min(,)0PX Y=【】（A）15 （B）25 （C）35 （D）45【详解】【详解】选（D）设0AX=，0BY=，则 min(,)0()()()()344 01max(,)01555PX YP ABP ABBAABP ABBAP ABP XYPX Y=+=+=+=重点题型重点题型二二 三大三大概率公式概率公式的计算的计算【例【例 2】设,A B为随机事件，且()0.4P A=，(|)0.5P B A=.已知A和B中至少有一个不发生，则A发生B不发生的概率为 .【详解】【详解】由()()()0.4 0.50.2P ABP A P B A=，得()()()()()P AB ABP ABP AB ABP ABP AB=()()0.40.211()1 0.24P AP ABP AB=【例【例 3】设袋中有a个红球，2a个白球，随机地取出一球，若是红球，则将该球放回再加入a个红球，重复进行，直至取到白球为止，则第n次才取到白球的概率为 .【详解】【详解】设Ai=第i次取到白球，in1,2,=，则 1211211212(2)2()()()()3 43(2)3(1)1 2 3124 3 4 512(1)(2)nnnnaaanaaP A AAAP A P A AP A A AAaaana anannnn nn+=+=+2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 2【例【例 4】设随机变量()XP，随机变量Y在0 X中随机取值，则2P Y=.【详解】【详解】10222122|1!(1)!1 kkkkkkeP YP YXk P Xkekkkeeee+=+=【例【例 5】设X为三个同类产品中次品的个数，且32EX=.现从中任取一个产品，则该产品是次品的概率为 .【详解【详解一一】设X 01230123pppp，则12323EXppp=+.设A=该产品是次品，则 330011()332iiiiP AP Xi P A XipEX=【详解【详解二二】由题设知(3,)XBp，332EXp=，得12p=.第二章第二章 一维随一维随机变机变量量 重点重点题型题型一一 分布函数分布函数的判定与计算的判定与计算 【例【例 6】抛掷两枚骰子，直到至少一枚骰子出现 6 点为止，则抛掷次数X的分布函数为【详解】【详解】设A=第一枚骰子出现 6 点，B=第二枚骰子出现 6 点，C=出现 6 点，则.11()()1()1()()36P CP ABP ABP A P B=X的概率分布为111 25,1,2,336 36kP Xkk=，故X的分布函数为 1 0,1 0,1,()25,11,136xxkxxF xP XxP Xkxx=时，2()()f xF xk+=，其中12,k k为常数.（I）求12,k k及()f x；（II）求2P aXa时，由2()()f xF xk+=，得2()()F xF xk+=，解得22()xF xkc e=.由22lim()lim()1xxxF xkc e+=，得21k=，故2()1xF xc e=.由0lim()(0)xF xF+=，得21c=，故()1xF xe=，从而1,0()0,0 xexF xx=，故,0()0,0 xexf xx=.（II）当0a 时，20P aXa=；当0a 时，222112()24axaaaaP aXae dxeee+与s无关 若X的密度函数为21,1()0,1xf xxx=，则当1t 时，2|P Xt Xt与t无关 若()XG p，则|P Xmn Xm+与m无关 若X的概率分布为1,1,2,(1)P Xkkk k=+，则2|P Xn Xn与n无关（A）1（B）2 （C）3 （D）4 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 4【详解】【详解】选（D）由八大分布的无记忆性、均正确；1212212P XttP Xt XtP Xtt=，与t无关；1212212P XnnP Xn XnP Xnn=，与n无关，故应选（D）.【评注评注】八大分布的无记忆性：（1）设()XG p，则对任意正整数,m n，有|P Xmn XmP Xn+=，|P Xmn XmP Xn=+=（2）设()XE，则对任意0s，0t，有|P Xst XsP Xt+=，|0P Xst XsPXt+=【例例 9】设随机变量X服从参数为6的泊松分布，则当P Xn=最大时，n=.【详解】【详解】由题设得11P XnP Xnn=+=+.当为非正整数，n=时，P Xn=最大.事实上，111P XP X=+=+=，即 1P XP X=+=，即 1P XP X=，故当6=2n=时，2P X=最大.重点题型重点题型四四 求求一一维维连续型连续型随机变随机变量函数量函数的的分分布布【例【例 10】设随机变量X的概率密度为2221,0()2 ,0 xxexf xex=.（I）求2YX=的概率密度()Yfy；（II）求EY.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 5【详解】【详解】（I）【方法一方法一】Y的分布函数为2()YFyP YyP Xy=当0y 时，()0YFy=；当0y 时，()()()YXXFyPyXyFyFy=故Y的概率密度为22111()(),0()222 0,0yyXXYfyfyeeyfyyyy+=+=【方法方法二二】当0 x 时，xy=，2111()()222yYXfyfyeyy=；当0 x 时，xy=，211()()22yYXfyfyeyy=，故Y的概率密度为2211,0()22 0,0yyYeeyfyyy+=+=+2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 6（II）因为X在0,1上取值，所以13()44F XX=+，从而1()14F X，故0ln()ln4YF X=.()ln()YFyP YyPF Xy=，当0y 时，()0YFy=；当0ln4y时，1341()ln44344141 1113434yYyyyFyPXyP XeP XeFee=+=当ln4y 时，()1YFy=.故 0,0()1,0ln4 1,ln4yYyFyeyy=.【例【例 12】设随机变量1,1XU，0,10.51,0.51XYX=，0.5ZX=.（I）求Y的概率分布；（II）求Z的概率密度()zfz；（III）求UYZ=的分布函数()UFu.【详解】【详解】（I）由题设得Y概率分布为010.750.25Y.（II）【方法一方法一】Z的分布函数为()0.5zF zP ZzP Xz=，当0z 时，()0zF z=；当00.5z时，()0.50.5zF zPzXzz=+=；当0.51.5z时，()0.510.250.5zF zPzXz=+；当1.5z 时，()1zF z=.故Z的概率密度为 1,00.5()0.5,0.51.5 0,zzfzz=其他.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 7【方法方法二二】当0.51x时，0.5zx=，00.5z，0.5xz=+，1()(0.5)2ZXfzfz=+=；当10.5x 时，0.5zx=，01.5z，xz0.5=，1()(0.5)2ZXfzfz=，故Z的概率密度为 1,00.5()0.5,0.51.5 0,zzfzz=其他.（III）由题设得 0,10.50.5,0.51XUYZXX=.U的分布函数为()UFuP Uu=当0u 时，()0UFu=；当0.5u 时，()1UFu=；当00.5u时，()10.50.750.5UFuPXuu=+=+故 0,0()0.750.5,00.5 1,0.5UuF uuuu=+；（II）求Z的概率密度()Zfz；（III）求E X.【详详解解】（I）X的概率密度为,0()0,0 xexf xx=.Y的概率分布为(1)1111111 (1)(1,2,)kxkkkkP YkPXkPXkP kXke dxeeeek=+=（）故()YG p，其中11pe=.由几何分布的无记忆性得 11P 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 8（II）【方法【方法一】一】Z的分布函数为()ZFzP ZzP XXz=当0z 时，()0ZFz=；当1z 时，()1ZFz=；当01z时，100001()()(1)1zk zxkk zzkZkkkkkeFzP kXkze dxeeeee+=+=故Z的概率密度为,01()1 0,zZeezfze=其他.【方法【方法二二】在),1k k+内 zxxxk=单调递增，值域为)0,1，反函数为xzk=+，()z kZfze=，01z kzkeeee=，故Z的概率密度为,01()1 0,zZeezfze=其他.（III）【方法一】【方法一】2310121223111211()lim2 lim2()()1 lim()11nxxxxnnnnnnnnE Xx f x dxx e dxe dxe dxne dxeeeen eeeeeeneee+=+=+=+=【方法【方法二二】由 102()11zZeeEZzfz dzze dzee+=得 21111eE XEXEZee=【方法【方法三三】1111111E XEYee=2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 9【例例 14】设随机变量(0,1)XN，max,0YX=.（I）求Y的分布函数()YFy，并讨论其间断点的类型；（II）求EY，DY；（III）求(,)Cov X Y.【详解详解】（I）Y的分布函数为()max,0YFyP YyPXy=当0y 时，()0YFy=；当0y 时，()()YFyP Xyy=.由于 1(00)(0)(00)02YYFF+=故0y=为()YFy的跳跃间断点.（II）由 22022200max,0max,0()()111 2222xxEYEXxx dxxx dxxxedxed+=22220222max,0max,0()()1111 ()()2222EYEXxx dxxx dxxx dxEXDXEX+=+=得 2211()22DYEYEY=（III）22(,)()max,0max,0()11 ()()2Cov X YE XYEX EYE XXxxx dxxx dxxx dx+=2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 10 第第三三章章 二维随机变量二维随机变量 重点题型重点题型一一 联合联合分布分布函数函数的的计算计算【例【例 15】设随机变量(1)XE，2YX=，则(,)X Y的联合分布函数(,)F x y=.【详解】【详解】2(,),F x yP Xx YyP Xx Xy=，当0 x 或0y 时，(,)0F x y=；当0yx时，0(,),01yyxF x yP XxyXyPXye dxe=当0 xy时，0(,)01xtxF x yPXxe dte=故 1,0(,)1,0 0,yxeyxF x yexy=其他【例【例 16】求(,)X Y的联合分布函数(,)F x y.（1）设2,01(,)0,xyf x y=其他（2）设2,0,0,1(,)0,xyxyf x y+=其他【详【详解解】均匀分布的概率等于面积比.(,)(,)xyF x yduf u v dv=（1）当0 x 或0y时，(,)0F x y=；当01xy时，2(,)2F x yxyx=；当01x，1y 时，2(,)2F x yxx=；当01y，xy时，2(,)F x yy=；2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 11 当1x，1y 时，(,)1F x y=.故 222 0,002,01(,)2,01,1 ,01,1 1,11xyxyxxyF x yxxxyyyxxy=或,（2）当0 x 或0y时，(,)0F x y=；当0,0,1xyxy+时，(,)2F x yxy=；当0,0,12xyxy+时，22(,)1(1)(1)F x yxy=；当1,01xy时，(,)(2)F x yyy=；当1,01yx时，(,)(2)F x yxx=；当1x，1y 时，(,)1F x y=.故 220,002,0,0,11(1)(1),0,0,12(,)(2),1,01(2),1,011,1,1xyxyxyxyxyxyxyF x yyyxyxxyxxy+=或 重点题型重点题型二二 二维离散型随机变量二维离散型随机变量分布分布的计算的计算【例例 17】设随机变量,X Y均服从101113828，2X与2Y相互独立，且1104PXY+=.若max,UX Y=，min,VX Y=.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 12（I）求(,)X Y的联合概率分布；（II）判定X与Y是否相互独立；（III）求(,)Cov U V.【详解】【详解】（I）由2X与2Y相互独立，得 220,00,0P XYP XY=22100004P XP YP XP Y=由 101,01,10,11 0,01,14PXYP XYP XYP XYP XYP XY+=+=+=+=+=得 1,01,10,11,10P XYP XYP XYP XY=故(,)X Y的联合概率分布为 Y X 1 0 1 ip 1 1 8 0 0 1 8 0 0 1 4 1 4 1 2 1 0 1 4 1 8 3 8 jp 1 8 1 2 3 8 1（II）由于 11,18P XY=11164P XP Y=故X与Y不相互独立.（III）(,)U V的联合概率分布为 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 13 V U 1 0 1 ip 1 1 8 0 0 1 8 0 0 1 4 0 1 4 1 0 1 2 1 8 5 8 jp 1 8 3 4 1 8 1 故 111(,)()(1)(1)884Cov U VE UVEU EV=+=重点题型重点题型三三 二维二维连连续续型型随机随机变量变量分分布布的计算的计算【例例 18】设二维随机变量(,)X Y的联合概率密度为(,)f x y，联合分布函数为(,)F x y.（1）若UY=，2VX=，（2）若2UY=，VX=，（3）若UX=，VXY=+，求(,)U V的联合概率密度.【详解】【详解】（1）令UY=，2VX=，则(,)U V的联合分布函数为(,),2,22UVvvFu vP Uu VvP YuXvP XYuFu=得(,)U V的联合概率密度为2(,)1(,),22UVUVFu vvfu vfuu v=.（2）令2UY=，VX=，则(,)U V的联合分布函数为(,),2,2 ,2222UVuFu vP Uu VvPYuXvP Xv YuuuuP YP Xv YFFv=+得(,)U V的联合概率密度为2(,)1(,),22UVUVFu vufu vfvu v=2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 14（3）令UX=，VXY=+，则(,)U V的联合分布函数为 ,(,),(,)(,)UVuv xx u x y vFu vP Uu VvP Xu XYvf x y dxdyf x y dy dx+=+=(,)(,)v uUVFu vf u y dyu=，得(,)U V的联合概率密度为2(,)(,)(,)UVUVFu vfu vf u vuu v=.【例例 19】设随机变量(,)X Y的联合概率密度为8,01(,)0,xyyxf x y=其他，求|P YEY XEX=.【详解【详解】X的边缘概率密度为 3084,01()(,)0,xXxydyxxfxf x y dy+=其他 故 1404()45XEXxfx dxx dx+=在45X=的条件下，Y的条件概率密度为 4254,0458545 0,5Y XXfyyyfyf=其他 又 112400088(,)8315xEYyf x y dxdyxdxy dyx dx+=故 881515|0844254|155589Y XP YEY XEXP YXfydyydy=重点题型重点题型四四 关于二维正态分布关于二维正态分布【例例 20】设(,)X Y的联合概率密度为2221(,)2xyf x ye+=，则P YX=.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 15【详解【详解一一】222225422042220011(,)22111 2222xyry xy xrrP YXf x y dxdyedxdyderdrrede+=【详详解解二二】由题设知(,)(0,0;1,1;0)X YN，(0,2)YXN，故102P YXP YX=;【详解【详解三三】由对称性P YXP XY=，1P YXP XY+=，故12P YX=.【例【例 21】设随机变量1(,)0,0;1,4;2X YN，()x为标准正态分布函数(1)0.8413)=，2UXY=，2VXY=+.（I）求(,)U V的联合概率密度；（II）求22|21P YXYXY+=.【详【详解解】（I）由于1(,)0,0;1,4;2X YN，故(0,4)UN，(0,12)VN.又2121UXVY=，且214021=，故(,)U V服从二维正态分布.由(,)(2,2)40Cov U VCovXYXYDXDY=+=得0UV=，从而U与V相互独立，故(,)U V的联合概率密度为 22221832 42 12111(,)()()2 22 2 38 3vuvuUVf u vfu fveee+=（II）22|2102|102 01(1)(0)0.34132P YXYXYPUVUUP+=当0yx时，21212(,),(1)yF x yP Xy XyP Xy P Xye=当0 xy时，12121212222(,),(1)()122yxyyxx yF x yP Xy XyP xXy xXyP Xy P XyP xXy P xXyeeeeee=+故(,)X Y的联合概率密度为22,0(,)(,)0,x yexyF x yf x yx y 时，0()21x zx yzZxFzdxedye+=故Z的概率密度为,0()0,0zZezfzz=.【方【方法法二二】由卷积公式得()(,)Zfzf x xz dx+=+，其中22,0,0(,)0,x zexzf x xz+=其他.当0z 时，()0Zfz=；当0z 时，20()2x zzZfzedxe+=故Z的概率密度为,0()0,0zZezfzz=.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 17【评评注注】二维连续型随机变量线性组合的卷积公式：设ZaXbY=+，则 11(),Zzaxzbyfzfxdxfy dybbaa+=【例例 23】设随机变量X与Y相互独立同分布，概率密度为()f x，分布函数为()F x.若()UF X=，()VF Y=，2ZUV=+.（I）求(,)U V的联合概率密度；（II）求Z的概率密度()Zfz.【详解】【详解】（I）U的分布函数为()()UFuP UuP F Xu=当0u 时，()0UFu=；当1u 时，()1UFu=；当01u时，11()()()UFuPF FuuXFu=故U的概率密度为1,01()0,Uufu=其他.同理V的概率密度为1,01()0,Vvfv=其他.由X与Y相互独立，知U与V相互独立，故(,)U V的联合概率密度为 1,01,01(,)()()0,UVuvf u vfu fv=其他（II）【方【方法一法一】Z的分布函数为 2()2(,)Zuv zFzP ZzP UVzf u v dudv+=+=当0z 时，()0ZFz=；当3z 时，()1ZFz=.当01z时24z 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 18 当12z时，1()24ZzFz=当23z时，2(3)()14ZzFz=故Z的概率密度为 ,0121 ,12()23,232 0,Zzzzfzzz=其他【方方法二】法二】由卷积公式得()(2,)Zfzf zv v dv+=，其中1,221,01(2,)0,vzvvf zv v+=其他.当01z时，20()2zZzfzdv=当12z时，2121()2zzZfzdv=当23z时，1123()2zZzfzdv=故Z的概率密度为 ,0121 ,12()23,232 0,Zzzzfzzz=其他【例例 24】设随机变量(,)X Y的联合概率密度为3,01(,)0,yxyf x y=其他，ZXY=.（I）求Z的概率密度()Zfz；（II）求(,)Cov X Z.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 19【详解】【详解】（I）【方法一】【方法一】Z的分布函数为()(,)Zxy zFzP ZzP XYzf x y dxdy=当0z时，()0ZFz=；当1z 时，()1ZFz=；当01z时，31122()1 31 3()32yzZzzyFzydydxyz dyzz=故Z的概率密度为3(1),01()0,Zzzfz=其他.【方方法二】法二】由卷积公式得1(),Zzfzfy dyyy+=，其中23,0,01,0,yzyyzfyy=其他，故Z的概率密度为 1133(1),01()0,zZydyzzyfz=时，2221222122222120011()122xxrxxXxxxFxedx dxderdre+=故X的概率密度为21,0()2 0,0 xXexfxx=.（II）令2234YXX=+，则X与Y相互独立均服从12E，故(,)X Y的联合概率密度为 1()21,0,0(,)4 0,x yexyf x y+=其他 由卷积公式得ZXY=+的概率密度为()(,)Zfzf x zx dx+=，其中 21,0,(,)4 0,zexzxf x zx=其他.当0z 时，()0Zfz=；当0z 时，2201()44zzzZzfzedxe=，故Z的概率密度为2,0()4 0,0zZzezfz=2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 21 重点题型重点题型七七 求求一一离离散一散一连续连续随机变量随机变量函数函数的的分分布布【例例 26】设随机变量X与Y相互独立，(1)XE，11,2YB.若ZXY=.（I）求Z的概率密度()Zfz；（II）求E Z，D Z.【详解【详解】（I）Z的分布函数为 (),01,11 011121 ()(1)2ZXXFzP ZzP XYzP Xz YP XzYP Xz P YP XzP YP XzP XzFzFz=+=+=+=+故Z的概率密度为 11 0,111()()(1),10221(),02zZXXzzzfzfzfzezeez =+=+（II）由 01110010011()()2211111111 (1)2222222zzzZzzzE Zz fz dzzedzz eedzzeze dzze dzeeeee+=+=+=+=+022212110022210011()()221111113 (22)122222zzzZzzzEZz fz dzz edzzeedzzzez e dzz e dzeeee+=+=+=+=或 22222113()()()11422EZE XYD XYE XYDXDYEXEY=+=+=+=得 222511()4D ZEZE Zee=2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 22【例【例 27】设随机变量12,X Y Y相互独立，11,2XB，12,Y Y均服从区间0,1上的均匀分布.若 1XYU=，2(1)VX Y=，ZUV=+.（I）求Z的概率密度()Zfz；（II）求U与V的相关系数.UV【详解】【详解】（I）Z的分布函数为 12212121()(1),0,1011 2ZFzP ZzP UVzP XYX YzP Yz XP Yz XP Yz P XP Yz P XP YzP Yz=+=+=+=+=+当0z时，()0ZFz=；当1z 时，()1ZFz=；当01z时，()ZFzz=，故Z的概率密度为1,01()0,Zzfz=其他.（II）由1 2(1)0UVXX YY=，得 1212(,)()()(1)11111 (1)1222216Cov U VE UVEU EVE XY EX YEX EY EXEY=又 222222111112222()()()()()1111115 421222248DUD XYE XYE XYEXEYEXEY=+=同理548DV=，故U与V的相关系数为(,)35UVCov U VDUDV=