2011考研数学二真题【福利年免费资源www.fulinian.com】.pdf

数学(二)试题 第 1 页(共 13 页)2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题(18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸一、选择题(18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上)指定位置上)(1)已知当0 x 时，3sinsin3f xxx与kcx是等价无穷小，则()(A)1,4kc (B)1,4kc (C)3,4kc (D)3,4kc (2)已知 f x在0 x 处可导，且 00f，则 23302limxx f xf xx=()(A)20f (B)0f (C)0f (D)0(3)函数()ln(1)(2)(3)f xxxx的驻点个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(4)微分方程2(0)xxyyee的特解形式为()(A)()xxa ee (B)()xxax ee (C)()xxx aebe (D)2()xxx aebe(5)设函数(),()f x g x均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,fg且(0)(0)0fg，则函数()()zf x g y在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()(A)(0)0,(0)0.fg (B)(0)0,(0)0.fg(C)(0)0,(0)0.fg (D)(0)0,(0)0.fg(6)设40lnsinIxdx，40lncotJxdx，40lncosKxdx，则,I J K的大小关系是()(A)IJK (B)IKJ (C)JIK (D)KJI(7)设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B，再交换B的第 2 行与第 3行得单位矩阵，记1100110001P，2100001010P，则A()(A)12PP (B)112P P (C)21P P (D)121P P(8)设1234(,)A 是 4 阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组 数学(二)试题 第 2 页(共 13 页)0Ax 的一个基础解系，则*0A x 的基础解系可为()(A)13,(B)12,(C)123,(D)234,二、填空题(914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸二、填空题(914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上)指定位置上)(9)101 2lim()2xxx(10)微分方程cosxyyex满足条件(0)0y的解为(11)曲线0tan(0)4xytdtx的弧长s (12)设函数,0,()0,0,0,xexf xx则()xf x dx(13)设 平 面 区 域D由 直 线,yx圆222xyy及y轴 围 成，则 二 重 积 分Dxyd(14)二次型222123123121 323(,)3222f x x xxxxx xx xx x，则f的正惯性指数为 三、解答题(1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸三、解答题(1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分 10 分)已知函数20ln(1)()xatdtF xx，设0lim()lim()0,xxF xF x试求a的取值范围 (16)(本题满分 11 分)设函数()yy x由参数方程3311,3311,33xttytt 确定，求()yy x的极值和曲线()yy x的凹凸区间及拐点(17)(本题满分 9 分)设函数(,()zf xy yg x，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数()g x可导且在1x 处取得极值(1)1g，求211xyzx y (18)(本题满分 10 分)大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 3 页(共 13 页)1211112Oyx222xyy221xy设函数()y x具有二阶导数，且曲线:()l yy x与直线yx相切于原点，记为曲线l在点(,)x y处切线的倾角，若,ddydxdx求()y x的表达式(19)(本题满分 10 分)(I)证明：对任意的正整数n，都有111ln(1)1nnn 成立(II)设111ln(1,2,)2nan nn，证明数列 na收敛 (20)(本题满分 11 分)一 容 器 的 内 侧 是 由 图 中 曲 线 绕y轴 旋 转 一 周 而 成 的 曲 面，该 曲 线 由2212()2xyy y与2211()2xyy连接而成的(I)求容器的容积；(II)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m，重力加速度为2/gm s，水的密度为3310/kg m)图 (21)(本题满分 11 分)已知函数(,)f x y具有二阶连续偏导数，且(1,)0fy，(,1)0f x，(,)Df x y dxdya，其中(,)|01,01Dx yxy，计算二重积分(,)xyDIxyfx y dxdy(22)(本题满分 11 分)设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)TTT，不能由向量组1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4,)Ta线性表示 (I)求a的值；(II)将123,由123,线性表示(23)(本题满分 11 分)A为三阶实对称矩阵，A的秩为 2，即 2r A，且111100001111A 数学(二)试题 第 4 页(共 13 页)(I)求A的特征值与特征向量；(II)求矩阵A 2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题(18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸一、选择题(18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上)指定位置上)(1)【答案】(C)【解析】因为03sinsin3limkxxxcx03sinsin cos2cos sin2limkxxxxxxcx 20sin3cos22coslimkxxxxcx2103cos22coslimkxxxcx 221032cos12coslimkxxxcx22110044cos4sinlimlimkkxxxxcxcx 304lim1kxcx 所以4,3ck，故答案选(C)(2)【答案】(B)【解析】23302limxx fxfxx 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 5 页(共 13 页)223300220limxx fxx ffxfx 33000lim2xfxffxfxx 0200fff 故答案选(B)(3)【答案】(C)【解析】()ln1ln2ln3f xxxx 111()123fxxxx 231211(1)(2)(3)xxxxx 令()0fx，得1,2633x，故()f x有两个不同的驻点 (4)【答案】(C)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为220r，解得特征根12rr,所以非齐次方程2xyye有特解1xyx a e,非齐次方程2xyye有特解2xyx b e，故 由 微 分 方 程 解 的 结 构 可 知 非 齐 次 方 程2xxyyee可 设 特 解().xxyx aebe(5)【答案】(A)【解析】由题意有()()zfx g yx，()()zf x g yy 所以，0,0(0)(0)0zfgx，0,0(0)(0)0zfgy，即0,0点是可能的极值点 又因为22()()zfx g yx，2()()zfx g yx y，22()()zgy f xy，所以，2(0,0)2|(0)(0)zAfgx，2(0,0)|(0)(0)0zBfgx y，数学(二)试题 第 6 页(共 13 页)2(0,0)2|(0)(0)zCfgy，根据题意由0,0为极小值点，可得20,ACBA C且(0)(0)0Afg，所以有(0)(0)0.Cfg由题意(0)0,(0)0fg，所以(0)0,(0)0fg，故选(A)(6)【答案】(B)【解析】因为04x时，0sincos1cotxxx，又因ln x是单调递增的函数，所以lnsinlncoslncotxxx 故正确答案为(B)(7)【答案】(D)【解析】由于将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B，故 100110001AB，即1APB，11ABP 由于交换B的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，故 100001010BE，即2,PBE故122BPP因此，12 1APP，故选(D)(8)【答案】(D)【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组0Ax 的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA，且()4 13r A ，即130，且0A 由 此 可 得*|A AA EO，即*1234(,)AO ，这说明1234,是*0A x 的解 由于()3r A，130，所以234,线性无关又由于()3r A，所以*()1r A，因此*0A x 的基础解系中含有4 13 个线性无关的解向量而234,线性无关，且为*0A x 的解，所以234,可作为*0A x 的基础解系，故选(D)二、填空题(914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸二、填空题(914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上)指定位置上)(9)【答案】2 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 7 页(共 13 页)【解析】原式=01 21lim(1)2xxxe00212 ln21limlimln22222xxxxxeee(10)【答案】sinxyex【解析】由通解公式得(cos)dxdxxyeex edxC (cos)xexdxC (sin)xexC 由于(0)0,y故C=0所以sinxyex(11)【解析】选取x为参数，则弧微元 2211 tansecdsydxxdxxdx 所以4400secln sectanln(12)sxdxxx(12)【答案】1【解析】原式00 xxx edxxde 0001lim0 xxxxxxxeedxee 01111limlimxxxxeee (13)【答案】712【解析】原式2sin2sin3220044cossincossindrrrdrrdr dr 4241sincos16sin4d 5522444cossin4sinsindd 66447sin612(14)【答案】2【解析】方法 1：f的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数 二次型f对应矩阵为11113 1111A 数学(二)试题 第 8 页(共 13 页)111000131131132111111112EA 321412，故1230,1,4因此f的正惯性指数为 2 方法 2：f的正惯性指数为标准形中正的平方项个数 2221231231 21 323,3222f x x xxxxx xx xx x 2222212322332323232xxxxx xxxxx x 2212322xxxx，令11232233,yxxxyxyx则22122fyy，故f的正惯性指数为 2 三、解答题(1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸三、解答题(1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分 10 分)【解析】如果0a 时，2200(1)limlimln(1)xxaaxxlntdtxtdtx，显然与已知矛盾，故0a 当0a 时，又因为22230110000ln(1)ln(1)1limlimlimlim0 xaaaaxxxxtdtxxxxaxaxa 所以30a即3a 又因为223201222ln(1)ln(1)210limlimlimlim(1)(1)1xaaaaxxxxxt dtxxxxaxa axa ax 所以32a，即1a，综合得13a (16)(本题满分 11 分)【解析】因为221()1dytdty xdxtdt，大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 9 页(共 13 页)2222222231()12(1)(1)2141(),(1)1(1)tdt ttttty xdxdttttdt 令()0y x得1t ，当1t 时，53x，13y ，此时0y，所以13y 为极小值 当1t 时，1x ，1y，此时0y，所以1y 为极大值 令()0yx得0t，13xy 当0t 时，13x，此时0y；当0t 时，13x，此时0y 所以曲线的凸区间为13，凹区间为13，拐点为1 1(,)3 3(17)(本题满分 9 分)【解析】,()zf xy yg x 12,(),()()zfxy yg xyfxy yg xyg xx 211112,()(,()(,()()zfxy yg xy fxy yg x xfxy yg x g xx y 21222(),()(),(),()()g xfxy yg xyg xfxy yg xxfxy yg x g x 因为()g x在1x 可导，且为极值,所以(1)0g，则 21111121|(1,1)(1,1)(1,1)xyd zfffdxdy (18)(本题满分 10 分)【解析】由题意可知当0 x 时，0y，(0)1y，由导数的几何意义得tany,即arctan y，由题意arctanddyydxdx，即 21yyy 令yp，yp，则21ppp，3dpdxpp，即 21dppdpdxpp，211ln|ln(1)2ppxc，即2211xpce 数学(二)试题 第 10 页(共 13 页)当0 x，1p，代入得2c，所以 2121xye，则2200()(0)212txxttdte dty xyee 0022arcsin|arcsin4221()2ttxxxtedeee 又因为(0)0y，所以2()arcsin24xy xe(19)(本题满分 10 分)【解析】()设 1ln 1,0,f xxxn 显然()f x在10,n上满足拉格朗日的条件，1111110ln 1ln1ln 1,0,1ffnnnnn 所以10,n时，111111111 01nnnn，即：111111nnn，亦即：111ln 11nnn 结论得证（II）设111111lnln23nnkannnk 先证数列 na单调递减 111111111ln1lnlnln 1111nnnnkknaannkknnnn，利用（I）的结论可以得到11ln(1)1nn，所以11ln 101nn得到1nnaa，即大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 11 页(共 13 页)数列 na单调递减 再证数列 na有下界 1111lnln 1lnnnnkkannkk，11112 3 41ln 1lnlnln11 2 3nnkkknnkkn，1111lnln 1lnln1ln0nnnkkannnnkk 得到数列 na有下界利用单调递减数列且有下界得到 na收敛 (20)(本题满分 11 分)【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分 12VVV1222211221yy dyy dy 232123yy+13213yy=1534=94 (II)所做的功为 22(2)(1)(2)(2)dwgyy dygyyy dy 12222112(2)(1)(2)(2)wgyy dygyyy dy 1232322112(22)44)gyyydyyyy dy 111224322312222221111211122242243243yyyyygyy 327 1033758gg(21)(本题满分 11 分)【解析】因为(,1)0f x，(1,)0fy，所以(,1)0 xfx 数学(二)试题 第 12 页(共 13 页)1100(,)xyIxdxyfx y dy1100(,)xxdxydfx y 111000,|,xxxdx yfx yfx y dy1100(,1)(,)xxxdx fxfx y dy 1100(,)xxdxfx y dy 1100(,)xdyxfx y dx 111000(,)|(,)dy xf x yf x y dx 1100(1,)(,)dy fyf x y dx(,)Df x y dxdya(22)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于123,不能由123,线性表示，对123123(,)进行初等行变换：123123113101(,)12401313115a 113101011112023014a113101011112005210a 当5a 时，1231231(,)2(,)3rr ，此时，1不能由123,线性表示，故123,不能由123,线性表示(II)对123123(,)进行初等行变换：123123101113(,)013 124115 135 101113013124014022101113013124001102 1002150104210001102，故112324，2122，31235102(23)(本题满分 11 分)大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 13 页(共 13 页)【解析】(I)由于111100001111A，设121,0,1,1,0,1TT，则 1212,A ，即1122,AA，而120,0，知A的特征值为121,1，对应的特征向量分别为1110kk，2220kk 由于 2r A，故0A，所以30 由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30对应的特征向量为3123,Tx x x，则 13230,0,TT 即13130,0 xxxx 解此方程组，得30,1,0T，故30对应的特征向量为3330kk(II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：312123123111,0,1,1,0,1,0,1,022TTT 令123,Q ，则110TQ AQ ，TAQ Q 22022220122220011022022010022 22022220001222200000002210022010022