150之线性代数(答案版)考研资料.pdf

2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 1 第一第一章章 行列式行列式 重重点题型点题型 行列式行列式的的计算计算【例【例 1】设12312,均为 4 维列向量，1231(,)A =，3122(,)B =.若1A=，2B=，则2AB=.【详解【详解一一】因为132132122(2,2,2,2)AB =，则有 1321321132132222,2,2,2,2,2,2AB =，又1321321123112000120(2,2,2,)(,)20100001 =，于是有1321321120001202,2,2,20100001A =7=.1321322312220101200(2,2,2,2)(,)01200002 =，有1321322201012002,2,2,22801200002B =，所以27(28)21AB=.【详详解解二二】（特值法特值法）令 1000010000100001A=，0100001010000002B=则 V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 2 1200012022120100003AB=第第二二章章 矩阵矩阵 重重点题型点题型一一 求求高高次幂次幂【例例 2】设A为 3 阶矩阵，(9,18,18)Tb=，非齐次线性方程组Axb=的通解为 12(2,1,0)(2,0,1)(1,2,2)TTTkk+，其中12,k k为任意常数，求A与100A.【详【详解】解】由 2100A=，2001A =知12(2,1,0),(2,0,1)TT=为矩阵A属于特征值120=的两个线性无关的特征向量.由 191218922182A=知3(1,2,2)T=为矩阵A属于特征值39=的特征向量.令123(,)P =，则 1009P AP=得 122102541221102024524490129122244AP P=故 V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 3 100100199100221025412211020245924490129122244APP=或 9910099122()9244244Atr AA=重重点题型点题型二二 逆的判定与计算逆的判定与计算【例例 3】设,A B为n阶矩阵.（I）若A与ABE 可逆，证明BAE 可逆；（II）若ABE 可逆，证明BAE 可逆；【证明证明】（I）方法一：11111()|()0EBAA ABAAB AAB AA ABA ABEAB=故BAE 可逆.方法二：因为A可逆，1()AAB ABA=，ABBA，EABEBA，ABE 可逆，则BAE 可逆.（II）因为EAB可逆，所以存在可逆矩阵C，()EAB CE=，CABCE=左乘B右乘A，得BCABABCABA=，()()EBA BCAEBAE+=()()EBA BCAEE+=，因此EBA可逆，且1()EBABCAE=+.【例【例 4】设,A B为n阶方阵，且(0)ABaAbB ab=+.证明：（I）ABBA=；（II）()()r Ar B=；（III）,A B的特征向量相同.【详解【详解】（I）由(0)ABaAbB ab=+，得()()AbE BaEabE=1()()AbE BaEEab=，1()()BaEAbEEab=所以BAaAbB=+，ABBA=.V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 4（II）()()()()();ABaAbBbBA BaEr Br bBr A BaEr A=+=()()()()();ABaAbBaAAbE Br Ar aArAbE Br B=+=故()().r Ar B=（III）设是B的特征值，是B的属于特征向量，即,0B=,则0,0,aAbBABaAbA +=+=即(),a Ab=若a=，则0=，矛盾，故a，则,bAa=即是A的特征向量.又aAbBBA+=，A的特征向量也是B的特征向量.重重点题型点题型三三 秩秩的的计算计算与与证明证明【例例 5】对于二阶矩阵A，则1()EAEA=+是5AO=的（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）无关条件【详解详解】首先1222()()()0EAEAEA EAEEAEA=+=充分性：20A=，显然5230AAA=必要性：50A=，550AA=，0A=所以()2r A，()0r A=或()1r A=.1）()0r A=，0A=，20A=2）()1r A=，54()0Atr AA=，()0tr A=，2()0Atr AA=.故选（C）【例【例 6】（南开大学 2017）设A为3 2阶矩阵，B为2 3阶矩阵，满足822254245AB=，求BA.【详解【详解】2()()2r ABr A，故()2r A=，同理()2r B=.1222449244ABE=+V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 5 令122244244C=，则()1r C=，得29CC=，即2(9)9(9)ABEABE=，故2()9ABAB=，即9ABABAB=，故90909BAE=.（全国大学生 2012 年竞赛题）设,A B分别为32,23阶矩阵，满足8043962201AB=，求BA.（华东师范大学 2013）设,A B分别为42,24阶矩阵，满足1010010110100101AB=，求BA.重重点题型点题型四四 关于伴随矩阵关于伴随矩阵【例例 7】设()ijAa=为 3 阶非零矩阵，ijA为ija的代数余子式，2(,1,2,3)ijijAa i j=，则 A=.【详解】【详解】由2(,1,2,3)ijijAa i j=23*3222111112121313111213112,2,2,2,80()2220(0)TTTAAAAAAA EAAA EAAAAAa Aa Aa Aaaaa=+=+或舍不防设【例【例 8】设0001200037211001210011200A=，则*A=.【详解【详解】OCABO=，AB C=，111OBACO=211121112B=，1 1 11 1 11 1 1BEDE=+=+，DBE=V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 6 23DD=，()()23BEBE=，2540BBE+=，(5)4B BEE=，13115113144113BEB=，2111214112B=1237C=，17231C=，12137C=11*111*003110013100113288000124000OC B BOBAA AB CB C COCOOC BB CO=【评注评注】分块矩阵伴随*1*111*1ACACACB AA CBAA CBA BOBOB OBOA BOB=*1*1*111AOAOAOB AOAOA BCBCB CBB CAA BB CAB=*1*1*111(1)(1)mnmnCACA CAOA BOBA BBOBOBOB AA CBAA CB=*1*111*1(1)(1)mnmnOAOA OAB CAA BB CABA BBCBCBCB AOAO=第第三三章章 向量向量 重点题型一重点题型一 线性表示的判定与计算线性表示的判定与计算【例【例 9】设1234,均为 3 维非零列向量，则下列结论错误的是【】（A）若4不能由123,线性表示，则123,线性相关（B）若123,线性相关，234,线性相关，则124,也线性相关 V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 7（C）若3不能由12,线性表示，4不能由23,线性表示，则1可以由234,线性表示（D）若112234142434(,)(,)rr +=+，则4可以由123,线性表示【详【详解】解】例如1(1,0,0)T=，2(0,1,0)T=，3(0,2,0)T=，4(0,0,1)T=，可知（B）不正确，应选（B）.关于（A）：如果123,线性无关，又因1234,是 4 个 3 维向量必线性相关，而知4必可由123,线性表示.关于（C）：由已知条件，有（）12123(,)(,)rr ，（）23234(,)(,)rr .若23(,)1r=，则必有12123(,)(,)rr =，与条件（）矛盾，故必有23(,)2r=，那么由（）知234(,)3r =，从而1234(,)3r =.因此1可以由234,线性表示.关于（D）：经初等变换有 112231223(,)(,)+123(,)，414243441231234(,)(,)(,)+，从而1231234(,)(,)rr =.因而4可由123,线性表示【例【例 10】设向量组（I）123(1,0,1),(1,1,2),(1,2,)TTTa=；向量组（II）12(1,2,1),(1,0,)TTb=.（1）当,a b为何值时，向量组（II）可由向量组（I）线性表示，并求出表示式；（2）设11101212Aa=，11201Bb=.当,a b为何值时，矩阵方程AXB=有解，并求出所有解.【详解详解】（1）对12312(,)作初等行变换，123121111111111(,)012200122012100301abab =V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 8 当3a 时，12,均可由123,唯一线性表示，解得11232=+，212312(1)11333bbbaaa=+.当3a=，1b=时，12,均可由123,线性表示且表示不唯一，解得 1111213(3)(22)kkk=+，2212223(1)2kkk=+，其中12,k k是任意常数.（2）由矩阵方程AXB=，将X，B以列分块，设12(,)X=，12(,)B=，得1212(,)(,)A=即,1,2iiAi=.由（1）知，当3a 时，AXB=有唯一解，且13132(1)23103babXaba+=；当3a=，1b=时，AXB=无穷多解，且12121231222kkXkkkk+=+，其中12,k k是任意常数.【例例 11】设2121,均为 3 维列向量，21,线性无关，21,线性无关.（I）证明：存在非零列向量，既可由21,线性表示，又可由21,线性表示；（II）若1212(1,2,1),(2,5,3),(2,3,1),(1,0,3)TTTT=，求所有既可由21,线性表示，又可由21,线性表示的向量.【详解详解】（I）4 个 3 维向量1212,必线性相关，故存在不全为零的数1212,k k l l，使得 022112211=+llkk 于是 22112211llkk=+此时112211220kkll+=，否则由21,线性无关，21,线性无关，得1212,k k l l全为零，与1212,k k l l不全为零矛盾.令22112211llkk=+=，则0，既可由21,线性表示，又可由21,线性表示.V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 9（II）设11223142xxxx=+=，即112231420 xxxx+=，对1212(,)作初等行变换，121212211001(,)2530010113130011 =其中4x为自由未知量，可以任意取值.令4xu=，得1212,xu xu yu yu=，故 1232uuuuu=，其中u为任意常数.重点题型重点题型二二 线性线性相关与线性无关相关与线性无关的判定的判定【例例 12】设123,均为 3 维向量，30，则对任意常数,k l，向量组1323,kl+线性无关是向量组123,线性无关的【】（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件【详解详解】充分性 反证法：向量组123,线性相关，则31122,tt=+向量组()()()()()()()()1323111222112211221122121212,1,11,1klk ttl ttktktltltktktltlt +=+=+=+1212121,101ktktCCktltltlt+=+=+存在,k l使得0C=，从而1323,kl+相关，矛盾，故123,无关.必要性：设113223()()0kl +=则 1122123()0kl +=由123,线性无关，得120=，从而1323,kl+线性无关，故应选（C）.V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 10【例【例 13】设齐次线性方程组11 112213314421 122223324400a xa xa xa xa xa xa xa x+=+=有基础解系111121314(,)Tbbbb=，221222324(,)Tbbbb=.记111121314(,)Taaaa=，221222324(,)Taaaa=，证明向量组1212,线性无关.【详解】【详解】由题设知112244(,)2TTrr=，得12(,)2r=，故12,线性无关，且 0(,1,2)Tiji j=.设存在1234,k k k k，使得112231420kkkk+=（*）（*）式两边左乘(1,2)Tii=，得 11121212122200TTTTkkkk +=+=（*）其系数矩阵为 1112112121221222(,)(,)(,)TTTTTTT=由()()Tr Ar A A=，得1112122122(,)2TTTTrr =，故方程只有零解，得120kk=.将120kk=代入（*）式，由12,线性无关，得340kk=，故1212,线性无关 第第四章四章 线性方程组线性方程组 重点题型一重点题型一 解解的判定的判定【例【例 14】设,为n维单位列向量，P为n阶可逆矩阵，则下列方程组中只有零解的是【】（A）()0TEx=（B）1()0TTP Px=（C）1()0TTPPx=（D）()0TEx+=【详【详解】解】应选（D）.由,为n维单位列向量，得1TT =.V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 11 方法一：（A）不正确，当0 x=时，()()0TTE =；（B）不正确，当0 xP=时，1()()()0TTTTP PPPP =；（C）不正确，当10 xP=时，1111()()()0TTTTPPPPP =，故应选（D）.方法二：令(1,0,0)T=，则0()101TExx=有非零解，排除（A）；令(1,0,0)T=，PE=，可排除（B）；令(1,0,0)T=，PE=，可排除（C），故应选（D）.方法三：()2TT=，()2DEDE=，232DDE=，因此D可逆，且11(3)2DDE=，故方程组()0TEx+=只有零解，应选（D）.方法四：由特征值的性质知T的特征值11T=，20n=，从而TE+的特征值为 2，1，1，故TE+可逆，因此方程组()0TEx+=只有零解，故应选（D）.重点重点题型二题型二 求求齐次线性方程组齐次线性方程组的的基础解系与通解基础解系与通解【例【例 15】已知5 4矩阵1234(,)A =，若1(3,1,2,1)T=，2(0,1,0,1)T=是齐次线性方程组0Ax=的基础解系，那么下列命题 13,线性无关；1可由23,线性表示；34,线性无关；11234(,)3r +=中正确的是【】（A）（B）（C）（D）【详解】【详解】由12,是齐次方程组0Ax=的解，有 11234123431(,)32021A =+=（1）V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 12 212342401(,)001A =+=（2）（1）（2）得13320=或123203=+，故命题错误，命题正确.由12,是齐次方程组0Ax=的基础解系，知()2nr A=，那么1234(,)()2rr A =，如果34,线性相关，则43k=，又1323=，24=，与秩1234(,)2r =相矛盾，故命题正确.用排除法知错误，当然也可用初等变换判断出1123412(,)(,0)2rr +=，可知命题错误.综上分析，可知应选（C）.【例例 16】设1010111001Aaa=.（I）当,a b为何值时，(1,1,)Tb a=可由A的列向量组线性表示，并求出表示式；（II）求线性方程组()0TA A x=的通解；（III）讨论二次型123(,)()TTf x x xxA A x=的正定性.【详解】【详解】（I）令123(,)A =，对()A作初等行变换，1011101101110111()100010010001Aabaaab=+当1b=且1a 时，10010101()00100000A()()3r Ar A=，方程组112233xxx+=有唯一解，11x=，21x=，30 x=，可由123,唯一线性表示，表示式为12=+.当1b=且1a=时，V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 13 10110111()00000000A()()23r Ar A=，方程组112233xxx+=无穷多解，令3xk=，得121xxk=，可由123,线性表示，但表示不唯一，表示式为123(1)(1)kkk=+，其中k为任意常数.（II）【方法一】【方法一】22201011113TaA Aaaaaa=+由22(1)(3)0TA Aaa=+=，得1a=.当1a 时，0TA A，()3Tr A A=，()0TA A x=只有零解；当1a=时，对TA A作初等行变换，202101022011224000TA A=()0TA A x=的基础解系为(1,1,1)T=，通解为k，其中k为任意常数.【方法【方法二二】由于()0TA A x=与0Ax=同解，只需求0Ax=的通解.对A作初等行变换，1011010110111000101000Aaaa=+当1a 时，()3r A=，0Ax=只有零解；当1a=时，0Ax=的基础解系为(1,1,1)T=，通解为k，其中k为任意常数.（III）【方法一】【方法一】由2220101+1113TaA Aaaaaa=+，顺序主子式 V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 14 2222222012020,2(1)0,01+1(1)(3)01113aaaaaaaaaa=+=+，当1a 时，222220101+1(1)(3)0113aaaaaaaa=+，故二次型正定.当1a=时，222220101+1(1)(3)0113aaaaaaaa=+=+故二次型不正定.【方法【方法二二】由正定的定义知()TTxA A x正定0，有()()()0TTTA AAA=0，有0A0Ax=只有零解 故当1a 时，二次型正定，当1a=时，二次型不正定.重点重点题型题型三三 求求非非齐次线性方程组齐次线性方程组的的通解通解【例【例 17】设 4 阶矩阵1234(,)A =，其中123,线性相关，234,线性无关.若(1,2,3,)Ta=为齐次方程组0Ax=的解.（I）求a；（II）若(2,)Tb c d=是Ax=的解，1234=+，求,b c d.【详解】【详解】（I）由234,线性无关，知23,线性无关.又123,线性相关，故1可23,唯一线性表示.由0A=，即123412(,)03a =，得1234230a+=，故0a=.若0a，可得234,线性相关，矛盾.（II）由()3r A=，知0Ax=的基础解系中只有一个解，故1230 =为其基础解系.V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 15 又1111A =，故Ax=的通解为11213101k +，从而12213101kkbkcd +=，得3b=，4c=，1d=.【例例 18】设1234,均为 4 维列向量，123,线性无关，41232=+，非齐次线性方程组12231234(,)tx+=有无穷多解.（I）求t的值；（II）求方程组的通解.【详解】【详解】（I）记123(,)A =，1223123(,)Bt=+，123101(,)11011BtAC =，10111011Ct=由于4Bx=有无穷多解，故()3r B，而()3r A=，故有0C=，从而2t=.（II）由于412311(,)1122A =，所以4Bx=即为112ACxA =.又因为()3r A=，故4Bx=同解于112Cx =，即10111110112tx =.101110111121011201120000C=所以4Bx=的通解为111210 xk =+.【例例 19】设 4 阶矩阵1234(,)A =，非齐次线性方程组Ax=的通解为(1,2,4,0)(1,2,2,1)TTk+，其中k为任意常数.若3214(,)B =，求线性方程组 123Bx=+的通解.【详解】【详解】由 V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 16 123412(,)040 =得123240+=.由4()1r A=，得()3r A=，故124,线性无关.由 123412(,)21 =得123422=+.由 3214321123()(,)(,22)2r Brr =+=知对应齐次线性方程组0Bx=的基础解系中有4()2r B=个线性无关的解.321123(,22)0 x +=的基础解系为1(4,2,1,0)T=，2(2,2,1,1)T=.321123123(,22)x +=+的特解为(1,1,1,0)T=，故123Bx=+的通解为1 122kk+，其中12,k k为任意常数.【例例 20】设 3 阶矩阵123(,)A =，非齐次线性方程组Ax=的通解为(2,1,1)(1,2,0)TTk+，其中k为任意常数.若1233(,5)B =，求线性方程组3By=+的通解.【详解详解】由题设得 1231(,)20 =，1232(,)101 =即122=，12320+=，且3()1r A=，即123()(,)2r Ar =，从而 1233123123()(,5)(,25)2r Brr =，故齐次方程0Bx=的基础解系中有4()2r B=个解.由 V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 17 12312312321(,25)2010 =+=12312312(,25)051 =知0Bx=的基础解系为1(2,1,1,0)T=，2(1,2,5,1)T=.由 1233123312(,5)210 =+=+知(1,2,1,0)T=是3Bx=+的特解.方程3By=+的通解是1 122kk+，其中12,k k为任意常数.重点重点题型题型四四 解解矩矩阵阵方程方程【例【例 21】设110011001A=，若存在矩阵X，满足AXXA=，则称X与A可交换.试求出所以与A可交换的矩阵.【详解详解】110100010011010001001001000AEB=+=+.设111213212223313233xxxXxxxxxx=与A可交换，则AXXABXXB=.其中 111213212223212223313233313233010001000000 xxxxxxBXxxxxxxxxx=，V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 18 111213111221222321223132333132001000010000 xxxxxXBxxxxxxxxxx=.由BXXB=推出，21313211223312230,0,0,xxxxxxxx=，从而所有与A可交换的矩阵形如111213111211000 xxxXxxx=，其中111213,xxx为任意常数.重点重点题型题型五五 公共解公共解的判定与计算的判定与计算【例例 22】（公共公共解解的的计计算算）设A为24阶矩阵，线性方程组0Ax=的基础解系为 12(1,3,0,2),(1,2,1,3)TT=，线性方程组0Bx=的基础解系为12(1,1,2,1),(0,3,1,)TTa=.（I）求满足条件的一个矩阵A；（II）若方程组0Ax=与0Bx=有非零公共解，求a的值及所有的非零公共解.【详解】【详解】（I）记12(,)C=，则12(,)ACAO=，从而TTC AO=，故矩阵TA的列向量即矩阵A的行向量是齐次线性方程组0TC x=的解.对TC作初等行变换 1213021035(,)12130111T=得0TC x=的基础解系1(3,1,1,0)T=，2(5,1,0,1)T=，所以满足题设的其中一个矩阵A为 31105101A=（II）若齐次线性方程组0Ax=与0Bx=的非零公共解，则既可由12,线性表示，也可由12,线性表示，设11223142xxxx=+=，则 112231420 xxxx+=.对1212(,)作初等行变换，12121110111032130123(,)01210011231000aa =V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 19 由0，知1234,x x x x不全为零，从而1212(,)4r ，故0a=.121210020101(,)00110000 令4xk=，3xk=，2xk=，12xk=，因此0Ax=与0Bx=的公共解为 122(1,4,1,1)Tkkk=，其中k为非零常数.重点重点题型题型六六 同解同解的判定与计算的判定与计算【例【例 23】设A，B为n阶方阵，若线性方程组0=Ax的解都是0=Bx的解，则下列方程中与0=Ax 同解的个数为【】0)(=+xBA 0=ABx 0=BAx 0=+xBABA 0=xBA（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【详【详解】解】由0Ax=的解都是0Bx=的解，知0Ax=与0AxB=同解.又ABAABB+行，故0AxB=与0ABxAB=+同解，故应选（B）.【例例 24】设线性方程组（I）123123135xxxxxxa+=+=与（II）12312323424(1)xxbxxxbxc+=+=同解，求,a b c的值及方程组的同解.【详解】【详解】联立（I）、（II），对增广矩阵作初等行变换，111111113510122234002272410016abbbabcbc V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 20 由（I）与（II）同解，知（I）、（II）及联立后的方程组增广矩阵的秩均为 2，得7a=，1b=，6c=.对（I）的增广矩阵作初等行变换，1111102135170112 对应齐次线性方程组的基础解系为(2,1,1)T=，（I）的特解为(1,2,0)T=，通解（同解）为 k+，其中k为任意常数.【例例 25】设A为n阶矩阵，为n维列向量.证明：（I）若存在正整数m，使得0mA，10mA+=，则向量组,mAA线性无关；（II）线性方程组0nA x=与10nAx+=同解；（III）1()()nnr Ar A+=.【详解】【详解】设为齐次方程的解，先证（1）的解是（2）的解.若0nA=，则1()0nnAA A+=，即若是（1）的解，则必是（2）的解.再证（2）的解也是（1）的解，若10nA+=，反证设0nA，对于向量组2,(0,1,2,)nAAAnn=，则若2120nnkk Ak Ak A+=，两边同乘nA，并代入10nA+=，20,nA+=，得0nkA=.因为0nA，所以0k=，依次左乘1nA，可得10k=，左乘2nA，可得20,k=即可得2,nAAA线性无关，但已知1n+个n维向量必线性相关，得出矛盾，故10nA+=时，必有0nA=，即（1）与（2）同解，从而1()()nnnr Anr A+=，故1()()nnr Ar A+=.第第五章五章 特特征值征值与与特征向量特征向量 重点重点题型题型一一 特征值特征值与与特征向量特征向量的的计算计算【例【例 26】设A为 3 阶矩阵，1(1,1,0)T=，2(1,0,1)T=为矩阵A属于特征值121,2=的特征向量，(1,1,2)T=，则2A=.V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 21【详解】【详解】应填(7,1,8)T.由于 12111101(,)101012012000=所以122=，从而 2222121212(2)28(7,1,8)TAAAA=【例【例 27】设TTA=+，其中,为 3 维单位正交的列向量，则A的特征值为 .【证证明明】由()()()()1 123TTTTr Arrr=+=+=得0A=，故 0 为A的特征值.由题设知1TT =，13TT =，得 13TTA =+=+，13TTA =+=+4()()(0)3A+=+，2()()(0)3A=故+，分别为A的特征值43和23的特征向量.【例例 28】设,A B为n阶矩阵，且()()r Ar Bn+.证明：（I）0=为,A B的特征值；（II）0Ax=与0Bx=的基础解系组成的向量组线性相关；（III）,A B有公共特征向量.【详解】【详解】（I）由()()r Ar Bn+，知()r An，()r Bn，因此有0AB=，故0=为,A B相同的特征值.（II）设()r As=，()r Bt=，0Ax=的基础解系为12,n s，0Bx=的基础解系为12,n t，由于()()nsntn+，故向量组1212,n sn t 必线性相关.（III）由1212,n sn t 线性相关知，存在不全为零的 1212,n sn tk kkl ll使112211220n sn sn tn tkkklll+=，V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 22 令11221122()n sn sn tn tkkklll=+=+，则0（否则1212,n sn tk kkl ll全为零）为,A B属于特征值0=的公共特征向量【例例 29】设,A B是n阶矩阵.证明：（I）ABBA与有相同的特征值；（II）若A有n个互异的特征值且A的特征向量也是B的特征向量，则ABBA=.【证明证明】（I）设是矩阵AB属于特征值的特征向量，即()AB=等式两边左乘B，得()()()BA BB=若0B，则是矩阵BA的特征值.若0B=，则()0AB=从而0=，于是|0ABA BBA=所以0=也是矩阵BA的特征值，故矩阵AB的特征值都是矩阵BA的特征值.同理可证BA的特征值都是AB的特征值，因此ABBA与有相同的特征值.（II）因为A有n个互异特征值12,n，所以A有n个线性无关的特征向量12,n，即iiiA=，1,2,in=.由iiiB=，1,2,in=，得()iiiiiiBAB=iAB=.对于n维向量空间nR中的任一向量，必存在唯一的12,nk kk，使1 122nnkkk=+.从而111()()nnniiiiiiiiiiiBABAkkABkAB=，所以ABBA=.【评注评注】设,A B为n阶矩阵，则()()()tr ABtr Atr B+=+，()()tr kAk tr A=，()()tr ABtr BA=，()()Ttr Atr A=.V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 23 重重点点题题型型二二 相似相似的的判定判定与计算与计算【例例 30】设 3 阶矩阵A有三个不同的特征值123,，对应的特征向量分别为123,.若 123=+.（I）证明不是A的的特征向量；（II）证明2,AA线性无关；（III）若32AA=，求A的特征值，并计算2AE+.【详解】【详解】（I）反证法：设是A的的特征向量，则 123123123112233112233,()()()()()0AAA =+=+=+=123,不全为 0，则123,线性相关，矛盾，故不是A的的特征向量.（II）由(1,2,3)iiiAi=，得 1231231122332222212233112233()()()AAAAAAA AA =+=+=+=+=+【方法方法一一】（定（定义法义法）设存在123,k k k，使得21230kk Ak A+=，即 222112321122333112233222121311122322123333()()()()()()0kkkkkkkkkkkk +=+=由123,线性无关，得 212131212232212333000kkkkkkkkk+=+=+=又 21122212321313222223312311111()()()01=故方程组只有零解，即1230kkk=，故2,AA线性无关.V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 24【方方法法二二】（矩矩阵的秩阵的秩）21122123222331(,)(,)11AA =又 21122212321313222223312311111()()()01=故2,AA线性无关.（III）令2(,)PAA=，则P可逆，得 223222000(,)(,)(,)(,)100011APAAAAAAAAAAA=故1000100011P AP=.记000100011B=，则AB 0BE=，解得1230,0,1=，故A的特征值为 0，0，1，2AE+的特征值为 2，2，3，212AE+=.【例例 31】设200001010A=，100010062B=，判定,A B是否相似.若相似，求可逆矩阵P，使得 1P APB=.【详解【详解】由A的特征方程 20001(2)(1)(1)001AE=+=得A的特征值12=，21=，31=.当12=时，解(2)0AE x=，得特征向量1(1,0,0)T=；当21=时，解()0AE x=，得特征向量2(0,1,1)T=；当31=时，解()0AE x+=，得特征向量3(0,1,1)T=.V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 25 B的特征值为12=，21=，31=.当12=时，解(2)0BE x=，得特征向量1(0,0,1)T=；当21=时，解()0BE x=，得特征向量2(1,0,0)T=；当31=时，解()0BE x+=，得特征向量3(0,1,2)T=.令1123(,)P =，2123(,)P=，则 111122200010001P APPBP=得111112 1121212()()PP APPPPA PPB=.先求12P，2010100100021()001010010100102001001010PE=令 1112100010100021021011001011100110011102011010110PPP=则1P APB=.【方法方法二二】令123(,)P =，则1123123(,)(,)P APBAPPBAB =即1122333,6,2AAA=，亦即()()()12330,6,20AEAEAE=+=100100011011011000AE=解得1011 =0000102021001012000AE=解得3100 =330061002(6)0110011001100000AE+=解得2021010k=+V 研客 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 26 故021110110P=【2019，数一、数二、数三数一、数二、数三】设22122002Ax=与21001000By=相似.（I）求,x y；（II）求可逆矩阵P使得1P APB=.【例【例 32】设211212112A=，100011001B=，求可逆矩阵P，使得1P APB=.【详解】【详解】由题设知100011001APP=，设123(,)P =，123123100(,)(,)011001A =，从而有11A=，22A=，323A=+，即有1()0AE=，2()0AE=，32()AE=.由于111000000AE行，可取1110 =，1221212111001kkkkkk+=+=，代入后有()12122112211111122200021110000kkkkAEkkkk+=+行，为使方程有解，必须有 1220kk+=，可取12k=，21k=，得2(1,2,1)T=，进而解得3(1,0,0)T=，故111120010P=（注：本题中可