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1高中知识在考研数学中的应用高中知识在考研数学中的应用一、指数对数运算法则一、指数对数运算法则1.指数运算指数运算基本运算：,nmmnm nmmnmma aaaaaba b.转化运算：11021,1,nnaaaaaaa.例 1.化简3322411113342a baba ba b.【答案】ab2.对数运算对数运算定义：若0,1bac aa，则logabc.最常用的对数为自然对数，即以e=2.71828为底的对数，若eyx，则有elogyx，简记为lnyx.基本运算：lnlnln,lnlnln,lnlnmaabababamab.2对数恒等变形：lneaa.例 2.对1111xxaxa做对数恒等变形.【答案】ln1lnln1exaxax.二、数列与数学归纳法二、数列与数学归纳法1.等差数列等差数列递推公式1nnaad，通项公式11naand，前n项和12nnn aaS.2.等比数列等比数列递推公式10nnaqa，通项公式11nnaa q，前n项和111,1.1,1.nnaqqSqnaq3.数列的单调性数列的单调性如果10nnaa，那么这个数列为单调递增数列；如果10nnaa，那么这个数列为单调递减数列.4.数学归纳法数学归纳法数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个命题在自然数范围内成立.其一般3步骤如下：第一步：验证 n 取第一个自然数时成立；第二步：假设nk时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中推导处理在1nk时假设的原式成立.最后一步总结表述.例 3.证明：2221121216nn nn.例 4.设10a，1sinnnaa，证明数列 na是单调递减的数列.4三、三角函数三、三角函数1.同角关系同角关系1cos11cot,sec,csc,tansincossinxxxxxxxx2222tan1sec,cot1csc.xxxx 2.万能公式万能公式22221sin,cos,tan112ttxxxttt.3.辅助角公式辅助角公式22sincossinAxBxABx，其中满足tanBA.4.反三角函数反三角函数当,2 2 时，将siny的反函数定义为反三角函数arcsin y，将tany的反函数定义为反三角函数arctan y.当0,时，将cosy的反函数定义为反三角函数arccos y，将coty的反函数定义为反三角函数arccot y.可以认为反三角函数的自变量是数字，函数值是角度.例 5.证明：arcsinarccos,arctanarccot22xxxx.5例 6.用万能公式化简csc1csccot1xxx.【答案】12t，其中tan2xt.例 7.设tanxu，其中0,2u，将2sintanln seccosuuuuu化为x的函数.6【答案】222221arctanln111xxxxx7极极限限一、一、数列的极限数列的极限1数列极限的定义数列极限的定义对于任意给定的正数总存在正整数N，使得对于nN时的一切nx不等式nxa都成立，则称常数a是数列nx的极限，或者称数列nx收敛于a，记为limnnxa或nxa n简写定义：简写定义：limnnxa0，NN，当Nn 时，有nxa【注【注】（1）当n 时，nx的值无限趋近于a；若n为有限的数时，nx的值不一定无限趋近于a（2）用极限定义证明极限存在性只需做一般了解（3）nx的极限存在数列 nx收敛；nx的极限不存在数列 nx发散2收敛数列的性质收敛数列的性质性质性质 1（极限的唯一性）（极限的唯一性）如果数列nx收敛，那么它的极限唯一性质性质 2（收敛数列的有界性）（收敛数列的有界性）如果数列nx收敛，那么数列nx一定有界性质性质 3（收敛数列的保号性）（收敛数列的保号性）如果数列nx收敛于a，且0a（或0a），那么存在正整数N，当nN时，有0nx（或0nx）推论推论：如果NN，当nN时，0nx（或0nx），且limnnxa，则0a（或0a）性质性质 4（收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系）如果数列 nx收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a推论推论：如果数列 nx存在一个发散的子数列或者数列 nx有两个子数列收敛于不同的极限，则数列 nx发散（极限不存在）8【注】【注】limnnxa221limlimkkkkxxa二、函数的极限二、函数的极限1函数极限的定义函数极限的定义（1）自变量趋于有限值时函数的极限设函数()f x在点0 x的某一去心邻域内有定义 如果存在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当x满足不等式00 xx时，对应的函数值()f x都满足不等式()f xA，那么常数A就叫做函数()f x当0 xx时的极限，记为0lim()xxf xA或0()()f xA xx简 写 定 义：简 写 定 义：0lim()xxf xA0，0，当00 xx时，有 Axf左极限：左极限：Axfxx0lim（用0()f x表示()f x在0 x的左极限值）0，0，当00 xx时，有 Axf右极限：右极限：0lim()xxf xA（用0()f x表示()f x在0 x的右极限值）0，0，当00 xx时，有 Axf【注【注】（1）函数的极限与函数在点0 x处是否有定义无关（2）0lim()xxf xA的充要条件是0lim()xxf x与0lim()xxf x均存在且等于A【例【例 1】设函数1,0,()sgn0,0,1,0,xf xxxx证明：当0 x 时，()f x的极限不存在9（2）自变量趋于无穷大时函数的极限设()f x当x大于某一正数时有定义如果存在常数A，对于任意给定的正数，总存在着正数X，使得当x满足不等式xX时，对应的函数值()f x都满足不等式()f xA，则常数A叫做函数()f x当x 时的极限，记为lim()xf xA或()()f xA x 简写定义：简写定义：Axfxlim0，0X，当Xx 时，有()f xA Axfxlim0，0X，当Xx时，有()f xA Axfxlim0，0X，当Xx 时，有()f xA重要结论：重要结论：lim()lim()lim()xxxf xAf xAf x【注】【注】常用要分,xx的极限：0,1,0,01,lim lim,01,1,xxxxaaaaaalim arctan,lim arctan22xxxx，lim arccot,lim arccot0 xxxx【例【例 2】求极限1402esinlim1 exxxxx10【答案答案】1.2函数极限的性质函数极限的性质性质性质 1（函数极限的唯一性）（函数极限的唯一性）若极限0lim()xxf x存在，那么这极限唯一性质性质 2（函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性）若极限0lim()xxf xA，那么存在常数0M 和0，使得当00 xx时，有()f xM性质性质 3（函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性）若极限0lim()xxf xA，且0A（或0A），那么存在常数0，使得当00 xx时，有()0f x（或()0f x）【例例 3】若30()(0)lim00 xf xfAx，则存在0，使得对任意的0,x，有 f x 0f；对任意的,0 x，有 f x 0f【答案】【答案】；.性质性质 4（函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系）若极限0lim()xxf xA，nx为()f x的定义域内任一收敛于0 x的数列，且满足0()nxx nN，那么相应的函数值数列()nf x必收敛，且0lim()lim()nnxxf xf xA三、极限的运算法则三、极限的运算法则1极限的四则运算法则极限的四则运算法则如果lim()f xA，lim()g xB，那么（1）lim()()lim()lim()f xg xf xg xAB（2）lim()()lim()lim()f xg xf xg xA B11（3）()lim()lim(0)()lim()f xf xABg xg xB【注【注】在用极限的四则运算法则求极限时，必须两个函数的极限都存在，如果一个函数极限存在，一个函数极限不存在，则这两个函数和、差的极限一定不存在，但积、商的极限可能存在，也可能不存在【例【例 4】求下列极限：（1）211lim31xxx；（2）22468lim54xxxxx.【答案答案】（1）23；（2）23.【例【例 5】求下列极限：（1）21017lim1xxx；（2）limxxxax.【答案答案】（1）0；（2）2a.【注】【注】10100010100,lim,(0,0),nnnmmxmnma xa xaanmabb xb xbbnm.12【例【例 6】求极限22411limsinxxxxxx【答案答案】1.2复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则设函数()yf g x是由函数()yf u与函数()ug x复合而成，()f g x在点0 x的某去心邻域内有定义，若00lim()xxg xu，0lim()uuf uA，且在0 x的某去心邻域内0()g xu，则00lim()lim()xxuuf g xf uA四、极限存在准则四、极限存在准则准则准则 I如果数列 nx、ny及 nz满足下列条件：（1）从某项起有nnnyxz，（2）limnnya，limnnza，那么数列 nx的极限存在，且limnnxa准则准则 I 如果函数()f x、()g x及()h x满足下列条件：（1）在某去心邻域内有()()()g xf xh x，（2）lim()lim()g xh xA，那么lim()f x存在，且lim()f xA准则 I 及准则 I称为夹逼准则夹逼准则【注【注】利用夹逼准则求极限时，对数列（函数）适当放大缩小，且放大缩小所得数列（函13数）的极限要存在且相等【例【例 7】求22212lim12nnnnnnnnnL【答案】【答案】12【例【例 8】设0abc，nnnnnxabc，求limnnx【答案】【答案】a准则准则 II单调有界定理：单调有界数列必有极限（1）单调递增有上界的数列必有极限；（2）单调递减有下界的数列必有极限【注【注】（1）准则 II 适用于证明由递推公式给出的数列的极限存在并求其极限（2）证数列单调：数学归纳法 做差 做商 利用函数的单调性（3）证数列有界：数学归纳法 放缩法 利用函数的有界性（4）求极限：令limnnxa 给递推公式两边取极限 求出a【例【例 9】设12a，12nnaa，1,2,n L，证明 na极限存在，并求limnna14【答案答案】2.【例【例 10】设111,11nnnaaaa，（1,2,n L），证明 na极限存在，并求limnna【答案答案】152.五、无穷小与无穷大五、无穷小与无穷大1无穷小的定义无穷小的定义若0lim()0 xxf x（或lim()0 xf x），则称函数()f x为当0 xx（或x ）时的无穷小特别地，若lim0nnx，则称数列 nx为当n 时的无穷小【注】【注】()f x为当0 xx（或x ）时的无穷小0lim()0 xxf x（或lim()0 xf x）无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 0lim()xxxf xA()f xA，其中是0 xx（x）的无穷小2无穷大的定义无穷大的定义在0 xx(或x )时，总有()f x无限增大，则称()f x为0 xx(或x )时的无穷大，记为0lim()xxxf x【注】【注】无穷大必无界，而无界未必是无穷大15【例【例 11】证明函数11cosyxx在点0 x 的去心邻域内无界，但当0 x 时并非无穷大.3无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，如果()f x为无穷大，则1()f x为无穷小；反之，如果()f x为无穷小，且()0f x，则1()f x为无穷大4无穷小的性质无穷小的性质（1）有界函数与无穷小之积是无穷小（2）常数与无穷小之积是无穷小（3）有限个无穷小之和是无穷小（4）有限个无穷小之积是无穷小例如例如：01lim sin0 xxx，lim0 xxxx【例【例 12】求12arctan3 sinlimxxxxx【答案答案】0.【例【例 13】3231limsincos2xxxxxxx【答案答案】0.165无穷小的比较无穷小的比较设lim()0f x 与lim()0g x（1）若()lim0()f xg x，则称()f x是比()g x高阶的无穷小，记 xgoxf（2）若()lim()f xg x，则称()f x是比()g x低阶的无穷小（3）若()lim0()f xcg x，则称()f x与()g x是同阶无穷小（4）若()lim1()f xg x，则称()f x与()g x是等价无穷小，记以()()f xg x（5）若 lim0kfxcgx，0k，称 xf是 xg的k阶无穷小常用等价无穷小代换常用等价无穷小代换：当0W时，sin tan arcsin arctan ln(1)e1WWWWWWW，231 cos 11 sin 26，WWWWWWW定理：定理：若,且lim存在，则limlim【例【例 14】求极限10e1 coslimln(1 2)xxxxx【答案答案】e4.【例【例 15】求极限24011limsin2xxxx【答案答案】18.17【例【例 16】求极限0lncoslimlncosxaxbx，其中,0a b.【答案答案】22ab【例例 17】求极限2220ln sinelimln e2xxxxxxx【答案答案】1【例【例 18】已知当0 x 时，f x是比x高阶的无穷小，且 0ln 1sin2lim531xxf xx，求 20limxfxx【答案答案】10ln3.【例【例 19】试确定0 x 时，tansinxx是x的几阶无穷小，并写出其的等价无穷小.【答案答案】313,2x.18六、两个重要极限六、两个重要极限1第一重要极限第一重要极限sinlim1(0)WWW【注【注】（1）该极限为“00”，（2）所求极限能变形出sinlim1(0)WWW，（3）分子分母中两个W中的表达式要凑成同一表达式且要无限趋于 0【例【例 20】求极限01 coscos2limsinxxxxx【答案答案】12.【例【例 21】求极限230tan3limsin 6xxxx【答案答案】172.2第二重要极限第二重要极限（1）1lim 1e(0)WWW【注【注】（1）该极限为“1”，（2）所求极限能变形出1lim 1e(0)WWW，（3）两个W中的表达式要凑成同一表达式且要无限趋于 0（2）lim()1()()lim()e (lim()1,lim()u xv xv xu xu xv x【注【注】（1）该极限为“1”，（2）该极限的结果为lim()1()()lim()eu xv xv xu x19【例【例 22】求极限（1）21sin0lim cosxxx；（2）21lim21xxxx；（3）求极限1023lim2xxxx.【答案答案】（1）12e；（2）1e；（3）6.