高数第5讲：多元函数积分学[数一]-打印版.pdf

高数第5讲：多元 函数积分学数一 预备知识 二重积分 三重积分68 第一型曲线积分25 第一型曲面积分20 第二型曲线积分49 第二型曲面积分43 高数第5讲：多元 函数积分学数一 预备知识 空间曲线的切线和法平面 题型 参数方程 方程组 公式 切向量 切线方程 法平面方程 空间曲面的法线和切平面 题型 隐式方程 F(x,y,z)=0 显式方程 移项，化为隐式方程 参数方程 公式 法向量 法线方程 切平面方程 空间曲线在坐标面上的投影 在xOy面上投影 消去z，同时z=0 在yOz面上投影 消去x，同时x=0 在zOx面上投影 消去y，同时y=0 旋转曲面方程 绕直线s|M0P|=|M0M1|M1P s 绕x轴|OP|=|OM1|x=x1 绕y轴|OP|=|OM1|y=y1 绕z轴|OP|=|OM1|z=z1 向量的运算 数量积（内积，点积）ab 数 abab=0 a在b上的投影 向量积（外积，叉积）ab 向量 a/b对应分量成比例 混合积(ab)c 向量 方向：右手规则 三向量共面(ab)c=0 方向角 方向余弦 cos=ax/|a|cos=ay/|a|cos=az/|a|单位向量 a0=a/|a|=(cos,cos,cos)任意向量 a=xi+yj+zk=(r*cos,r*cos,r*cos)直线、平面的位置关系 直线 一般式 点向式，标准式，对称式 参数式 两点式 平面 一般式 点法式 三点式 截距式 平面束方程,位置关系 点到平面的距离 直线与直线 垂直 平行 夹角 平面与平面 垂直 平行 夹角 平面与直线 垂直 平行 夹角 场论初步 方向导数u/n u/n=grad u n0=|grad u|cos 梯度grad u grad u=(u/x,u/y,u/z)旋度rot A 场在(x,y,z)处最大旋转趋势 rot A=0 无旋场 积分与路径无关，换个路径积分 散度div A A=Pi+Qj+Rk div A=P/x+Q/y+R/z 场在(x,y,z)处源头强弱程度 div A=0 无源场 积分与路径无关，换个面积分 二重积分 三重积分68 第一型曲线积分25 第一型曲面积分20 第二型曲线积分49 第二型曲面积分43 a与x，y，z轴正向的夹角，高数第5讲：多元 函数积分学数一 预备知识 二重积分 概念 f(x,y)dxdy 和式极限 D为长方形区域 对称性 普通对称性 D关于y轴对称 f(x,y)=-f(-x,y)，则fd=0 D关于x轴对称 f(x,y)=-f(x,-y)，则fd=0 D关于原点对称 f(x,y)=-f(-x,-y)，则fd=0 D关于y=x对称 f(x,y)=-f(y,x)，则fd=0 D关于y=a(0)对称 f(x,y)=-f(x,2a-y)，则fd=0 D关于x=a(0)对称 f(x,y)=-f(2a-x,y)，则fd=0 轮换对称性 在直角坐标系下，x,y对调后，D不变，则 f(x,y)d=f(y,x)d 二重积分比大小 用对称性 用保号性 周期性 化为累次积分后，利用一元积分的周期性 计算98 应用 面积 S=d 柱体体积 z=z(x,y)V=|z|d 总质量 m=d 质心 x拔=(xd)/(d)y拔=(yd)/(d)转动惯量 Ix=(y2*)d Iy=(x2*)d Io=(x2+y2)*d 三重积分68 第一型曲线积分25 第一型曲面积分20 第二型曲线积分49 第二型曲面积分43 高数第5讲：多元 函数积分学数一 预备知识 二重积分 概念24 计算 直角坐标系与换序 后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限 类型 先y后x 先x后y 极坐标系与换序 极直互化 x=r*cos y=r*sin dxdy=rdrd 类型 先r后 先后r 关于积分区域D 图形变换 平移变换 左加右减 上加下减 对称变换 关于x轴对称-f(x)关于y轴对称f(-x)关于原点对称-f(-x)关于y=x对称f反(x)|f(x)|下翻上，去掉下 f(|x|)右翻左，去掉左 伸缩变换 水平伸缩f(k*x)k1缩短到1/k倍 0k1伸长到k倍 0k1缩短到k倍 直角坐标系方程给出 已知曲线 x+y=1 x2+y2=1 x+y=1 未知曲线 描特殊点，确定定义域、值域 用图形变换 用导数工具 一阶导数 定单调性 定驻点 二阶导数 定凹凸性 定拐点 极坐标系方程给出 已知曲线 心形线 r=a(1-cos)r=a(1+cos)阿基米德螺线 r=a 伯努利双纽线 r2=(a2)*(sin 2)r2=(a2)*(cos 2)未知曲线 描特殊点，确定定义域、值域 用图形变换 极直互化 参数方程给出 已知曲线 摆线 x=a(t-sin t)y=a(1-cos t)0=t=2 星形线 x=a*(cos t)3 y=a*(sin t)3 未知曲线 描特殊点，确定定义域、值域 化为直角系/极坐标系方程 动区域（含其他参数）关于被积函数f(x,y)分段函数，含绝对值f(|x|)或|f(x)|最大值函数max，最小值函数min 取整函数f(x)符号函数sgn f(x)抽象函数f,g 复合函数f(u),u(x,y)偏导函数 换元法 一元积分 换被积函数 x=u(t)换积分区间 x(a,b)换为t(,)换微分 dx换为udt 二重积分f(x,y)dxdy 换被积函数 x=x(u,v)y=y(u,v)换积分区域D Dxy换为Duv 换微分 dxdy换为|J|dudv 应用14 三重积分68 第一型曲线积分25 第一型曲面积分20 第二型曲线积分49 第二型曲面积分43 高数第5讲：多元 函数积分学数一 预备知识 二重积分 三重积分 概念 f(x,y,z)dxdydz 对称性 计算 直角坐标系 先一后二 先z后x,y 投影穿线法 先二后一 先x,y后z 定限截面法 柱面坐标系（极坐标）柱直互化 x=r*cos x=r*sin z=z dv=rdrddz 类型 先r,后z 先z后r,球面坐标系 球直互化 x=r*sin*cos x=r*sin*sin z=r*cos dv=r2*sin*drdd 关于积分区域 球面 z=(a2-x2-y2)椭球面(x2/a2)+(y2/b2)+(z2/c2)=1 平面 ax+by+cz+d=0 锥面 z=(x2+y2)旋转抛物面 z=(x2+y2)/a 柱面（缺1个字母）x2+y2=a2(缺z)旋转曲面 如z=y2且x=0 动区域（含其他参数）x+y+z=a 关于被积函数f(x,y,z)一般较简单 换元法 换被积函数 x=x(u,v,w)y=y(u,v,w)z=z(u,v,w)换积分区域 xyz换为uvw 换微分 dxdydz换为|J|dudvdw 应用 体积 V=dv 总质量 m=dv 重心 x拔=(xdv)/(dv)y拔=(ydv)/(dv)z拔=(zdv)/(dv)转动惯量 Ix=(y2+z2)*dv Iy=(z2+x2)*dv Iz=(x2+y2)*dv Io=(x2+y2+z2)*dv 第一型曲线积分25 第一型曲面积分20 第二型曲线积分49 第二型曲面积分43 高数第5讲：多元 函数积分学数一 预备知识 二重积分 三重积分68 第一型曲线积分 概念 f(x,y)ds 对称性 x2+y2，xy，|x|，|y|普通对称性 轮换对称性 计算 一投二代三计算，化为定积分 ds=1+y(x)2dx ds=x(t)2+y(t)2dt ds=r()2+r()2d 应用（物质曲杆）弧长 L=ds 总质量 m=ds 质心 x拔=(xds)/(ds)y拔=(yds)/(ds)z拔=(zds)/(ds)转动惯量 Ix=(y2+z2)*ds Iy=(z2+x2)*ds Iz=(x2+y2)*ds Io=(x2+y2+z2)*ds 第一型曲面积分20 第二型曲线积分49 第二型曲面积分43 高数第5讲：多元 函数积分学数一 预备知识 二重积分 三重积分68 第一型曲线积分25 第一型曲面积分 概念 f(x,y,z)dS 对称性 计算 一投二代三计算，化为二重积分 dS=1+z(x)2+z(y)2dxdy 应用（物质曲面）曲面面积 S=dS 总质量 m=dS 质心 x拔=(xdS)/(dS)y拔=(ydS)/(dS)z拔=(zdS)/(dS)转动惯量 Ix=(y2+z2)*dS Iy=(z2+x2)*dS Iz=(x2+y2)*dS Io=(x2+y2+z2)*dS 第二型曲线积分49 第二型曲面积分43 高数第5讲：多元 函数积分学数一 预备知识 二重积分 三重积分68 第一型曲线积分25 第一型曲面积分20 第二型曲线积分 概念 做功 平面(Pdx+Qdy)空间(Pdx+Qdy+Rdz)计算 基本方法 一投二代三计算，化为定积分 关键：起点/终点对应 格林公式 旋度rot A 场在(x,y,z)处最大旋转趋势 rot A=0 无旋场 积分与路径无关，换个路径积分(Pdx+Qdy)=(Q/x-P/y)d L正向 曲线封闭，内部无奇点 直接用格林公式 曲线封闭，内部有奇点，奇点外Q/xP/y 换路径 令分母=常数 路径的起点终点【不需要】和原路径重合 曲线非封闭，Q/xP/y 换路径 路径的起点终点【需要】和原路径重合 曲线非封闭，补线使其封闭 加线减线 积分与路径无关(Pdx+Qdy)=0 Q/xP/y 关键词：与路径无关，全微分，全微分方程，梯度 如何求u 找一条方便的路径 折线路径 凑微分，写成du(x,y)空间问题 参数方程简单，或 曲线不在同一平面 一投二代三计算，化为定积分 曲线封闭，在同一平面 斯托克斯公式 rot A=0 换路径 两类曲线积分的关系(Pdx+Qdy)=(Pcos+Qsin)ds dx=(ds)*cos dy=(ds)*sin(cos,sin)与L同向的单位切向量 第二型曲面积分43 高数第5讲：多元 函数积分学数一 预备知识 二重积分 三重积分68 第一型曲线积分25 第一型曲面积分20 第二型曲线积分49 第二型曲面积分 概念 通量(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)计算 基本方法 一投二代三计算，化为二重积分 分成三个积分，一个一个计算 投影时不能重合 dxdy=dxdy（锐角正，钝角负）的法向量和z轴的交角=锐角：取+的法向量和z轴的交角=钝角：取-转换投影法 统一投影到某个平面 z=z(x,y)求导简单时考虑 高斯公式 散度div A A=Pi+Qj+Rk div A=P/x+Q/y+R/z 场在(x,y,z)处源头强弱程度 div A=0 无源场 积分与路径无关，换个面(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)=(P/x+Q/y+R/z)dv 外侧 曲面封闭，内部无奇点 直接用高斯公式 曲面封闭，内部有奇点，奇点外div F=0 换个面 边界【不需要】和原曲面重合 曲面非封闭，div F=0 换个面 边界【需要】和原曲面重合 曲面非封闭，补面使其封闭 加面减面 曲面积分为0 div F=0 建立微分方程 两类曲面积分的关系(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)=(Pcos+Qcos+Rcos)dS dydz=(dS)*cos dzdx=(dS)*cos dxdy=(dS)*cos(cos,cos,cos)与同侧的单位法向量